第3章 消失量之鬼：微积分

它告诉我们什么？

要求出一个随时间变化的量的瞬时变化率，可以计算这个量在一个短的时间间隔内如何变化，再除以间隔长度。然后让这个间隔变得任意小。

为什么重要？

它为微积分提供了严谨的基础，而微积分是科学家们为自然界建模的主要方式。

它带来了什么？

切线和面积的计算。立体体积和曲线长度公式。牛顿运动定律、微分方程。能量和动量守恒定律。数学物理的大部分内容。

在1665年时，英格兰国王是查理二世，首都伦敦是一个拥有五十万人口的大都市。艺术蓬勃发展，科学处于加速发展的早期阶段。皇家学会（也许是现存最古老的科学团体）在此五年前成立，查理二世已经授予它皇家宪章。富人住在富丽堂皇的房子里，商业蓬勃发展，但是穷人挤在狭窄的街道里，摇摇欲坠的建筑遮天蔽日，这些建筑楼层越高就越往外突出。卫生条件很糟糕，老鼠和害虫到处都是。到1666年底，伦敦五分之一的人口死于腺鼠疫——先是由老鼠传播，然后由人传播。这是英格兰首都历史上最严重的灾难，同样的悲剧遍及整个欧洲和北非。国王匆匆前往牛津郡更为清洁的乡村，在1666年初返回。没有人知道造成瘟疫的原因，市政当局尝试了一切办法——不断烧火来清洁空气，烧掉任何散发出强烈气味的东西，将死者迅速埋在坑里。他们杀死了许多狗和猫，但讽刺的是，这两种被消灭的动物恰恰会控制老鼠的数量。

在这两年中，剑桥大学三一学院的一位默默无闻而谦逊的大学生完成了他的学业。为了躲避瘟疫，他回到了他出生时的房子，他的母亲在那里管理着一个农场。父亲在他出生前不久去世了，他由外婆抚养成人。也许是受到了安详宁静的乡村的启发，或是没有什么事可以打发时光，这位年轻人想到了科学和数学。后来他写道：“那些日子是我一生中发明创造的顶峰，思考的数学和（自然）哲学比之后任何时候都要多。”他的研究使他理解了平方反比引力定律的重要性，这个定律的思想至少已经存在了50年，却没有什么成果。他找到了一种用微积分解决问题的实用方法，而微积分是又一个有所流传却没有任何一般性表达的概念。他还发现了白色的阳光由许多不同的颜色组成——彩虹的所有颜色。

当瘟疫最终平息时，他没有把自己所做的事情告诉任何人。他回到剑桥大学，取得了硕士学位，并成为三一学院院士。当选卢卡斯数学讲席教授后，他终于开始发表他的想法并发展新的想法。

这位年轻人就是艾萨克·牛顿。他的发现创造了一场科学革命，带来了查理二世绝对无法想见的世界：超过一百层楼的建筑；沿着M6高速公路以每小时80英里1行驶的无马车，里面的驾驶员用一种奇怪的玻璃状材料制成的魔盘收听音乐；比空气重的飞行机器在六小时内跨越大西洋；会动的彩色图片；还有随身携带的可以与世界另一端交谈的盒子……

1 1英里 1.609千米。——译者注

在此之前，伽利略、开普勒等人已经翻开了大自然这张地毯的一角，看到隐藏在下面的一些奇迹。此时，牛顿把地毯抛到了一边。他不仅揭示了宇宙具有神秘的模式——自然规律，还提供了数学工具来准确地表达这些定律并推断其结果。世界的体系是数学的，上帝创造的核心是一个没有灵魂、如时钟般精确的宇宙。

人类的世界观并没有突然从宗教转向世俗。它至今仍然没有完全转变，也许永远不会转变。但是，在牛顿发表他的《自然哲学的数学原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica）之后，这本书的副标题“世界之体系”不再为有组织的宗教所专有。即便如此，牛顿并不是第一位现代科学家；他也有神秘主义的一面，他将多年的生命奉献给了炼金术和宗教思想。经济学家，同时也是牛顿学者的约翰·梅纳德·凯恩斯（John Maynard Keynes）在一份讲义1中写道：

