1.2 大道至简的中国古算
1.2.1 算筹：中国古代的高超算术
算筹是何物？你也许不曾耳闻，但一定知道“运筹帷幄”这个成语，它所言之“筹”正是算筹。
算筹是石子计数和契刻计数的发展成果，最早出现于商周时期，在算盘发明之前，堪称世界上最先进的计算工具。先进的计算工具竟是一根根小小的棍子，人们通过多样的摆放棍子的方式进行计算。小棍的材料来源多样，有竹子、木头、象牙、兽骨、金属、玉器等，凡是能削成棍状的东西皆可为算筹。当然，我们现今所能看到的多是耐腐蚀材质的算筹。小棍通常是光滑无痕的，但也有部分算筹上刻有便于计算的辅助信息。
像现代人随身携带手机一样，懂数学的古人通常会随身佩戴由丝布制成的算袋，里头放着一把算筹。到了唐朝，更有相关法律规定文武百官必须佩戴算袋。可见在彼时，算筹不单是一种计算工具，更是地位和身份的象征。
1．算筹示数
史上第一本记述算筹的专著是约1500年前的《孙子算经》，其中详细记载了用算筹表示数字的方法。算筹中用红棍表示正数，黑棍表示负数，有纵横两种“布棍”模式。纵式用竖棍表示1，横棍表示5；横式反之，如表1.1和表1.2所示。0比较特殊，用留空表示。
表1.1 用算筹表示1～9
表1.2 用算筹表示−9～−1
不过以红黑两色来区分正负毕竟比较麻烦。在只有一种颜色的情况下（尤其是在书写时），人们可以通过一根斜放的小棍来表示负数，如表1.3所示。
表1.3 用单色算筹表示负数（以纵式为例）
对于不同的数位，纵式、横式是相间使用的，《孙子算经》如是描述：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”通俗地讲，个位上的数字用纵式，十位上的数字用横式，百位再用纵式，千位再用横式，依次类推。这样主要是考虑到0的存在，如数字1024的算筹表示如表1.4所示。表中凸显了0的空位，但在实际使用中，尤其在书写（誊抄算法）时，空位很容易被忽略。有了纵横交错的用法，即使没有空位，同一摆法的2和1挨在一起，人们也不会把1024当成124。
表1.4 1024的算筹表示
当然，这种用法应对不了0连续出现的情况，如100024就有被当成1024的可能。人们会在“布筹”的计算板上画好棋盘一样的表格以便留空，或者用围棋子来表示0，以避免这个问题。在书写方面，则引入了符号“〇”。纵横交错的形式作为经典范式被一直沿用了下来。
2．筹算
运用算筹的算法叫筹算。算筹本身仅提供了一种用棍子表示数字的“书写”形式，筹算才是其“灵魂”所在。
筹算的功能强大，除能进行最基本的加减乘除运算之外，它还能进行乘方和开方运算，甚至能解线性方程（组）、求最大公约数和最小公倍数、解同余式组、造高阶查分表等。筹算所用到的负数、小数、分数等较抽象的数学概念比西方早了上百年甚至好几百年。
南北朝的数学家祖冲之使用筹算将圆周率精确到了小数点后7位（3.1415926～ 3.1415927）。
除圆周率之外，我国古代著名的秦九韶算法、剩余定理等了不起的数学成就也是靠筹算得到的。
在进行筹算时，先将算筹摆成待计算的数字，再一边念口诀一边调整算筹的布局，不断形成新的数字，最终得到计算结果。以64×16为例，计算过程如下。
（1）上位布64，下位布16，且下位的个位与上位的最高位对齐，如图1.24所示。
图1.24 第（1）步
（2）上位中的6乘下位中的1，得中间结果600，并置于中位；上位中的6乘下位中的6，得中间结果360，累加至中位，中位为960，如图1.25所示。
图1.25 第（2）步
（3）移去上位的6，下位中的数整体右移一位，如图1.26所示。
图1.26 第（3）步
（4）上位中的4乘下位中的1，得中间结果40，累加至中位，中位为1000；上位中的4乘下位中的6，得中间结果24，累加至中位，此时中位为最终结果1024，如图1.27所示。
对于初学者，筹算的过程有些令人眼花缭乱，但熟练的筹算者可以达到很快的运筹速度。沈括在《梦溪笔谈》中有这样的描述：“运筹如飞，人眼不能逐。”
图1.27 第（4）步
3．算筹的缺陷
