1.2 重型汽车侧翻动力学模型

随着国民经济的发展和公路交通的改善，半挂汽车列车以其机动灵活的优点逐渐成为公路运输的主要车型之一。但是，由于半挂车载重量大、尺寸大、质心高等问题，容易导致侧翻和横向失稳而引发交通事故，造成巨大损失，故研究开发汽车列车稳定性控制系统有着极强的现实意义［12］。构建半挂汽车列车动力学模型是分析半挂汽车列车侧向稳定性的基础，并可以为车辆控制提供参考模型。然而，由于半挂汽车列车结构复杂，难以建立全面的模型，对其进行动力学和运动学分析需要结合具体工况进行［13］。

1.2.1 重型汽车非簧载质量侧翻动力学模型

相比于轿车及SUV，重型汽车最主要的一个特点是非簧载质量大。因此，在对重型汽车建立侧翻模型时，应以传统三自由度模型为基础，加入非簧载质量的侧倾运动。另外，重型车车的轴距较长，其前轴支撑的簧载系统和后轴支撑的簧载系统的侧倾运动之间存在着相互耦合，因此将重型车车分成前后两部分，用一个具有固定扭转刚度的等效扭杆相连。考虑到路面输入对侧翻稳定性的影响，在建模时考虑了悬架和非簧载质量的垂向运动，以及路面横纵向坡度。综上，建立了如图1.29所示的十自由度侧翻动力学模型［14］：

1.动力学分析

为简化计算，对重型汽车进行了一些理想化的假设，包括：忽略行驶中的侧向风；忽略重型汽车的俯仰运动和纵向运动；只考虑前轮转向等。由达朗贝尔原理可得，整车模型中各个自由度的运动方程如下所示。

