第一节 集合与变量
一、变量与参数
变量是我们熟悉的一个概念，中学里我们熟悉的字母，用字母代替数（代数）进行运算，换个角度去看就是变量；代数运算就是变量运算.
变量：在一定的数的范围内变化的量.变量在什么范围内变化，通常要看变量的实际意义.例如变量x，x2的变化范围是实数R，而
的变化范围是{x x≥0，x∈R}（这是从初等数学中的运算规则获知的）；对于一些有实际意义的变量，例如经济学中出现的变量、价格p、数量（产量、需求量）Q，通常的变化范围是{p|0≤p≤p0}，{Q|0≤Q≤Q0}，因为价格和产量（需求量）都不应该比零小，变化的上限是因为在现实中商品的价格和产量都有一个界限，超过了这个界限，产品就生产不出来了（或不值得生产了）.
统计中将变动的数量标志称为变量，它的变化范围就是总体，对应总体中的每个总体单位都有一个变量值.
常量：变量的特例，只在一个数内变化的量.一个数也看成是变量，是特殊的变量.这样每一个实数都可以看成是一个变量了，也就是说用变化的眼光看一个数，就是常量.
参数：指一个模型中的常数，通常用字母a，b，c，…表示，例如函数y=ax2+bx+c是某经济模型，模型中的变量是x，它也称为内生变量，a，b，c，…就是模型参数，每给一组参数，就可以得到一个模型，当a=1，b=2，c=3时，函数y=x2+2x+3就是一个具体的模型.
用变化的思维看问题是高等数学的基本思维方式.例如产量（销售量）、成本和收益等概念在会计和统计工作中是事后核算出来的数字，但在经济学中为分析企业的经济行为，我们将其看成变量，产量Q是一个企业在一定时间（如日产量）所有可能的生产数量集合里取值的变量；这样我们就可以分析在什么样的产量水平上企业可以获得最大收益（企业不是生产越多就获得越多的利润）.
模型的参数在经济分析中有实际意义，在分析经济问题时将主要矛盾看成变量.
二、集合及其运算
1.集合的概念
集合是指一些具有共同特征的对象的全体.集合的每一个对象称为集合的元素，集合中的元素可以是数，也可以不是数（如在统计中，集合中的元素大多不是数字，我们关心的是这些元素的数字特征）.如果集合中的元素是数，就称这个集合为数集，我们这门课程中的集合均为实数集或其子集.集合中的元素用小写字母（英文或希腊文）a，b，c，α，β，δ，…表示.集合用大写字母（英文或希腊文）A，B，C，P，Ω，…表示.一个元素a属于集合A，记作a∈A读作a属于集合A；元素a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于集合A.
有限集与无限集：集合按其中包含元素的多少可以分为有限集与无限集.有限集中包含的元素只有有限个，例如集合A={3，5，7，9，13}、全班同学组成的集合、地球上的人组成的集合.一个集合可以包含很多元素，只要这个集合的元素个数可以用一个数表示，就是有限集，社会经济现象大多是有限集合.如果一个集合中的元素个数不能用一个数表示，这个集合就是无限集.例如全体有理数的集合、所有星球的集合、比0大比1小的所有实数组成的集合都是无限集.本门课程描述的集合大多是无限集合，对无限的认识是高等数学的基本问题之一.
两个集合中的元素完全相同，称这两个集合相等. 集合中的元素不考虑重复和先后顺序.
集合的表示方法：集合通常有两种表示方法：一种是列举法；一种是描述法.
列举法就是将集合中所有的元素罗列出来，例如集合A={1，2，3，4，5}，N={0，1，2，3，4，5，…}，列举法只能表示有限集和可以罗列出来的无限集（称之为可列集）.
描述法是将集合中元素的共同特征刻画出来，例如有理数集
、实数集R={x|+∞＜x＜-∞}、比0大比1小的所有实数组成的集合A={a|0＜a＜1}，描述法可以表示有限集也可以表示无限集，数学中研究的大多是无限集，我们经常使用不等式来表示一个数的集合，如集合{x|0＜x＜1}表示所有比1小比0大的全体实数的集合.