筹算虽然强大，但算筹毕竟是件简单的工具，终有捉襟见肘的时候。同现今计算机软件的发展往往会对硬件提出更高的要求一样，人们为算筹定制了丰富多样的算法和口诀，而算筹渐渐无法适应复杂的算法（如重因法、身外加减法、求一法等）。筹算时所用到的算筹数量庞大，表示单个数字就需要1～5根算筹，数字越多越繁乱。三国时期魏国人管辂在其《管氏地理指蒙》一书中甚至以筹喻乱：“形如投算，忧愁紊乱。”
最早的算筹长约14cm，数字“6”的占用面积就达近200cm2，进行复杂运算时需要一块大的场地。宋元时期，算筹改良至1～3寸（约3～10cm），但它依然难以应对计算量大的问题。宋代马永卿在《懒真子》一书中有过对算筹占用面积的描写：“卜者出算子约百余，布地上，几长丈余。”
辉煌一时的算筹逐渐被遗忘在古籍的字里行间，另一个功能强大的算具带着它的历史使命隆重登场了。
1.2.2 算盘：中国古算的活化石
在古代的所有计算工具中，中国的算盘是为算术提供了简单计算方法的唯一工具。西方（美国和欧洲）的观察者在目睹人们利用算盘完成最为复杂的计算时，往往会大为惊叹。
——法国数学历史学家乔治•伊弗拉（Georges Ifrah）
在诸多古老的计算工具中，算盘是最为人们所熟知的一种工具。在中国，年轻人即使没有摸过算盘，也一定见过它的模样。
算盘虽小，但作用奇大。古代的掌柜靠算盘结算账目，近代的科学家靠算盘计算研制原子弹的数据。今天的许多学校（甚至国外的学校）用算盘或类似于算盘的教具来启发儿童的数学思维。
同中国红、中国结、武术、诗词、瓷器一样，算盘早已成为典型的中国文化符号。
2013年12月4日，珠算被正式列入联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”。
下面对中国算盘的样式、用法、起源以及其他国家的算盘和算盘的发展进行介绍。
1．中国算盘的样式
实用型的算盘多为竹木材质（现在也有塑料材质），长方形的粗木框中从左到右串着一串串活动的算珠，一串称为一档，被中间的横梁隔为上下两部分，上方的算珠称为上珠，下方的则称为下珠，如图1.28所示。
图1.28 算盘样式
经典的算珠分布为“上二下五”（小部分现代算盘也有“上一下五”或“上一下四”的分布方式），一颗上珠代表5，一颗下珠代表1。按理说，每一个数位从0至9只需“上一下四”，为什么会上下都多一颗算珠呢？原因是我国古代采用的是十六进制的重量计法。常言道“半斤八两”，而1斤正是16两，“上二下五”正好可以用来表示0～15。不仅如此，十进制的一些算法还会临时用到这两颗“多余的”算珠。
为什么会用单独分出的上珠来表示5，而不是直接在每一档串9颗或15颗算珠呢？这种形式同算筹如出一辙（纵式中以横棍表示5，横式中以竖棍表示5），本质上是因为人一只手有5根手指，与人类广泛使用十进制是因为双手共有10根手指是一个道理。
2．中国算盘的用法
算盘的用法十分简单，将相应数目的算珠推向横梁以表示加上相应数字，推离横梁则表示减去相应数字。图1.29所示的算盘示数为1234567890。
虽然使用算盘的规则比较简单，但要做到熟练使用以及掌握各种复杂的口诀和算法绝非一日之功。算盘的算法——珠算是从筹算继承而来的。从最早的《数术记遗》到经典的《算法统宗》，再到如今《中国珠算大全》《世界珠算通典》等集大成的专著，所记载的口诀数不胜数。
图1.29 算盘示数示例
以最简单的“三下五除二”为例，其原本是珠算加法中的一条基本规律。如果下档中靠着横梁的算珠不少于两颗，为了给它加上3，就需要拨下一颗表示5的上珠（“下五”），再去掉两颗表示1的下珠（“除二”），即把+3拆分成+5和-2两步执行。图1.30所示则以3+3为例展示了这一过程。
图1.30 “三下五除二”的计算过程
3．中国算盘的起源
算盘并非一开始就是“木棍串木珠”的形式，最初的算盘是将石子等物摆在画有辅助线或挖有沟槽的盘上，其本质是石子计数进化的产物。但中国的算盘与算筹有着一脉相承的形式与算法，更应将其视作算筹进化的产物，而算筹本身也是石子计数的产物。算具的发展环环相扣，每代算具之间其实并没有明确的界限，如图1.31所示。
图1.31 从石子到算盘
