第2章 简化步骤：对数

它告诉我们什么？

如何通过相关数字的加法来做乘法。

为什么重要？

加法比乘法简单得多。

它带来了什么？

计算日食和行星轨道等天文现象的高效方法。快速进行科学计算的方法。工程师的忠实伴侣——计算尺。放射性衰变和关于人类感知的心理物理学。

数字起源于实际问题：记录财产（如动物或土地）以及金融交易（如税收和记账）。除了像 |||| 这样简单的记号之外，已知最早的数字符号写在黏土包裹的外表面上。公元前8000年，美索不达米亚的会计师使用各种形状的小黏土代币来记账。考古学家丹尼斯·施曼特–贝萨拉特（Denise Schmandt-Besserat）意识到，每种形状都代表了一种基础商品——小球代表谷物，蛋形代表一罐油等。为了安全起见，人们把这些代币用黏土密封起来。但要看里面有多少代币，就得打破一个黏土包裹，这实在很麻烦，所以古代会计师在外面刻了一些符号来表示里面有什么。到头来，他们意识到，一旦有了这些符号，代币就可以被废弃了。其结果是一系列代表数字的书面符号——它们是所有后来的数字符号的起源，没准也是文字的起源呢。

除了数字之外，还有算术：对数字加、减、乘、除的方法。算盘之类的工具可以用来做加法，然后用符号记录结果。过了一段时间，人们发现了不需要机械辅助就能利用符号进行计算的方法。虽然世界上许多地方仍然广泛地使用算盘，但大多数其他国家已经用电子计算器取代了笔算。

算术在其他地方也是必不可少的，特别是在天文学和测量方面。随着物理科学的基本轮廓开始显现，初出茅庐的科学家们需要手工进行愈发精密的计算。通常，这占用了他们的大部分时间，有时长达数月或数年，妨碍了更具创造性的活动。最终，加快这一进程变得至关重要。人们发明了无数的机械装置，但最重要的突破是概念性的：先思考，再计算。利用巧妙的数学，你就可以大大简化困难的计算。

这种新的数学迅速自成一体，其结果具有深刻的理论和实践意义。今天，这些早期的想法已成为整个科学中不可或缺的工具，甚至进入了心理学和人文学科。它们被广泛应用，直到20世纪80年代被计算机淘汰。但尽管如此，它们在数学和科学中的重要性仍在不断增长。

其中心思想是一种称为“对数”的数学技术。它的发明者是一位苏格兰领主，但一位对导航和天文学有浓厚兴趣的几何教授，以一个好得多的设计取代了这位领主精彩却有缺陷的想法。

1615年3月，亨利·布里格斯（Henry Briggs）在给詹姆斯·厄谢尔（James Ussher）的一封信中，记录了科学史上的一个重要事件：

纳普尔，默奇斯顿的领主，用他令人赞赏的新对数让我的头脑和手都忙起来了。如果上帝保佑，我希望今年夏天能见到他，因为我从来没有看过一本令我更加高兴或是更为好奇的书。

布里格斯是伦敦格雷沙姆学院的第一位几何学教授，“纳普尔，默奇斯顿的领主”则是约翰·纳皮尔，他是曼彻斯通（现属苏格兰爱丁堡市）的第八任领主。纳皮尔似乎有点儿像神秘主义者；他对神学很感兴趣，但兴趣主要集中在《启示录》上。在他看来，他最重要的作品是《圣约翰全启示录的平凡发现》，这让他预测世界将在1688年或1700年毁灭。他被认为涉足了炼金术和通灵术，而他对神秘学的兴趣使他有了巫师之名。传说他随身在一个小盒子里携带一只黑色蜘蛛，并拥有一个“心腹”，或者说神奇的伴侣：一只黑色的小公鸡。根据他的一位后人，马克·纳皮尔的说法，约翰用了这只心腹公鸡来抓偷窃的仆人。他把嫌疑人和公鸡一起锁在房间里，并让他们抚摸它，说他那只神奇的鸡会分毫不差地发现罪人。但纳皮尔的神秘主义有一个理性的核心：在这里，他在公鸡身上抹了一层薄薄的烟灰。无辜的仆人会非常自信地照做，并抚摸这只鸡，手上就会沾上烟灰。而偷盗者害怕被发现，就不想去抚摸它。所以，具有讽刺意味的是，干净的手反倒证明有罪。