前/后簧载质量侧倾运动耦合下的侧向运动：

与侧向运动耦合的横摆运动：

前轴簧载质量侧倾运动：

后轴簧载质量侧倾运动：

前轴非簧载质量侧倾运动：

后轴非簧载质量侧倾运动：

前轴簧载质量垂向运动：

后轴簧载质量垂向运动：

前轴非簧载质量垂向运动：

后轴非簧载质量垂向运动：

侧向加速度可表示为：

为了推导出重型汽车在不平坦路面上的动态性能，通过车辆悬架将侧倾运动与簧载质量的垂向运动耦合起来，从而将车辆悬架简化为弹簧-阻尼系统，则每个悬架的垂向力可表示为：

根据车辆的几何关系，可由式（1.100）~式（1.103）计算出前/后轴簧载质量的侧倾角和垂直位移：

同样地，前/后轴非簧载质量的侧倾角和垂向位移可由式（1.104）~式（1.107）获得：

式中 m——整车质量；

mf——质心前部总质量；

mr——质心后部总质量；

msf——前轴簧载质量；

msr——后轴簧载质量；

muf——前轴非簧载质量；

mur——后轴非簧载质量；

a——前轴到质心的距离；

ay——汽车的侧向加速度；

b——后轴到质心的距离；

L——汽车的轴距；

u——汽车的纵向速度；

v——汽车的侧向速度；

r——横摆角速度；

hlf——前轴簧载质量的质心到侧倾中心的距离；

hlr——后轴簧载质量的质心到侧倾中心的距离；

huf——前轴非簧载质量质心高度；

hur——后轴非簧载质量质心高度；

hcf——前侧倾中心的高度；

hcr——后侧倾中心的高度；

Ixf——前轴簧载质量转动惯量；

Ixr——后轴簧载质量转动惯量；

Iz——汽车的横摆转动惯量；

φsf——前轴簧载质量侧倾角；

φsr——后轴簧载质量侧倾角；

φR——路面横向坡度角；

θR——路面纵向坡度角；

FLf/FLr/FRf/FRr——分别表示左前/左后/右前/右后车轮的总垂直载荷；

Fyf——前轴轮胎侧偏力；

Fyr——后轴轮胎侧偏力；

Fsf 1——前轴左侧悬架力；

Fsf 2——前轴右侧悬架力；

Fsr 1——后轴左侧悬架力；

Fsr 2——后轴右侧悬架力；

kb——车身扭转刚度；

My——横摆力矩；

zsf/zsr——前轴/后轴簧载质量垂向位移；

zsf 1/ zsf 2——前轴簧载质量左侧/右侧垂向位移；

zsr 1/ zsr 2——后轴簧载质量左侧/右侧垂向位移；

zuf/zur——前轴/后轴非簧载质量垂向位移；

zuf 1/ zuf 2——前轴非簧载质量左侧/右侧垂向位移；

zur 1/ zur 2——后轴非簧载质量左侧/右侧垂向位移；

ksf 1/ ksf 2——前悬架左侧/右侧垂向刚度；

ksr 1/ ksr 2——后悬架左侧/右侧垂向刚度；

csf 1/ csf 2——前悬架左侧/右侧垂向阻尼；

csr 1/ csr 2——后悬架左侧/右侧垂向阻尼；

Tf/ Tr——前后轴的轮距。

2.仿真结果

为了进一步说明重型汽车侧翻动力学模型中，簧载质量与非簧载质量的动力学参数变化，通过在Simulink中搭建重型车侧翻模型，设置车辆以60km/h的初始速度行驶，工况选取J-turn工况（即阶跃转角工况），其中方向盘转角为90°，输出参数包括前、后轴簧载质量侧倾角，横摆角速度，侧向加速度等。重型汽车满载时的主要参数如表1.2所示：

图1.30表示了J-turn工况下重型汽车的动态响应，黑色实线代表所建立数学模型的仿真结果。

1.2.2 三轴式汽车侧翻动力学模型

与两轴式汽车不同，三轴式汽车的特点不仅在于它拥有随动桥，而且车辆的长度尺寸也变大了。三轴式汽车的车体长度超过13m，转向桥与驱动桥之间的距离超过5.5m，这使得汽车各车桥处的侧倾状态和侧翻稳定性会呈现出一些差异性。针对各车桥侧倾耦合关系，王超[15]建立了六自由度侧翻动力学模型，并做了参数估计。

1.耦合关系分析

（1）转向桥和驱动桥侧倾耦合关系

当三轴式客车在进行转向行驶，客车便会发生侧倾。此时，客车第一轴（即转向桥）和第二轴（及驱动桥）所处的侧倾状况是不同的，但由于三轴式客车采用一体式承载式车身，两处的侧倾运动又会相互影响。

三轴式客车转向桥和驱动桥处的车身侧倾关系可以表示成如下形式：

式中 T12——一二轴之间的侧倾耦合力矩；

T 23——二三轴之间的侧倾耦合力矩。

假设客车转向桥所承载的质量与驱动桥所承载的质量之间，通过一根拥有刚度和阻尼的无质量的理想扭杆相连，则有：

（2）驱动桥和随动桥侧倾耦合关系

与一二轴之间的耦合关系类似，二三轴之间的侧倾耦合关系可以表示为：

假设客车驱动桥所承载的质量与随动桥所承载的质量之间，通过一根拥有刚度和阻尼的无质量的理想扭杆相连，则有

由图1.31的分析可知，驱动桥和随动桥位置的车身侧倾角与侧倾角速度之间的差值很小，可以忽略，即：

所以，就有：

将式（1.112）代入式（1.110）可得：

因此，第二轴与第三轴之间的耦合关系可以忽略。故而，可以将驱动桥与随动桥所承载的质量视为一个运动整体。

根据上述分析的各轴耦合关系，可将前车的簧载质量分为前后两部分，前部为转向桥所承载的前轴簧载质量部分，后部为驱动桥和随动桥共同承载的后轴簧载质量部分。通过一二轴之间的侧倾耦合扭杆连接车身的前部和后部。忽略三轴式客车纵向、垂向以及俯仰方向三个自由度的动力学特征，建立如图1.31所示的六自由度的三轴式客车侧翻模型。