牛顿并不是理性时代的第一人。他是最后一位巫师，也是最后一位古巴比伦人和苏美尔人，是最后一位以与不到一万年前开始建立我们的知识传承的人同样的眼光看待实体和思想世界的伟大思想家。艾萨克·牛顿，在1642年圣诞节那天出生时就没有父亲的遗腹子，是麦琪2应当真诚而恰当地致敬的最后一个奇迹。

2 麦琪（Magi），又称“东方三贤士”，据《圣经·马太福音》中记载，带礼物来朝拜耶稣圣婴。——译者注

今天，我们大多会忽略牛顿神秘主义的一面，而是纪念他的科学和数学成就。其中最辉煌的成就，是他认识到自然遵守数学定律，以及他发明的微积分——我们现在表达这些定律并推导结果的主要手段。德国数学家兼哲学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）也在差不多的时间基本上独立发明了微积分，但并没有就此做多少工作。牛顿使用微积分来理解宇宙，尽管他把它隐藏在发表的作品中，并用经典的几何语言重新表述。他是一个承上启下的人物——将人类带离神秘主义的中世纪观点，引向现代理性的世界观。在牛顿之后，科学家们清晰地认识到，宇宙具有深刻的数学模式，并且拥有了强大的技巧来利用这种认识。

微积分并不是“凭空出现”的。它来自纯数学和应用数学的问题，它的前身可以追溯到阿基米德。牛顿自己也有一句名言：“如果说我看得比别人更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。”2这些巨人中最重要的要数约翰·沃利斯（John Wallis）、皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）、伽利略和开普勒。沃利斯在其1656年的《无穷的算术》（Arithmetica Infinitorum）一书中发明了微积分的前身。费马1679年的《论曲线的切线》（De Tangentibus Linearum Curvarum）提出了一种求曲线切线的方法，这是一个与微积分密切相关的问题。开普勒提出了行星运动的三大定律，牛顿由此得出了万有引力定律，这是下一章的主题。伽利略在天文学方面取得了巨大的进展，但他也研究了地面上大自然中的数学，并于1590年在《运动论》（De Motu）一书中发表了他的发现。他研究了自由落体如何运动，发现了一个优雅的数学模式。牛顿将这个线索发展为三个普适的运动定律。

要了解伽利略的模式，我们需要两个来自力学的日常概念：速度和加速度。速度是指物体运动得有多快，以及运动的方向。如果忽略方向，我们就会得到物体的速率。加速度是速度的变化，通常涉及速率的变化（例外是速率保持不变但方向发生变化）。在日常生活中，我们使用加速来表示速率提升，减速表示速率下降，但在力学中，两种变化都是加速度：第一个是正值，第二个是负值。当我们沿着道路行驶时，车的速率会显示在车速表上——比如可能是50英里/小时，方向是汽车指向的方向。当我们踩下油门时，汽车会加速，速率上升；而踩下刹车时，汽车减速——这是负加速度。

如果汽车以恒定速率行驶，速率很容易计算。从缩写mph就能看出来：英里每小时。如果汽车在1小时内行驶50英里，我们将距离除以时间，就得到了速率。我们也不需要开车1小时：如果汽车在6分钟内行驶5英里，相当于距离和时间都除以10，它们的比例仍然是50英里/小时。简而言之，

速率=行驶距离除以所用时间

同样道理，恒定的加速度可以这样计算：

加速度=速度变化除以所用时间

这一切看起来都很清楚、明白，但是当速度或加速度不固定时，就会出现概念上的困难。而且二者无法同时恒定，因为恒定（且非零）的加速度意味着变化的速度。假设你沿着乡间小路行驶，直道加速，弯道减速。你的速度在不断变化，加速度也是如此。我们怎样才能在任何特定时刻算出它们呢？实用主义的回答是取一小段时间，比如一秒。然后你的瞬时速度（比如在上午11点30分）是你从那一刻到一秒之后行驶的距离，除以一秒。瞬时加速度也是如此。

