第一章　函数与极限

§1.1　函数的类别与基本性质

首先讨论基本初等函数，它共有六大类．

1．常量函数y＝c（c为常数）

属于这一类的函数有无穷多个，它们的定义域D＝（－∞，＋∞）．

2．幂函数y＝xα（α为常数）

属于这一类的函数有无穷多个，它们的定义域D与指数α的值有关，但无论指数α的值等于多少，恒有D⊃（0，＋∞）．

3．指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）

属于这一类的函数有无穷多个，它们的定义域D＝（－∞，＋∞）．

4．对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）

属于这一类的函数有无穷多个，它们的定义域D＝（0，＋∞）．

5．三角函数

属于这一类的函数有六个，主要是四个：

正弦函数y＝sinx，定义域D＝（－∞，＋∞）；

余弦函数y＝cosx，定义域D＝（－∞，＋∞）；

正切函数y＝tanx，定义域；

余切函数y＝cotx，定义域D⊃（0，π）．

此外尚有正割函数y＝secx与余割函数y＝cscx．在本门课程中，一律以弧度作为度量角的单位．

6．反三角函数

属于这一类的函数也有六个，主要是四个：

反正弦函数y＝arcsinx，定义域D＝［－1，1］，值域

反余弦函数y＝arccosx，定义域D＝［－1，1］，值域G＝［0，π］；

反正切函数y＝arctanx，定义域D＝（－∞，＋∞），值域

反余切函数y＝arccotx，定义域D＝（－∞，＋∞），值域G＝（0，π）．

基本初等函数经过有限次四则运算得到的函数称为简单函数．

考虑函数y＝f（x），自变量取值皆属于定义域，在属于定义域的点x0处，当自变量有了改变量Δx≠0，即自变量取值从x0变化到x0＋Δx，这时相应的函数值从f（x0）变化到f（x0＋Δx），因而函数也有了改变量，函数改变量记作

一般地，对于函数y＝f（x），在属于定义域的任意点x处，若自变量有了改变量Δx≠0，则函数改变量为

特别对于常量函数f（x）＝c（c为常数），函数改变量为

在进行微积分运算时，有时需要分解复合函数．分解自变量为x的复合函数y是指：令中间变量u等于复合函数y中作最后数学运算的表达式，将复合函数y分解为基本初等函数y＝f（u）与函数u＝u（x）．若函数u（x）为基本初等函数或简单函数，则分解终止；若函数u（x）仍为复合函数，则继续分解复合函数u（x）．

例1　分解复合函数

解：这个复合函数中最后的数学运算是表达式1＋x2作为被开方式求平方根运算，因而令中间变量u＝1＋x2，所以复合函数分解为

例2　分解复合函数y＝lg（1＋10x）．

解：这个复合函数中最后的数学运算是表达式1＋10x作为真数取对数运算，因而令中间变量u＝1＋10x，所以复合函数y＝lg（1＋10x）分解为

例3　分解复合函数y＝sin45x．

解：这个复合函数中最后的数学运算是表达式sin5x作为底求幂运算，因而令中间变量u＝sin5x，所以复合函数y＝sin45x分解为

但函数u＝sin5x仍为复合函数，这个复合函数中最后的数学运算是表达式5x作为角度求正弦运算，再令中间变量v＝5x，继续将复合函数u＝sin5x分解为

为了微积分运算的需要，有的简单函数可以看作是复合函数而进行分解，如简单函数y＝（1＋x3）10是30次多项式，分解为y＝u10与u＝1＋x3；简单函数y＝10－x是分式，分解为y＝10u与u＝－x．

其次给出初等函数的定义．

定义1﹒1　若函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合运算构成的，且用一个数学表达式表示，则称这样的函数为初等函数．

除初等函数外，还有分段函数．

定义1﹒2　已知函数定义域被分成有限个区间，若在各个区间上表示对应规则的数学表达式一样，但单独定义各个区间公共端点处的函数值；或者在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样，则称这样的函数为分段函数．

其中定义域所分成的有限个区间称为分段区间，分段区间的公共端点称为分界点，同时假定分段函数在各个分段区间上的对应规则都是初等函数表达式．

如何计算分段函数的函数值？观察分段函数在各分段区间上的对应规则与在各分界点处的取值，明确所给自变量取值属于哪个分段区间或分界点，再用该分段区间上的数学表达式计算函数值或等于该分界点处的函数取值．如分段函数