特殊的集合：有两个集合比较特殊：一个是考虑对象的全体称为全集，本门学科中在实数范围内考虑问题，那么实数集R={x|+∞＜x＜-∞}就是全集；另外一个集合称为空集，就是集合中一个元素也没有的集合，记作∅，它和集合A=}0}完全不是一回事，例如x2+1=0的解集就是一个空集.记住空集中一个元素也没有.
子集：一个集合中的一部分元素所构成的新的集合，就称为原集合的子集，例如集合A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，集合B就是A的一个子集，通常记作B⊆A或A⊇B，读作集合B含于集合A或集合A包含B；如果集合A中含有不属于子集B的元素，我们称集合B是集合A的真子集，记作
在实数范围内，自然数集N是有理数集Q的真子集，有理数集Q是实数R的真子集，即
空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集.
2.集合的运算（交、并、补）
（1）交运算
两个集合A，B的交集是一个新的集合，它的元素由集合A，B中相同的元素构成，记作A∩B={x|x∈A且x∈B}，读作A交B.
集合的交运算有以下性质：
A∩B∩C=（A∩B）∩C=A∩（B∩C）；
A∩B=B∩A；
A∩A=A；
A∩∅=∅.
例1 解不等式组：
解：集合{x|1＜x＜2}是两个集合{x|x＜2}和{x|x>1}的交集，即同时满足不等式组，故不等式组的解集为{x|1＜x＜2}.
集合的交运算在逻辑运算中也称为“且”运算.
（2）并运算
两个集合A，B的并集是一个新的集合，它的元素由集合A和B中的元素构成，记作A∪B={x|x∈A或x∈B}，读作A并B.
集合的并运算有以下性质：
A∪B∪C=（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；
A∪B=B∪A；
A∪A=A；
A∪∅=A.
例2 解不等式：x2-3x-4≥0.
解：原不等式等价于（x-4）（x+1）≥0，即
整理，得x≥4或x≤-1.不等式解的集合是两个集合{x|x≥4}和{x|x≤-1}的并集.
集合的并运算在逻辑运算中称为“或”运算.
集合的交运算与并运算符合分配律：
A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）；（A∩B）∩C=（A∪C）∩（B∪C）；
A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）；（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）.
（3）补运算
在全集U中考虑一个子集A，A⊆U，集合A的补集是一个新的集合，它的元素是由集合U中所有不属于集合A的元素构成，记作
，读作集合A在全集U中的补集.本课程中，通常将实数集R作为全集.
例3 写出下列集合A的补集：
（1）A=[a，b]；
（2）全集为N，A为偶数的集合.
解：（1）
；
（2）
为奇数的集合：
三、常用的数集及其表示
下面是一些常用的实数集合：
R=（-∞，+∞，也称为实直线或数轴，一维笛卡尔集合；
R·R=R2={（x，y）|x∈R，y∈R}，也称为实平面（平面），二维笛卡尔集合；
R·R·R=R3={（x，y，z）|x∈R，y∈R，z∈R}，也称为实空间（三维空间），三维笛卡尔集合；
（a，b）={x|a＜x＜b}称为开区间；
[a，b]={x|a≤x≤b}）称为闭区间；
（a，b]={x|a＜x≤b}称为左开右闭区间（半开半闭区间）；
[a，b）={x|a≤x＜b]称为左闭右开区间（半开半闭区间）；
（-∞，b]={x|x≤b}，（-∞，b）={x|x＜b}，[a，+∞）={x|x}，（a，+∞）={x|x＞a}代表数轴的一半.
注意： 开区间与闭区间的区别不仅仅是差了两个端点，开区间里的每个点都是内点（里面的点），闭区间的端点就不是闭区间里面的点，这是一个非常重要的区别.
四、邻域
数轴上一点a的附近，我们用邻域这个概念来表示，指的是以这个点为中心的一个小范围，通常表示为{x|｜x-a｜＜δ}={x|a-δ＜x＜a+δ}，表示的是以a为中心、δ为半径的一个开区间.
去心邻域是指不包含中心的开区间，表示为
{x|0＜|x-a|＜δ}={x|a-δ＜x＜a或a＜a+δ}.
当叙述一个点x0的附近这一概念时，指的就是存在一个点x0的δ邻域（只要存在就可以了，5的大小没关系）.
例4 求证：
是开区间（0，1）的内点.
证明：取
，则以
为中心、
为半径的开区间（
）是开区间（0，1）的子区间，即
所以
是开区间（0，1）的内点.