只是…… 那并不是你的瞬时速度。它实际上是一个一秒的间隔内的平均速度。在某些情况下，一秒是一段巨大的时长——奏出标准音A的吉他弦每秒振动440次；如果对它在整整一秒内的运动取平均值，你会认为它静止不动。答案是要考虑更短的时间间隔——也许是万分之一秒。但这仍然无法捕捉瞬时速度。可见光每秒振动一千万亿（）次，因此要取的时间间隔就得小于一千万亿分之一秒。即便如此…… 好吧，虽然这么说有点儿迂腐，但那仍然不是一瞬间。按照这种思路，似乎有必要使用一种比任何其他时间间隔都要短的间隔。但唯一满足这一条件的数字是0，但这行不通，因为行进的距离也是0，而是没有意义的。

先驱们忽略了这些问题，并采取了务实的观点。一旦测量中可能产生的误差超过了你在理论上通过缩短时间间隔提升的精度，那缩短间隔就没有意义了。伽利略时代的钟表非常不准确，所以他通过自己哼唱来测量时间——训练有素的音乐家可以将音符细分为非常短的间隔。即便如此，对自由落体计时还是很难办，因此伽利略通过在斜坡上滚球来减慢运动速度。然后，他以连续的时间间隔观察球的位置。他发现（我简化数字来让规律更为清晰，但规律还是一样的），在时刻0、1、2、3、4、5、6…… 的位置是

距离与时间的平方成正比。那速度呢？在连续的时间间隔内取平均，它们就是相邻的平方数之间的差

除第一个间隔外，在每个间隔中，平均速度都增加了2个单位。这是一个十分惊人的规律——如果考虑伽利略用了许多不同质量的球，在倾斜角度不同的斜坡上实验了几十次，都得到了非常相似的结果，那就更加惊人了。

从这些实验和观察到的规律中，伽利略推断出了一些非常美妙的东西。自由落体，或者被抛掷到空中的物体（如炮弹）所经过的轨迹是一条抛物线。这是古希腊人所知的U形曲线。（这里的U是倒过来的。我忽略了空气阻力，它会改变形状——但对伽利略的滚球没有太大影响。）开普勒在他对行星轨道的分析中遇到了一条相关的曲线，即椭圆：这在牛顿眼中肯定也是一个重要的结果，但这个故事要等到下一章再讲。

只靠这一系列特定实验的话，我们还不清楚伽利略找到的规律背后有什么样的一般性原理。牛顿意识到规律来自变化率。速度是位置随时间的变化率，加速度是速度随时间的变化率。在伽利略的观察中，位置随时间的平方变化，速度呈线性变化，而加速度则根本不变。牛顿意识到，为了更深刻地理解伽利略的规律，以及它们对我们的自然观意味着什么，他必须要对付瞬时变化率了。当他这样做时，微积分就跃然而出了。

你可能会觉得，一个像微积分这样重要的思想，宣布的时候应该有锣鼓喧天、号角齐鸣的盛大游行才对。然而，理解、欣赏新思想的重要性需要时间，微积分也不例外。牛顿在这一方面的工作可以追溯到1671年或更早，当时他写了《流数法和无穷级数方法》（The Method of Fluxions and Infinite Series）。我们对具体的日期拿不太准，因为这本书直到他去世差不多十年后的1736年才出版。牛顿的其他几篇手稿也提到了我们现在所知的微分和积分的思想，这是微积分的两个主要的分支。莱布尼茨的笔记本显示，他在1675年取得了他在微积分方面的第一个重要成果，但他直到1684年才发表了关于该主题的内容。