纳皮尔将大部分时间花在了数学上，特别是快速进行复杂算术计算的方法。一个发明是“纳皮尔的骨头”1，它由一组十根标有数字的算筹组成，简化了多位乘法的计算。但更好的发明是给他带来声誉并创造了一场科学革命的东西：不是他所希望的关于《启示录》的书，而是他在1614年发表的《对奇妙对数规律的描述》（Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio）。书的前言表明，纳皮尔确切地知道他得到的是什么，以及它有什么好处。1

1 纳皮尔的骨头在清初传入中国，数学家梅文鼎在《梅氏丛书辑要》中首先介绍，称之为“筹算”。——译者注

亲爱的数学家们，因为在数学技术的实践中，没有什么比冗长的乘除法、求比例，以及求平方根和立方根所花费的大量时间更令人厌烦的了——还有……可能出现许多棘手的错误，因此我的头脑一直在思索，我可以通过什么样稳妥而迅捷的技术来解决上述这些困难。经过深思熟虑后，最后我找到了一种缩短程序的绝妙方法……我乐于将该方法公开，供数学家们使用。

布里格斯在听到对数的那一刻就被迷住了。和他那个时代的许多数学家一样，他花了很多时间进行天文计算。我们之所以知道这件事，是因为布里格斯给厄谢尔的另一封信（落款为1610年）中提到了计算日食，并且因为布里格斯早些时候出版了两本数表，一本与北极相关，另一本与导航有关。所有这些工作都需要大量复杂的算术和三角学知识。纳皮尔的发明将节省大量烦琐的劳动。但布里格斯对这本书的研究越多，他就越相信，尽管纳皮尔的战略很精彩，但他的战术却错了。布里格斯想出了一个简单但有效的改进，并且长途跋涉到了苏格兰。当他们见面时，“差不多过了一刻钟的光景，两个人都崇敬地看着对方，未发一言”。2

是什么激发了这样的崇敬？对于任何学习算术的人来说，一个显而易见的关键发现在于，加法相对容易，而乘法则不然。乘法需要比加法多得多的算术运算。例如，两个十位数字相加大约需要十个简单步骤，但乘法则需要200步。对于现代计算机，这个问题仍然很重要，但现在它隐藏在使用乘法的那些算法背后。但在纳皮尔的时代，这一切都必须手工完成。如果有某种数学技巧能够将那些令人讨厌的乘法转换为漂亮、快速的加法，那不是太好了吗？这听起来好得令人难以置信，但纳皮尔意识到这是可能的。诀窍是使用固定数字的乘方。

在代数中，未知数的幂用小小的数字上标表示。也就是说，，，，依此类推。其中按照代数的惯例，两个字母放在一起意味着相乘。比如，。用不了多久，你就会发现简单的计算方法，比如，只要写下

答案中0的个数是7，也就是。计算的第一步就告诉你为什么它是：我们把4个10和3个10摆在一起。简而言之，

同样的道理，不管的值是多少，如果我们用它的次方乘以它的次方，其中和是整数，那么就会得到次方：

这个公式看起来似乎平淡无奇，但左边是将两个数量相乘，而右边的主要步骤是把和相加，这更简单。

假设你想要算乘法，比如2.67乘以3.51。通过列竖式得到9.3717，保留小数点后两位是9.37。如果你想试一下上面的公式怎么办？诀窍在于选择。如果我们将设为1.001，那么运用一些算术就可得到

精确到小数点后两位。然后公式告诉我们是

保留小数点后两位，结果是9.37。

计算的核心是一个简单的加法：。但是，如果你试图验算的话，很快就会发现，我把问题变得更难，而不是更简单了。要计算，你必须把1.001乘以它自己983次。而要找到983这个合适的指数，你要做的工作就更多了。乍一看，这似乎是一个非常无用的想法。

纳皮尔很有见地的一点，就是他认为这种反对是错误的。但为了克服它，必须要有一些吃苦耐劳的人事先把1.001的许多幂计算好了，从开始，一直到之类的。然后他们就可以发表包含所有这些幂的表格。大部分工作到此就已经完成了。你只需要用手点着指数挨个往下找，直到你看到983旁边的2.67；你同样可以找到1256旁边的3.51。然后你把这两个数字加起来，得到2239。表中对应的一行告诉你1.001的这个幂是9.37。大功告成。

要得到真正精确的结果，就需要更接近1的数，例如1.000 001。这会让表成倍增长，包含一百万左右个幂。计算这张表是一项巨大的工程。但它只需做一次。如果一些有自我牺牲精神的恩人先把工作做完了，后人就可省去大量的计算。