《数术记遗》一书介绍了14种计算方法——“积算”“太一”“两仪”“三才”“五行”“八卦”“九宫”“运筹”“了知”“成数”“把头”“龟算”“珠算”“计数”。除“计数”属于心算之外，其余13种均有相应的计算工具。其中，“太一”“两仪”“三才”“九宫”“珠算”等算法的工具与算盘十分形似，可以视为算盘的前身——在算板上刻画出棋盘格一样的纵横线（或挖出沟槽），将算珠置于板上，按特定的规则进行位移，像下棋一样完成计算。算珠在板上“游走”，人们形象地称这些工具为“游珠算板”。
“太一”以算珠的位置表示数字，“两仪”“三才”“九宫”以算珠的颜色和位置表示数字，“珠算”则以算珠的颜色和数量表示数字，这些工具生动地展示了算盘的演进。图1.32所示为《数术记遗》中“珠算”工具的复现，黑珠表示5，白珠表示1，与现今的算盘已经十分相似。
图1.32 根据《数术记遗》复现的“珠算”游珠算板[24]
游珠算板显然不够便携，久而久之便产生了珠板一体的算盘。
4．其他国家的算盘
除中国之外，各种形式的算盘还曾在其他国家或地区出现，如印加、古埃及、古希腊、古罗马、印度、日本、韩国、俄罗斯等，只是它们都没有中国算盘这般“长寿”。欣赏这些充满异国风情的算盘，如同见证了算盘演化的历史。
1）古希腊计数板（Greek abacus）
古希腊计数板约出现于公元前5世纪，多为木质或鹅卵石材质，在板上刻画辅助线用于标记数位等信息，用鹅卵石一类的算子置于板上进行计算。图1.33所示为1846年在希腊发现的计数板临摹图，其实物是一块白色的大理石板，长150cm，宽75cm，厚4.5～7.5cm。
图1.33 古希腊计数板临摹图
板上有3串辅助计算的符号，左侧与底部的符号相同，右侧的一串则多了两个符号。每个符号代表着不同的数字，具体含义如表1.5所示。
表1.5 古希腊计数板符号含义
2）古罗马沟算盘（Roman abacus）
古罗马沟算盘约产生于公元元年，算子在算盘的沟槽中游走，“上一下五”的形式与中国算盘高度一致，因此学术界有二者是否曾相互借鉴的争议。图1.34所示为德国的一所博物馆于1977年制作的古罗马沟算盘复制品。
图1.34 古罗马沟算盘复制品[25]
3）印加算盘（Inca abacus）
印加是一个古老而神秘的帝国，他们的算盘（见图1.35）像缩小的梯田，样子十分古怪，其用法至今不明。但在2001年有科学家通过研究提出了一种可能的用法——基于斐波那契数列使用。如果真是这样，那印加人的智慧实在令人叹服。
图1.35 印加算盘[26]
4）日本算盘（Japanese abacus）
日本算盘本质上就是中国算盘，若不特意说明，根本无法区分。图1.36所示为常见的日本算盘。
图1.36 日本算盘[27]
5）俄罗斯算盘（Russian abacus）
俄罗斯算盘也经过了数百年的发展变迁，因为在欧洲广泛流传，所以又称为欧洲算盘。俄罗斯算盘的最终模样与中国算盘十分相似，只不过每一档上有10颗珠子，没有横梁，使用时是竖放的，从右往左拨动珠子。串珠的棍子是弯的，其中间稍稍隆起，以保证珠子能静止在左右两侧，如图1.37所示。
图1.37 俄罗斯算盘[28]
该算盘上有两种颜色的珠子，这是为了便于读数。其中一档上只有4颗珠子，这不是残缺的，是为了方便计算特意设计的。
5．算盘的发展
相比后来出现的计算尺、机械计算器等更先进的工具，算盘怎么看都是“落后”的。相比在16世纪就逐渐没落的西方算盘，中国算盘确实“长寿”得有些让人不可思议。
究其原因，一方面是因为中国珠算有着丰富的算法口诀，熟练的算盘手能拨出“无影指”的感觉。在近现代的多次节目表演中，算盘的计算速度往往超过了机械计算器甚至电子计算器。在中国古代，一把算盘足以解决人们生活中所有的日常计算。
另一方面，西方的一些国家和地区在很早就引入了灵活的笔算。西方的笔是罗马人在6世纪发明的羽毛笔，西方的纸是羊皮纸，适合硬笔书写。而中国的笔是适合书法绘画的毛笔，纸是渗透性好的宣纸，笔算自然举步维艰。
到了21世纪，整个世界全面步入电子时代，算盘才开始逐渐从实用领域淡出。
[24] 图片来自《世界珠算通典》。
[26] 图片来自维基百科。
[25] 图片来自维基百科。
[27] 图片来自维基百科。
[28] 图片来自维基百科。