牛顿在科学上崭露头角之后——这时距离两人解决微积分的基础已经很久了——牛顿的一些朋友引发了一个关于谁先谁后的争议。这个争议指责莱布尼茨抄袭了牛顿未发表的手稿，基本上毫无意义，却十分激烈。来自欧洲大陆的一些数学家则反过来指控牛顿抄袭。在一个世纪里，英国数学家和欧洲大陆数学家几乎谁也不理谁，这对英国数学家造成了巨大的伤害，但对欧洲大陆数学家来说却没有任何影响。他们将微积分发展成数学物理的核心工具，而他们的英国同行则忙着为针对牛顿的侮辱生闷气，而不是运用牛顿的见解。这个故事非常纠结，科学史学家们对此仍有学术争论，但大致来说，牛顿和莱布尼茨似乎独立地发现了微积分的基本思想——至少在他们共同的数学和科学文化所允许的范围内是独立的。

莱布尼茨所用的符号与牛顿的不同，但本质思想多少是一回事。然而，它们背后的直觉是不同的。莱布尼茨的方法是形式化的，靠的是摆弄代数符号。牛顿的脑海中有一个物理模型，他考虑的函数是随时间变化的物理量。这就是他诡异的“流数”（fluxion）一词的由来——随着时间流逝而流动的东西。

牛顿的方法可以用一个例子来说明：数量是另一个数量的平方。（这是伽利略从滚球中发现的规律：它的位置与经过的时间的平方成正比。因此就是位置，是时间。时间通常用符号表示，但是平面中的标准坐标系使用和。）首先引入一个新的数量，表示的微小变化。的相应变化就是

这可简化为。因此变化率（在增加至时，在微小长度间隔上取平均）是

这取决于，也只能是这样，因为我们取的是一个非零间隔内的平均变化率。然而，如果越来越小，“流向”零，则变化率越来越接近。这就不依赖于，而是给出了处的瞬时变化率。

莱布尼茨基本上做了相同的计算，用（“的小变化”）来代替，并定义了来表示中相应的微小变化。当变量取决于另一个变量时，相对于的变化率被称为的导数。牛顿表示的导数的方法是在它上面加了一个点。莱布尼茨的写法是。对于更高阶的导数，牛顿使用了更多的点，而莱布尼茨的写法则是类似于。今天我们说是的函数，写作，但这个概念在当时还只是原始的形式。我们要么使用莱布尼茨的记法，要么使用牛顿的记法的一种变体，其中用撇来代替点（这比较容易印刷）：、。我们还会写和来强调导数本身也是函数。计算导数的运算称为微分。

人们发现积分（求面积）是微分（求斜率）的逆运算。为了解释原因，想象一下在图3.1的阴影区域的一端加上一个窄条。这个窄条非常接近宽为、高为的细长矩形。因此，它的面积非常接近。面积相对于的变化率是比例，也就是。因此面积的导数就是原函数。牛顿和莱布尼茨都了解计算面积的方法，也就是所谓“积分”的运算，在这个意义上是微分的反转。莱布尼茨先是使用符号omn.（拉丁语中“和”omnia的缩写），后来换成了，一个老式的长s，也代表“和”。牛顿没有系统化的积分符号。

图3.1　为曲线下方的区域添加一个窄条

然而，牛顿确实取得了一个重要进展。瓦利斯计算了所有幂函数的导数：。所以比如、、的导数分别是、、。他已将结果推广到任何多项式——有限幂函数的组合，例如。诀窍是分别考虑每个幂函数，求出相应的导数，并以相同的方式组合起来。牛顿注意到，同样的方法适用于无穷级数，也就是包含变量的无限多个幂函数的表达式。这让他可以在许多其他比多项式更复杂的表达式上做微积分运算。

鉴于两种版本的微积分之间存在密切的对应关系，主要区别在于记法不同（这并不重要），很容易想见这个谁先谁后的争议是怎么产生的。然而，其基础思想是对基本问题相当直接的表述，因此尽管有相似之处，牛顿和莱布尼茨独立地得出自己的版本也是很容易理解的。不管怎么说，费马和沃利斯得出的很多结果比他们都早。这个争议毫无意义。