对于这个例子而言，我们可以说指数983和1256分别是我们要相乘的数字2.67和3.51的对数（logarithm）。同样，2239是乘积9.38的对数。如果用缩写“”来表示对数，我们所做的就相当于方程

这对于任何数字和都成立。我们任意选择的1.001称为底数。如果使用不同的底数，我们计算的对数也不同，但对于任意固定的底数，一切都以相同的方式工作。

这是纳皮尔本该做的事情。但出于无法确知的原因，他的方法略有不同。布里格斯以新鲜的视角来看待这项技术，发现了两种方法来改进纳皮尔的想法。

当纳皮尔在16世纪末开始思考数的幂时，将乘法化为加法的想法已经在数学家中流传。丹麦人使用一个相当复杂的方法，它基于三角函数公式，称为“积化和差”。3 纳皮尔受到了启发，并且他足够聪明，意识到固定数字的幂可以更简单地完成同样的工作。他所需要的表格还不存在——但这很容易补救。某些有公益精神的人必须完成这项工作。纳皮尔主动投身于这项任务，但他犯了一个战略性错误。他没有使用略大于1的底数，而是使用了略小于1的底数。因此，幂数列开始的数大，后面的数却越变越小。这使计算更加费劲了些。

布里格斯发现了这个问题，并找到了应对的方式：使用略大于1的底数。他还发现并解决了一个更微妙的问题。如果将纳皮尔的方法改为使用类似于的幂，那么比如12.3456和的对数之间就没有一目了然的关系。所以这张表什么时候能够列完并不完全清楚。问题的根源是的值，因为

不幸的是，看起来一团糟：底数为时，10的对数为。布里格斯认为，选择一个底数让会更好。那么，这样无论是多少，你只需要加1就可以得到。现在，对数表只需要从1到10就够了。如果出现更大的数字，只需加上适当的整数。

为了使，你就要先照着纳皮尔的方法做一遍，使用作为底数，然后每个对数都要除以那个诡异的数字。得到的表就由以10为底的对数组成，我把它记为。它们满足

和以前一样，但同时

没过两年，纳皮尔就去世了，于是布里格斯开始研究以10为底的对数。1617年，他发表了《前一千个对数》（Logarithmorum Chilias Prima），包含从1到1000的整数的对数，精确到14位小数。在1624年，他又继而发表了《对数算术》（Arithmetic Logarithmica），这是一张以10为底数的对数表，包含从1到，以及从到的数的对数，也达到了相同的精度。其他人迅速跟随布里格斯的脚步，填补了中间的大块空白，并编制了辅助表格，比如这样的三角函数的对数。

启迪了对数的思想同样可以让我们定义正变量的次方，其中不是正整数。我们只需要坚持这个定义必须满足方程，然后遵循我们的直觉。为了避免令人讨厌的并发症，最好假设为正，并定义也为正。（对于为负的情况，最好引入复数，见第5章。）

例如，是多少？记住，公式表明必须满足。那么等式两边除以，我们发现。那么呢？嗯，公式说。两边除以，我们就得到。类似地，，，依此类推。

当我们考虑时，事情就开始变得更有趣，还可能非常有用。它必须满足。所以乘以它自己就是。具有这个性质的唯一数字是的平方根。所以。同样——立方根。按照这种方式，我们可以为任何分数定义。然后，使用分数来逼近实数，我们可以为任何实数定义。方程依然成立。

同样可得，，因此我们可以使用对数表轻松计算平方根和立方根。例如，要找到一个数字的平方根，我们取它的对数，除以2，然后查查它是哪个数字的对数。对于立方根，执行相同的操作，只是要除以3。解决这些问题的传统方法既烦琐又复杂。你这就明白为什么纳皮尔在他的书的序言中拿平方根和立方根举例子了。

完整的对数表一经出现，就成为科学家、工程师、测绘员和导航员不可或缺的工具。它节省了时间，减少了工作量，也提高了答案正确的概率。早先，天文学是一个受益大户，因为天文学家日常需要进行冗长而困难的计算。法国数学家兼天文学家皮埃尔·西蒙·德·拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace）说，对数的发明“将几个月的劳动减少到了几天，使天文学家的生命延长了一倍，并使他免于错误和厌恶”。随着制造业中对机械使用的增长，工程师也开始越来越多地运用数学——设计复杂的齿轮，分析桥梁和建筑物的稳定性，以及建造汽车、卡车、轮船和飞机。几十年前，对数是学校数学课程的重要组成部分。并且工程师们还会在口袋里携带一个可以随时取用的所谓“计算尺”，它实际上是一个模拟的对数计算器，也就是对数基本方程的实体表达，在从建筑到飞机设计的各种应用中都会经常用到。

