第三节　极限的运算法则和性质

一、极限的运算法则

极限的运算法则是极限计算的主要手段，它也是讨论初等函数的连续性、导数与微分、级数等运算的基础.

定理1　如果，那么

(3)若又有B≠0，则

注　(1)法则(1)、(2)均可推广到有限个函数的情形.

(2)定理1中的x→x₀可以换成x→∞.

(3)对于数列也有同样的运算法则.

推论1　如果存在，而C为常数，则

即：常数因子可以移到极限符号外面.

推论2　如果存在，而n是正整数，则

例1　求

解  

例2　求

解

例3　求

解

例4　求

解  

例5　求

解

定理2(复合函数的极限运算法则)　设函数y＝f[g(x)]是由函数u＝g(x)与函数y＝f(u)复合而成，f[g(x)]在点x₀的某去心邻域内有定义，若A，且存在δ₀＞0，当时，有g(x)≠u₀，则

证　因为，对任给的ε＞0，存在η＞0，当0＜| u－u₀|＜η时，| f(x)－A|＜ε成立.

又由于，对于上面得到的η＞0，存在δ₁＞0，当0＜| x－x₀|＜δ₁时，| g(x)－u₀|＜η成立.

由假设，当x∈U^°(x₀，δ₀)时，有g(x)≠u₀.取δ＝min{δ₀，δ₁}，则当0＜| x－x₀|＜δ时，| g(x)－u₀|＜η及| g(x)－u₀|≠0同时成立，即0＜| g(x)－u₀|＜η成立，从而

| f[g(x)]－A|＝| f(u)－A|＜ε

成立，这就证明了定理结论.

二、极限的性质

1.收敛数列的性质

定理3(极限的唯一性)　如果数列{x_n}收敛，那么它的极限唯一.

证　用反证法.假设数列{x_n}同时有两个不同的极限a和b，且a＜b.取因，故存在正整数N₁，使得当n＞N₁时，不等式

都成立.同理，因为，故存在正整数N₂，使得当n＞N₂时，不等式

都成立.取N＝max{N₁，N₂}，则当n＞N时，上述两个不等式同时成立，于是有

同时这是不可能的.这一矛盾表明只能有a＝b.

定义1　对于数列{x_n}，如果存在正数M，使得对于一切x_n都满足不等式

| xn|≤M，

则称数列{x_n}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列{x_n}是无界的.

例如，数列是有界数列，而数列{2ⁿ}是无界数列.

定理4(收敛数列的有界性)　如果数列{x_n}收敛，那么数列{x_n}一定有界.

证　设取ε＝1，则存在正整数N，使得当n＞N时，不等式

| x_n－a|＜1

都成立.于是，当n＞N时，

| x_n|＝|(x_n－a)＋a|≤| x_n－a|＋| a|＜1＋| a|.

取M＝max{| x₁|，| x₂|，…，| x_n，1＋| a|}，那么数列{x_n}中的一切x_n都满足不等式

| x_n|≤M.

这就证明了数列{x_n}是有界的.

注　此定理表明，如果数列{x_n}无界，那么数列{x_n}一定发散.但是，如果数列{x_n}有界，却不能断定数列{x_n}一定收敛，例如数列{(－1)^n＋1}有界，但它是发散数列.

定理5(收敛数列的保号性)　如果，且a＞0(或a＜0)，那么存在正整数N，当n＞N时，都有x_n＞0(或x_n＜0).

证　先证a＞0的情形.按定义，对，存在正整数N，当n＞N时，都有

从而

同理可证a＜0的情形.

推论　如果数列{x_n}从某项起有x_n≥0(或x_n≤0)，且，则a≥0(或a≤0).

证　证数列{x_n}从第N₁项起有x_n≥0的情形.用反证法.

若，则根据定理3，存在正整数N₂，当n＞N₂时，有x_n＜0.取N＝ max{N₁，N₂}，则当n＞N时，按假定有x_n≥0，按定理3有x_n＜0，矛盾.故必有a≥0.

同理可证数列{x_n}从某项起有x_n≤0的情形.

^∗定理6(收敛数列与其子数列间的关系)　如果数列{x_n}收敛于a，那么它的任意子数列也收敛，且极限也是a.

由定理4可知，如果数列{x_n}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{x_n}是发散的.例如数列{(－1)^n＋1}的子数列{x_2k－1}收敛于1，而子数列{x_2k}收敛于－1，因此数列{(－1)^n＋1}是发散的.

2.函数极限的性质

下面仅以x→x₀的极限形式给出函数极限的性质，其证明方法与数列极限相应性质的证明类似.其它形式的函数极限的性质，只需做些修改即可得到.

定理7(函数极限的唯一性)　如果存在，那么这极限唯一.

定理8(函数极限的局部有界性)　如果，那么存在常数M＞0和δ＞0，使得当0＜| x－x₀|＜δ时，有| f(x)|＜M.

定理9(函数极限的局部保号性)　如果，且A＞0(或A＜0)，那么存在常数δ＞0，使得当0＜| x－x₀|＜δ时，有f(x)＞0(或f(x)＜0).

推论　如果在x₀的某去心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0)，而且，那么A≥0(或A≤0).

习题1—3

1.计算下列极限：

2.证明：若，则必唯一.

3.下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的?如果是对的，说明理由;如果是错的，试给出一个反例.

(1)如果存在，但不存在，那么不存在;

(2)如果都不存在，那么不存在；

(3)如果存在，但不存在，那么不存在.