2.2 多维导数
梯度是导数在多元函数的推广。它代表了函数的局部斜率，从而能够预测从一点的任意方向移动一个小的步长后的效果。回想一下，导数是切线的斜率。梯度指向切线超平面的最陡上升方向，如图2.3所示。n维空间中的切线超平面是满足以下条件的点集：
图2.3 梯度的每个分量都定义了一条局部切线。这些切线定义了局部切线超平面。梯度向量指向最大增长方向（见彩插）
其中w为向量，b为标量。一个超平面具有n-1个维度。
f在x处的梯度写作∇f（x），它是一个向量。该向量由f关于它的每一个分量的偏导数[1]组成：
一般规定列向量由逗号分隔。例如，
。例2.2展示了如何计算特定点上函数的梯度。
多元函数的黑塞矩阵是一个包含关于所有输入的二阶导数的矩阵[2]。二阶导数包含函数局部曲率的信息。
例2.2 计算特定点的梯度
计算当c=［2，0］时，f（x）=x1sin（x2）+1的梯度。
多元函数f的方向导数∇sf（x）是x以速度s移动时f（x）的瞬时变化率。该定义与一元函数导数的定义紧密相关[3]：
方向导数可以使用函数的梯度来计算：
计算方向导数∇sf（x）的另一种方法是定义g（α）≡f（x+αs），然后计算g′（0），如例2.3所示。
方向导数在梯度方向上最高，而在与梯度相反的方向上最低。这种方向依赖性源于方向导数定义中的点积，以及梯度是局部切线超平面的事实。
例2.3 计算方向导数
我们希望计算出s=［-1，-1］方向上，f（x）=x1x2在x=［1，0］处的方向导数：
我们还可以这样计算方向异数：
[1] 函数关于变量的偏导数是假定所有其他输入变量保持不变的导数，记为∂f/∂x。
[2] 只有当f的二阶导数在其取值点的邻域中都连续时，黑塞矩阵才是对称的：
[3] 有些文献要求s是单位向量。例如：
G. B.Thomas，Calculus and Analytic Geometry，9th ed. Addison-Wesley，1968.