第一把计算尺是由英国数学家威廉·奥特雷德（William Oughtred）于1630年设计的，用的是圆形的刻度。他在1632年修改了设计，把两把尺子拉直了。这就是第一把滑动计算尺。它的原理很简单：如果你把两根杆接起来，它们的长度就会相加。如果在杆上加上对数刻度，也就是把数字按照它们的对数间隔开来，那么相应的数字就会相乘。例如，把一根杆上的1与另一根杆上的2对齐。那么对于第一根杆上的任何数字，我们都会在第二根杆上找到。所以3对应的就是6，依此类推（图2.1）。如果数字更复杂，比如2.67和3.51，就可以让1对齐2.67，然后读出3.51对应的数字，即9.37。一样简单。

图2.1　在计算尺上用2乘以3

工程师们很快开发出了具有三角函数、平方根、用于计算幂的重对数（对数的对数）刻度等功能的复杂计算尺。最终，对数让位给了数字计算机，但即使是现在，对数仍然和它不可分割的伴侣——指数函数一起，在科学技术中扮演着极其重要的角色。对于底数为10的对数，指数函数就是；对于自然对数，指数函数就是，其中。无论是哪一对，这两个函数都互为逆运算。如果你取一个数字，取对数，然后再取指数，你就会得到最开始的数字。

既然有了计算机，为什么还需要对数？

2011年，日本东海岸发生了9.0级地震，引发了巨大的海啸，摧毁了一个人口密集的地区，造成约25 000人死亡。在沿海地区有一座核电站——福岛第一核电站（区别于附近的第二座核电站）。它包括六个独立的核反应堆：其中三个在海啸袭击时正在运行；其他三个暂时停机，其燃料已被转移到位于反应堆外，但仍在反应堆建筑内的水池里。

海啸摧毁了工厂的防御，切断了电力供应。作为预防措施，三个运行中的反应堆（1、2、3号）均被关闭，但仍需要冷却系统来防止堆芯熔毁。然而，海啸也破坏了应急发电机，而这些发电机原本是给冷却系统和其他关键的安全系统供电的。下一级备份是电池，电量很快耗尽了。冷却系统停机，几个反应堆中的核燃料开始过热。操作员临场应变，使用消防车将海水泵入三个运行的反应堆，但海水与燃料棒外的锆管反应产生了氢气。氢气的积聚导致1号反应堆建筑内部发生爆炸。2号和3号反应堆很快就遭遇了同样的命运。4号反应堆水池中的水流尽了，使核燃料暴露了出来。当操作员终于貌似控制了局面时，至少有一个反应堆安全壳破裂，辐射泄漏到了当地环境中。由于辐射远远高于正常安全限值，日本当局疏散了周围地区的20万人。六个月后，运营反应堆的东京电力公司表示，情况仍然严峻，在反应堆被认为完全受到控制之前还有大量工作要做，但声称泄漏已经停止。

我不想在这里分析核电的优缺点，但我想讲一讲对数如何回答一个至关重要的问题：如果你知道泄漏了多少放射性物质，并且知道是哪一种，那么它在环境中造成的危险会持续多长时间？

放射性元素会衰变；也就是说，它们通过核反应过程变成其他元素，与此同时发射出核子。正是这些粒子构成了辐射。放射性水平随着时间的推移而逐渐降低的方式，与热的物体冷却时的温度下降一样——都是指数下降。因此，在适当的单位下（在这里我就不讨论了），时刻的放射性水平遵循方程

其中是初始水平，是常数，取决于涉及的元素。更准确地说，它取决于涉及的元素是哪种形式，或者说是哪种同位素。

衡量放射性持续时间的一个方便的标准是半衰期，这个概念是在1907年首次提出的。它指的是从初始水平下降到该水平的一半所花费的时间。为了计算半衰期，我们要求解方程

两边取自然对数。结果是

我们可以把它求出来，因为可从实验中得知。

半衰期是一个评估辐射持续时间的方便的手段。例如，假设半衰期为一周。那么，材料辐射的初始强度会在1周后减半，在2周后降至四分之一，在3周后降至八分之一，依此类推。它需要10周才能降到初始水平的千分之一（实际上是），需要20周才能降至百万分之一。