更有成效的争论是针对微积分的逻辑结构，或者更确切地说，是微积分不合逻辑的结构。一位主要的批评者是英裔爱尔兰哲学家乔治·贝克莱（George Berkeley），他是克洛因镇的主教。贝克莱有一个宗教目的；他觉得从牛顿的工作中发展出来的唯物主义世界观，代表着上帝是一个超然的创造者，一旦创造出来的东西开始运转，他就撒手不管了，这可不像是基督教信仰中那个亲力亲为、无所不在的上帝。于是他攻击了微积分基础中的逻辑不一致，可能是希望让由此产生的科学名誉扫地。他的攻击对数学物理的进展没有明显的影响，原因很简单：使用微积分得到的结果对自然有如此深刻的洞察力，并且与实验结果如此一致，以至于逻辑基础似乎都不重要了。直至今日，物理学家仍然持这种观点：如果它管用，谁会关心逻辑上的吹毛求疵呢？

贝克莱认为，如果你在大部分运算中认为一个小量（牛顿的，莱布尼茨的）是非零的，再把它设成零——然而先前已经让分子、分母同时除以这个量——那这在逻辑上说不通。除以0的运算在算术中是不可接受的，因为它没有明确的含义。例如，，因为两者都是0，但如果我们将该等式的两边同时除以0，就会得到，而这是不成立的。3贝克莱在1734年的一本小册子《分析学家；致一位不信神数学家的论文》中发表了他的批判。

事实上，牛顿试图通过类比物理来厘清逻辑。他认为不是一个固定的数量，而是随着时间流逝而流动的东西——越来越接近零，却永远不会到达。导数也被用一个流动的量来定义：的变化与的变化之比。这个比例也流向某种东西，但永远不会到达；这个东西就是瞬时变化率，即对的导数。贝克莱认为这个想法是“消失量之鬼”。

还有一个人不屈不挠地批判莱布尼茨：几何学家伯纳德·尼欧文蒂（Bernard Nieuwentijt）。他在1694年和1695年公开发表了他的批评。莱布尼茨没有试图用“无穷小”来解释他的方法——这个术语容易被误解。然而，他确实解释了，他所说的这个术语的意思不是一个可以任意小的固定的非零数量（这在逻辑上说不通），而是一个可变的非零数量，它可以变得任意小。牛顿和莱布尼茨的辩词基本是一样的。对于他们的反对方来说，这听起来肯定都是文字花招。

幸运的是，当时的物理学家和数学家并没有等到把微积分的逻辑基础搞清楚，再去应用到科学前沿上。他们有另一种方法可以确保做出明智的决定：与观察和实验进行比较。牛顿本人发明微积分恰恰就是为了这个目的。他推导出了物体被施力时如何运动的定律，并将它们与针对引力的定律相结合，解开了关于太阳系行星和其他天体的许多谜团。他的万有引力定律在物理学和天文学中是如此关键，它应该，也确实得到了自己的专门一章（下一章）。他的运动定律——严格来说是由三个定律组成的体系，其中一个定律包含了大部分数学内容——相当直接地引出了微积分。

讽刺的是，当牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书中发表这些定律及其科学应用时，他抹去了所有微积分的痕迹，代之以经典的几何论证。他可能认为几何对于他的目标读者来说更容易接受——如果他真是这么想的，那他几乎肯定是对的。然而，他的许多几何证明要么是受微积分启发，要么是依赖微积分技巧来找到正确答案，再靠这些答案来完成几何证明。在现代人看来，这在《自然哲学的数学原理》第二卷中对所谓的“生成数量”的处理中再明显不过了。这些数量通过“连续运动或流量（也就是他未发表的书中的‘流数’）”增加或减少。今天我们称它们为连续（实际上是可微）函数。牛顿没有显式地使用微积分运算，而是代之以“初始和最终比”的几何方法。他的开篇引理（给被反复使用，但本身并不值得关注的辅助数学结果起的名字）露了馅儿，因为它这样定义了这些流动量的相等：