2.动力学分析

假设该模型中车辆左右侧均关于车身坐标系x轴相对称。根据达朗贝尔理论，可以得到如下六个自由度的动力学微分方程：

将前后轴簧载质量侧倾角加速度分开计算得到：

侧向运动：

横摆运动：

前轴簧载质量侧倾运动：

后轴簧载运动侧倾运动：

前轴非簧载质量侧倾运动：

后轴非簧载质量侧倾运动：

式中 msf和msr——分别为前轴簧载质量和后轴簧载质量；

muf——转向桥处的前轴非簧载质量；

mur——驱动桥和随动桥处的后轴非簧载质量；

hsf和hsr——分别为前轴簧载质量和后轴簧载质量质心到侧倾轴线的竖直距离；

huf和hur——分别前轴非簧载质量和后轴非簧载质量质心的高度；

Ixf——前轴簧载质量的侧倾转动惯量；

Ixr——后轴簧载质量的侧倾转动惯量；

kφf——前轴悬架等效侧倾刚度；

kφr——后轴悬架等效侧倾刚度；

cφf——前轴悬架等效侧倾阻尼系数；

cφr——后轴悬架等效侧倾阻尼系数；

kφf——前轴非簧载质量侧倾刚度；

kφr——后轴非簧载质量等效侧倾刚度；

φsf和φsr——前轴和后轴的簧载质量侧倾角；

φuf和φur——分别为前轴和后轴的非簧载质量侧倾角。

整理式（1.108）-式（1.109）和式（1.101）-式（1.112）所示侧翻动力学模型，以及轮胎模型，可以得到三轴式客车六自由度侧翻动力学模型的状态空间形式。设

Sa=δf为前轮转角输入，根据式（1.110）~式（1.114），可以得到三轴式客车侧翻动力学模型状态空间方程组：

其中：

由此，三轴式客车侧翻动力学模型状态空间方程可以写成：

式中

3.仿真结果

为了进一步说明三轴式汽车侧翻动力学模型中，簧载质量与非簧载质量的动力学参数变化，通过在Simulink中搭建三轴式汽车侧翻模型，设置车辆以60km/h的初始速度行驶，工况选取J-turn工况（即阶跃转角工况），其中方向盘转角为90°，输出参数如前、后轴簧载质量侧倾角、横摆角速度、侧向加速度等。重型汽车满载时的主要参数如表1.3所示。

图1.32表示了J-turn工况下重型汽车的动态响应，蓝色实线代表所建立数学模型的仿真结果。

1.2.3 铰接式货车侧翻动力学模型

根据汽车的运动学原理，建立二十五自由度［16］三轴半挂汽车列车非线性整车动力学模型，包括牵引车纵向、侧向、横摆及其簧载质量的垂直、俯仰和侧倾运动6个自由度，半挂车纵向、侧向、横摆及其簧载质量的垂直、俯仰、侧倾运动6个自由度，非簧载质量的垂直、侧倾运动、每个车轮的转动，共4个自由度，计入转向轴车轮的转向运动，转向轴非簧载质量则有5个自由度。

同样地，在建模过程中，必须对模型进行适当的简化：

1）载货汽车的车架具有很大扭转弹性，忽略车架的扭转，即为刚性车架。

2）假设牵引车前、后侧倾中心的高度相同，并且都位于汽车纵向平分面上，并且簧载质量绕前、后侧倾中心连线产生侧倾运动。

3）假设簧载质量与非簧载质量在坐标系Z轴方向是弹性连接的，而X轴、Y轴方向是刚性连接的，即忽略非簧载质量和簧载质量在纵向和横向的相对运动。

4）假设所有车轮半径一样，且具有相同的特性。

5）忽略轮胎定位参数、车辆侧倾和悬架变形对转向性能的影响。

6）假设第五轮（鞍座）在牵引车的中间轴线上，半挂车簧载质量相对牵引车车架的侧倾转动存在弹性阻力。

分析半挂汽车不同部分的运动时使用三种不同的坐标系，如图1.33所示。

（1）地面坐标系

地面坐标系（OnXnYnZn），原点On固定在地面上，其原点为列车静止时车辆质心在地面上的投影。Xn轴正方向为车辆初始行驶方向；Zn轴方向与重力加速度方向相同（垂直向下）；Yn轴为汽车的侧向轴，方向符合右手规则。

（2）簧载质量坐标系

簧载质量坐标系（OsXsYsZs），为固定于每个簧载质量上的坐标系，坐标原点Os位于簧载质量的质心位置。Xs轴为纵轴，以汽车的前进方向为正；Zs轴为簧载质量的垂直轴，向下为正方向；Ys轴为横轴，方向符合右手规则。