在传统核反应堆的事故中，最重要的放射性产物是碘-131（碘的放射性同位素）和铯-137（铯的放射性同位素）。前者可导致甲状腺癌，因为甲状腺会富集碘。碘-131的半衰期仅为8天，因此如果有合适的药物，它几乎不会造成损害，并且除非持续泄漏，否则其危险性降低得相当快。标准治疗方法是给予碘片，这可以降低身体摄入放射性物质的量，但最有效的补救措施是停止饮用受污染的牛奶。

铯-137则非常不同，它的半衰期为30年。放射性水平下降到其初始值的百分之一需要大约200年，因此在很长一段时间内仍然存在危险。反应堆事故中的主要实际问题是土壤和建筑物的污染。消除污染在某种程度上是可行的，但成本高昂。例如，土壤可以被移除、运走，并存放在安全的地方。但这会产生大量的低放射性废物。

放射性衰变只是纳皮尔和布里格斯的对数继续为科学和人类服务的众多领域之一。如果你翻阅后面的章节，会发现它们出现在热力学和信息论中。尽管对于它最初的目的——快速计算而言，高速计算机已经取代了它，但出于概念而非计算的原因，它仍然在科学中占有核心地位。

对数的另一个应用来自对人类知觉的研究：我们如何感知周围的世界？知觉心理物理学的先驱们对视觉、听觉和触觉进行了广泛的研究，并发现了一些有趣的数学规律。

在19世纪40年代，德国医生恩斯特·韦伯（Ernst Weber）进行了实验来确定人类知觉的灵敏程度。他把重物放在受试者手中，并问他们什么时候可以感觉出一件重物比另一件重，然后韦伯就可以得出可感知的最小重量差异。也许令人惊讶的是，对于给定的受试者，这个差异并非固定值。它取决于所比较的重物有多重。人们感觉到的最小差异并不是绝对的——比方说50克。他们感觉到的是相对的最小差异——比方说相比较的重量的1%。也就是说，人类知觉能够检测到的最小差异，与刺激（即实际物理量）大小成比例。

在19世纪50年代，古斯塔夫·费希纳（Gustav Fechner）再次发现了同样的定律，并以数学方式加以表述。这让他得到了一个方程，他称之为韦伯定律，但现在它通常被称为费希纳定律（如果你力求纯正，可以称之为韦伯–费希纳定律）。它说感知的感觉与刺激的对数成正比。实验表明，这项定律不仅适用于重量感，也适用于视觉和听觉。如果看一盏灯，我们感知的亮度会随着实际能量输出的对数而变化。如果一个光源的亮度是另一个光源的亮度的十倍，那么我们感知的差异就是一个定值，无论两个光源到底有多亮。声音的响度也是如此：声响的能量差十倍，听起来更响的程度是固定的。

韦伯–费希纳定律并不完全准确，但它是一个很好的近似。进化几乎不得不产生类似对数尺度的东西，因为外部世界给我们的感官带来的刺激强度范围非常之大。一个声响可以小到是老鼠钻过树篱的声音，也可能是一声雷鸣——两者我们都要能够听到。但是声强的范围是如此巨大，以至于没有生物传感装置可以做出正比于声音能量的反应。如果一种耳朵能听到老鼠的声音，那雷声就要把它搞坏了。如果它调低声级来让雷声产生一个舒适的信号，那它就听不到老鼠的声音了。解决方案是将能量水平压缩到舒适的范围，而对数恰恰做到了这一点。感知比例（而不是绝对值）非常合理，也带来了好用的感官。

我们的标准声强单位——分贝，将韦伯–费希纳定律包含在了一个定义中。它衡量的不是绝对声强，而是相对声强。草丛中的老鼠产生的声音约为10分贝。相距一米的人之间正常交谈的声音约为40～60分贝。电动搅拌器向使用者发出的噪声约为60分贝。发动机和轮胎产生的汽车噪声为60～80分贝。一百米外的喷气式客机产生的噪声为110～140分贝，在三十米处上升到150分贝。呜呜祖拉（2010年足球世界杯期间常常听到的令人讨厌的像小号的塑料乐器，还被没想清楚的球迷带回家当作纪念品）在一米处可产生120分贝的噪声。一枚军用爆音弹可产生高达180分贝的噪声。

像这样的尺度应用广泛，因为它们有安全作用。可能导致听力受损的声强约为120分贝。请扔掉你的呜呜祖拉。