数量和数量之比，若在任何有限的时间内连续向相等收敛，并且在该时间结束时彼此接近的程度小于任意给定的差异，则最终是相等的。

在《永不停息》（Never at Rest）一书中，牛顿的传记作者理查德·韦斯特福尔（Richard Westfall）解释了这个引理是多么激进和新颖：“无论从语言还是从概念上…… 都是彻底现代的，古典几何学中没有这样的东西。”4与牛顿同时代的人肯定很难搞懂牛顿到底想干什么。贝克莱大概从没搞清楚，因为——正如我们将要看到的那样——牛顿的基本思想可以驳倒他的反对意见。

所以说，微积分在《自然哲学的数学原理》中扮演着重要的幕后角色，却没有出现在台前。然而，微积分一旦走出幕后，牛顿思想的继承者们就很快逆向推演出了他的思维过程。他们用微积分语言重新描述了牛顿的主要观点——因为这提供了一个更自然、更强大的框架，然后出发去征服科学世界。

在牛顿运动定律中已经可以看到这条线索。促使牛顿得出这些定律的是一个哲学问题：导致物体运动或改变其运动状态的原因是什么？经典的答案是亚里士多德给出的：物体运动是因为对其施加了力，而这会影响它的速度。亚里士多德还指出，为了让物体保持运动，必须持续向其施加力量。你可以在桌子上放一本书或类似的物体来检验亚里士多德的说法。如果你推这本书，它就会开始运动；如果你继续以相同的力推动它，它会以大致恒定的速度继续在桌子上滑动。如果你不推了，书就会停止运动。所以亚里士多德的观点似乎与实验一致。然而，这种一致是肤浅的，因为推力并不是影响书的唯一力量。桌子表面还有摩擦力。当书在稳定的力的推动下稳定地滑过桌面时，摩擦阻力与施加的推力相抵消，作用在物体上的力的总和实际上是零。

遵循着伽利略和笛卡儿的早期想法，牛顿意识到了这一点。由此产生的运动理论与亚里士多德的理论截然不同。牛顿的三个定律如下。

第一运动定律。任何物体都会继续其静止或匀速直线运动状态，除非施加于其上的力迫使它改变这种状态。

第二运动定律。运动的变化与施加的力成正比，且运动变化的方向就是施力的方向。（比例常数是物体质量的倒数，即1除以该质量。）

第三运动定律。任何作用力都对应着一个反向且相等的反作用力。

第一运动定律明确地反驳了亚里士多德。第三运动定律说，如果你推一件东西，它会反推回来。第二运动定律正是微积分的来源。所谓“运动的变化”，牛顿指的是物体速度变化的速率：加速度。这是速度对时间的导数、位置对时间的二阶导数。所以牛顿的第二运动定律以微分方程的形式指出了物体位置和作用于它的力之间的关系：

为了求出位置本身，我们必须解这个方程，从二阶导数推导出位置。

用这一思路就可以简单地解释伽利略对于滚球的观察。关键的一点是，球的加速度是恒定的。我之前就说过这一点，当时是对离散的时间间隔做了粗略的计算；现在允许时间连续变化，我们就可以好好计算一下了。比例常数与重力和斜面的角度相关，但这里我们不需要那么多细节。假设恒定的加速度为。对相应的函数积分，在时刻滑下斜面的速度是，其中是零时刻的速度。再次积分，球在斜面上的位置是，其中是零时刻的位置。在，，的特殊情况下，得到的一系列位置的数值符合我的简化示例：在时刻，位置的数值是。类似的分析也可得出伽利略的重大结果：抛出的物体的运动轨迹是抛物线。

牛顿的运动定律不仅仅提供了一种计算物体运动方式的方法。它们引出了深刻的一般性物理原理。其中最重要的是“守恒定律”：它告诉我们，当一个物体系统运动时，无论它多么复杂，该系统的某些特征不会改变。无论运动多么纷杂混乱，总有几个量岿然不动。三个这样的守恒量是能量、动量和角动量。

能量可以定义做功的能力。当一个物体抵抗（恒定的）重力，被提升到一定的高度时，将它举到这个高度所做的功，与物体的质量、重力和高度成正比。相反，如果我们松开物体，它可以做同样多的功，再落回到原始高度。这种能量称为势能。

