第三节 函数的几何性质
函数的特性是观察和了解函数的着眼点，对研究和认识函数很有帮助.
以下讨论变量和函数，如果具体知道一个函数，就会把它写出来，如圆的面积公式S=πR2.当讨论的是一般的函数时，会用函数y=ƒ（x）表示，当x=x0时，用y0=ƒ（x0）表示函数在一点的函数值.
观察研究一个函数时，会发现一些函数具有以下特点，在平面直角坐标系上观察这种特点就更明显了.
一、单调性
指函数的自变量增加（或减少）时，相应的因变量也随之增加（或减少）的特性.
函数y=ƒ（x）在一个区间I上，当自变量x1＜x2时，若相应的函数值ƒ（x1）≤ƒ（x2），我们就称函数在区间I上是单调递增的；若相应的函数值ƒ（x1）＜ƒ（x2），我们就称函数在区间I上是严格单调递增的.
函数y=ƒ（x）在一个区间I上，当自变量x1＜x2时，若相应的函数值ƒ（x1）≥ƒ（x2），我们就称函数在区间I上是单调递减的；若相应的函数值ƒ（x1）＞ƒ（x2），我们就称函数在区间I上是严格单调递减的.
函数的单调特性不一定会在函数的整个定义域上具备，可能在某个区间上具备这个特征；函数在区间I上是单调的（递增或递减），就称这个区间为函数的单调区间.
例1 确定函数y=x2的单调区间.
解： 函数的定义域为R，在R上任取两点x1，x2且x2＞x1，其相应的函数值的差为
显然，当x2＞x1＞0时，x1+x2＞0，x2-x1＞0，（x2-x1）（x2+x1）＞0，即ƒ（x2）＞ƒ（x1），函数是单调递增的；当x1＜x2＜0时，x1+x2＜0，x2-x1＞0，（x2-x1）（x2+x1）＜0，即ƒ（x2）＜ƒ（x1），函数是单调递减的.综合以上分析，可以得知函数y=x2在区间（0，+∞）上单调递增，在区间（-∞，0）上单调递减.
二、奇偶性
奇函数：如果一个函数在它的定义域上的每一点满足ƒ（-x）=-ƒ（x），就称这个函数为奇函数.奇函数的几何特性是它的图像关于原点对称.
偶函数：如果一个函数在它的定义域上的每一点满足ƒ（-x）=ƒ（x），就称这个函数为偶函数.偶函数的几何特性是它的图像关于y轴对称.
例如，函数y=x2是偶函数，函数y=x3是奇函数，函数y=sin x是奇函数，函数y=cos x是偶函数.
例2 确定函数
的奇偶性.
解： 由函数奇偶性的定义，得
所以函数
为奇函数.
三、有界性
函数的有界性是一个整体的概念，如果函数在一个区间I上，可以找到一个实数M，对于这个区间上的每一个点x，都有|ƒ（x）|≤M就称实数M为函数在区间I上的一个界（界限），称函数为区间I上的有界函数.如果区间I是函数的定义域，就称函数为有界函数.
常用的有界函数y=sin x和y=cos x；|sin x|≤1；|cos x|≤1对x∈R成立.
我们遇见的大多数函数在定义域内是无界的，但是将定义域限制在一个闭区间时，大多函数（连续）就是有界的了.
反之，也可以描述函数的无界状态，函数y=ƒ（x）在区间I上无界，指的是无论选取多大的数M，都可以在区间I上找到一个点x0，使得|ƒ（x0）|＞M.
例3 求证：函数
在区间（1，+∞）上无界.
证明： 按照函数有界性的刻画，如果选取M=1 000，取
显然
则
一般地，对一个任意大的正数M，要想让|ƒ（x0）|＞M，只需
即可，也就是说在区间（
）中随意选取一个数作为x0，都可以使得|ƒ（x0）|＞M.
从函数的几何图像来看，函数有界指的是函数曲线的变化在两条直线y=M和y=-M之间运动，而函数的无界指的是无论你用多高（大）的一根直线y=M（或y=-M）去拦住曲线y=ƒ（x），那么总有那么一个时刻，曲线上的点要突破直线y=M（或y=-M）.
四、函数的周期性
函数的周期性指的是函数值的变化具有周期往复性，具体而言指的是对于一个在实数范围内有定义的函数y=ƒ（x），如果存在一个正数l＞0，使得ƒ（x+l）=ƒ（x），就称l为函数的一个周期.如果l为函数的一个周期，那么2l，3l，…都是函数的周期，将函数周期构成的数的集合中最小的那个正数称为函数的周期.
例如，函数y=sin x和y=cos x以2π为周期，函数y=tan x和y=cot x以为周期.