在点x＝－1处的函数值f（－1）＝（－1）2－1＝0．

最后讨论函数的基本性质，函数的基本性质主要有五种：

1．奇偶性

定义1﹒3　已知函数f（x）的定义域为D，对于任意点x∈D，若恒有f（－x）＝－f（x），则称函数f（x）为奇函数；若恒有f（－x）＝f（x），则称函数f（x）为偶函数．

奇函数的图形对称于原点，偶函数的图形对称于纵轴．

当然，许多函数既不是奇函数，也不是偶函数，称为非奇非偶函数．

例4　判断函数f（x）＝x5＋x3的奇偶性．

解：由于关系式

所以函数f（x）＝x5＋x3为奇函数．

例5　判断函数f（x）＝xsinx－cosx的奇偶性．

解：由于关系式

所以函数f（x）＝xsinx－cosx为偶函数．

2．有界性

定义1﹒4　已知函数f（x）在区间I（可以是开区间，也可以是闭区间或半开区间）上有定义，若存在一个常数M＞0，使得对于所有点x∈I，恒有｜f（x）｜≤M，则称函数f（x）在区间I上有界；否则称函数f（x）在区间I上无界．

例6　判断函数f（x）＝sinx在定义域D＝（－∞，＋∞）内的有界性．

解：在定义域D＝（－∞，＋∞）内，无论自变量即角度x取值等于多少，恒有｜f（x）｜＝｜sinx｜≤1，所以函数f（x）＝sinx在定义域D＝（－∞，＋∞）内有界．

例7　判断函数在区间（0，1）内的有界性．

解：在区间（0，1）内，自变量即分母x取值可以无限接近于零，因而使得对应的分式绝对值即｜f（x）｜可以无限增大，说明对于任意正的常数，都存在充分接近于原点的点x，使得函数绝对值大于它，所以函数在区间（0，1）内无界．

3．单调性

定义1﹒5　已知函数f（x）在开区间J内有定义，对于开区间J内的任意两点x1，x2，当x2＞x1时，若恒有f（x2）＞f（x1），则称函数f（x）在开区间J内单调增加，开区间J为函数f（x）的单调增加区间；若恒有f（x2）＜f（x1），则称函数f（x）在开区间J内单调减少，开区间J为函数f（x）的单调减少区间．

函数单调增加与函数单调减少统称为函数单调，单调增加区间与单调减少区间统称为单调区间．

函数单调说明因变量与自变量一一对应，它存在反函数，反函数也单调．

函数单调增加，说明函数值随自变量取值增大而增大，函数曲线上升，如图1-1；函数单调减少，说明函数值随自变量取值增大而减小，函数曲线下降，如图1-2．

图1-1

图1-2

4．极值

定义1﹒6　已知函数f（x）在点x0处及其左右有定义，对于点x0左右很小范围内任意点x≠x0，若恒有f（x0）＞f（x），则称函数值f（x0）为函数f（x）的极大值，点x0为函数f（x）的极大值点；若恒有f（x0）＜f（x），则称函数值f（x0）为函数f（x）的极小值，点x0为函数f（x）的极小值点．

极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．

极值是局部性的概念，它只是与极值点左右很小范围内对应的函数值比较而得到的．极值点只能是给定区间内部的点，不能是给定区间的端点．显然，单调函数无极值．

5．最值

定义1﹒7　已知函数f（x）在区间I（可以是开区间，也可以是闭区间或半开区间）上有定义，且点x0∈I．对于任意点x∈I，若恒有f（x0）≥f（x），则称函数值f（x0）为函数f（x）在区间I上的最大值，点x0为函数f（x）在区间I上的最大值点；若恒有f（x0）≤f（x），则称函数值f（x0）为函数f（x）在区间I上的最小值，点x0为函数f（x）在区间I上的最小值点．

最大值与最小值统称为最值，最大值点与最小值点统称为最值点．

最值是整体性的概念，它是与给定区间上的所有函数值比较而得到的．最值点可以是给定区间内部的点，也可以是给定区间的端点．