单看势能并不算非常有意思，但从牛顿第二运动定律可以得出一个美妙的数学结果，引出第二种能量：动能。当物体运动时，它的势能和动能都会发生变化。但是，一种能量的变化刚好弥补了另一种能量的变化：随着物体在重力作用下下降，它会加速。牛顿运动定律让我们能够计算其速度如何随高度变化。结果发现，势能的减少量恰好等于质量乘以速度平方的一半。如果我们给这个数量起个名字——动能，则总能量（即势能加动能）是守恒的。牛顿定律的这个数学结果证明了永动机是不可能实现的：如果没有外部能量输入，那么没有机械装置可以永远运行下去并做功。

在物理上，势能和动能似乎是两个不同的东西；但在数学上，两者可以互换，就好像运动以某种方式将势能转化为动能一样。“能量”这个术语同时适用于两者，是一种好用的抽象。它的定义经过精心设计以保证守恒。作为类比，一个旅行者可以把英镑兑换成美元。货币兑换处有汇率表，比如说1英镑与1.4693美元价值相等。兑换处还扣下了一笔钱留给自己——算上银行手续费等技术细节后，交易中涉及的总货币价值应该是平衡的：扣除各种费用后，旅行者获得的金额恰好等于与其原始英镑金额相当的美元。然而，纸币中并没有这样一个实体的东西，从英镑钞票中变出来，再变进美元钞票和硬币中。交换的是这些特定物体中人为约定的货币价值。

能量是另一种类型的“物理”量。从牛顿的观点来看，位置、时间、速度、加速度和质量等量都有直接的物理解释。你可以用尺子来测量位置，用时钟计算时间，同时使用这两种工具来测量速度和加速度，使用天平测量质量。但是你并不能使用能量表来测量能量。确实，某些特定类型的能量可以测量。势能与高度成正比，因此如果你知道重量，有一把尺子就足够了。动能是质量乘以速度平方的一半，因此可以使用天平和速度计来测量。但是，能量作为一个概念，与其说是一个实际的东西，不如说是一个方便的虚构，可以帮我们轧平力学的账目。

第二个守恒量——动量是一个简单的概念：质量乘以速度。当有多个物体时，它就有用武之地了。一个重要的例子是火箭：在这里，一个物体是火箭，另一个物体是它的燃料。当燃料被发动机喷出时，动量守恒意味着火箭必须向相反的方向运动。火箭在真空中就是这样工作的。

角动量也与此类似，但它讨论的是旋转而不是速度。它是火箭的核心，实际上也是整个力学的核心，无论是地面力学还是天体力学。关于月球的最大谜团之一就是其巨大的角动量。目前的理论是，大约45亿年前，有一颗火星大小的行星撞击地球，月球是飞溅出去的。这就解释了角动量，这个观点直到最近都得到了普遍接受，但现在看来，月球岩石中的水似乎太多了。这样的冲击应该会把大量的水烧干。5无论最终的结果是什么，角动量在这里都是至关重要的。

微积分确实有效。它解决了物理和几何中的问题，得到了正确的答案。它甚至可以带来新的、基本的物理概念，如能量和动量。但这并没有回答贝克莱主教的异议。微积分必须在数学上成立，而不仅仅是符合物理。牛顿和莱布尼茨都明白，或不能既是零又不是零。牛顿厌倦了使用流数的物理图像来逃避逻辑陷阱。莱布尼茨谈到了无穷小量。二人都提到接近零却永远不会达到零的量——但这东西到底是什么？具有讽刺意味的是，贝克莱对于“消失量之鬼”的奚落让他差点就解决了这个问题，但他没有考虑到——这些量是如何消失的——而这正是牛顿和莱布尼茨所强调的。如果能让它们以正确的方式消失，就可以得到一个形式完美的“鬼魂”。如果当初牛顿或莱布尼茨把他们的直觉用严谨的数学语言表达了出来，那么贝克莱可能已经领会了他们的意思。