（3）非簧载质量坐标系

非簧载质量坐标系（OuXuYuZu）为固定在每个非簧载质量上的坐标系。原点Ou为非簧载质量的质心，Xu轴垂直于车轴轴线，以汽车的前进方向为正；Zu轴垂直于轴线，向下为正；Yu轴为非簧载质量的侧向轴，方向符合右手规则。

为描述车体坐标系与大地坐标系之间的关系，将地面坐标系分别绕Z、Y、X三个轴线转过有限角度（φ，θ，ψ），使之与车辆坐标系重合，每次转动的坐标系间的转换关系为：

绕簧载质量坐标Zs轴：

绕簧载质量坐标Ys轴：

绕簧载质量坐标Xs轴：

令为OnXnYnZn坐标系向OsXsYsZs坐标系变换的转换矩阵，其余转换矩阵类似标记，则：

簧载质量坐标系关于地面坐标系的转换矩阵为：

整车动力学模型如图1.34所示，分别进行侧向、垂直、侧倾俯仰四个方向的运动分析，可以得出运动平衡方程，而纵向和横摆运动则与整个牵引车一起分析。

1.运动学分析

（1）侧翻动力学

簧载质量坐标系下簧载质量平动和转动的运动方程为：

于是，惯性坐标系下簧载质量的加速度为：

根据式（1.128），转换到非簧载质量坐标系下为：

根据上述式（1.127）～式（1.129），牵引车簧载质量坐标系下牵引车的速度为：

半挂车簧载质量坐标系下半挂车的速度为：

非簧载质量的速度为：

牵引车的加速度为：

式中 usi、vsi、ωsi——簧载质量的纵向、侧向和垂向的速度；

psi、qsi、rsi——侧倾、俯仰和横摆角速度；

hsi——簧载质量质心高度；

hi——质心高度；

i=1——牵引车；

i=2——半挂车；

XRi——各车轴侧倾中心至簧载质量质心的纵向距离。

半挂车的加速度为：

假设侧倾中心到簧载质量质心的距离不变，则侧倾中心相对于簧载质量质心的距离为：

假设各轴的侧倾中心在轴的正上方，则：

可求得侧倾中心的速度和加速度为：

根据式（1.126），转换到非簧载质量坐标系下为：

忽略非簧载质量的俯仰运动，则相对于各自侧倾中心的加速度为：

根据式（1.126），簧载质量坐标系中非簧载质量的加速度为：

（2）操纵动力学

牵引车纵向运动平衡方程：

牵引车侧向运动平衡方程：

牵引车簧载质量垂直运动平衡方程：

牵引车簧载质量俯仰运动平衡方程：

由于非簧载质量和簧载质量一起承受横摆运动，可将二者结合在一起分析横摆运动，牵引车绕鞍座连接点的横摆运动平衡方程为：

半挂汽车簧载质量和非簧载质量的运动学方程与牵引车类似。半挂车纵向运动平衡方程：

半挂车侧向运动平衡方程：

半挂车簧载质量垂直运动平衡方程：

半挂车簧载质量侧倾运动平衡方程：

半挂车簧载质量俯仰运动平衡方程：

半挂车绕牵引鞍座的横摆运动平衡方程：

半挂车非簧载质量垂直运动平衡方程：

半挂车非簧载质量侧倾运动平衡方程：

式中 Fxij、Fyij、Fzij、Mij——分别为轮胎受到的纵向力、侧向力、垂向力和回正力矩；

Ixui——非簧载质量的侧倾转动惯量；

i=1、2、3；

j=1、2、3、4；

Fcx、Fcy、Fcz——分别为作用在牵引车上的第五轮处的纵向、侧向力和垂向力；

Isxi、Isyi、Izsi——分别为簧载质量的侧倾、俯仰和横摆转动惯量；

Izci——绕第五轮的横摆转动惯量。

2.仿真分析

为了进一步说明半挂汽车列车侧翻动力学模型中牵引车与挂车的动力学参数变化，通过在Simulink中搭建重型车侧翻模型，设置J-turn工况进行仿真，仿真初始车速80km/h，车辆满载，高附着路面附着系数0.85，低附着0.3。高附着方向盘角阶跃输入转向角为100°，对比结果如图1.35所示。