中心问题是一个牛顿未能明确回答的问题，因为它似乎显而易见。回想一下，在的例子中，牛顿得到的导数是，然后断言称当流向零时，流向。这似乎显而易见，但我们不能令来证明它。确实，我们通过这样做得到了正确的结果，但这其实是一个干扰。6在《自然哲学的数学原理》中，牛顿对这个问题避而不谈，用他的“最初比”来代替，用“最终比”来代替。但取得进展的真正关键在于正面解决这个问题。我们如何知道，越接近零，就越接近？这似乎是一个相当书呆子的问题，但如果我举一个更复杂的例子，正确答案可能看起来就不那么有道理了。

当数学家回到微积分的逻辑时，他们意识到，这个乍看上去十分简单的问题恰恰是问题的核心。当我们说接近零时，我们的意思是，给定任何非零正数，都可以选择一个小于该数的。（这很显然，比如让为该数字的一半。）类似地，当我们说接近时，我们的意思是，这个差值在前面所说的这个意义上接近零。由于在这个例子里，这个差值恰好是本身，那就更明显了：无论“接近零”是什么意思，显然当接近零时，接近零。比平方更复杂的函数则需要更复杂的分析。

这个关键问题的答案，是用正式的数学语言来陈述这个过程，而完全避免“流动”的想法。这一突破是通过波希米亚数学家和神学家伯纳德·博尔扎诺（Bernard Bolzano）以及德国数学家卡尔·魏尔施特拉斯（Karl Weierstrass）的工作实现的。博尔扎诺的工作可以追溯到1816年，但直到1870年左右，当魏尔施特拉斯将这一表述拓展到复变函数时才得到认可。他们对贝克莱的回答就是极限的概念。我将用文字说明定义，把符号版本留给附注。7设有变量的函数，若给定任何非零正数，都可以找出一个足够小的非零值，使得与数之差都小于该数，则称当趋于零时，趋于极限。用符号表示就是

微积分的核心思想就是在一个小区间内近似函数的变化率，然后在趋于零时取极限。对于一般函数，这个运算就引出了本章开头处的等式，但用的是一般变量，而不是时间：

在分子中，我们看到的变化量；分母是的变化量。如果极限存在，则该等式唯一地定义了导数。这必须对任何我们考虑的函数加以证明：对于大多数标准函数——二次函数、三次函数、高次幂函数、对数函数、指数函数、三角函数等来说，极限确实存在。

我们在计算中没有在任何地方除以零，因为我们从未令。而且，这里没有任何东西会流动。重要的是可以取值的范围，而不是它在这个范围里如何移动。因此，贝克莱讽刺的表述实际上说到点子上了。极限就是“消失量之鬼”——我的式子里的，或牛顿的。但这个量消失的方式——接近零，而不是达到零——带来了一个完全合理且逻辑清晰的“鬼魂”。

微积分现在有了一个坚实的逻辑基础。它值得，并得到了一个新的名称来反映它新的地位：分析。

要列出微积分的所有应用，就像列出世界上所有需要使用螺丝刀的东西一样不切实际。在简单的计算层面上，微积分的应用包括求曲线长度、曲面和复杂形状的面积、物体的体积、最大值和最小值，以及质心。结合力学定律，微积分告诉我们如何求出太空中火箭的轨迹、可能产生地震的俯冲带的岩石中的应力、地震发生时建筑物将如何振动、汽车在悬架上如何上下弹跳、细菌感染扩散所需的时间、手术伤口愈合的方式，以及大风中悬索桥受的力。

其中许多应用源于牛顿定律的核心思想：它们是用微分方程表述的自然模型。这些方程涉及未知函数的导数，需要源自微积分的技巧来求解。我在这里就不再多说了，因为第8章之后的每一章都明确涉及微积分，大部分披上了微分方程的外衣。唯一的例外是关于信息论的第15章，而哪怕在这个领域，也有我未提及的其他进展涉及微积分。像螺丝刀一样，微积分只是工程师和科学家的工具包中一件不可或缺的工具。就现代世界的贡献而言，没有哪个数学技术比得上微积分。