第43章 教育（下）

吃完午饭后，程小明破天荒看起了数学书。“你怎么开始学习了？”戴雨笑道。“职业选手的梦想等我大学毕业再去奋斗吧！”程小明看着书说道。“嗯，并不是所有人都可以当职业选手，全国那么多玩游戏的人，能称上职业选手的却只有几千人。职业选手赚钱固然快，但这条路很难。”戴雨拍拍程小明的肩膀。“叔叔，教我数学。”程小明点点头然后把数学书推向戴雨。“好！我看看啊，从哪教呢？”

“圆柱的两个圆⾯叫做底⾯，周围的⾯叫做侧⾯，底⾯是平⾯，侧⾯是曲⾯。”戴雨念道。“为啥要叫底面、侧面、平面、曲面啊？”程小明好奇的问道。“这个等你成了数学家就知道了。”戴雨不知道该怎么回答这个问题，只能这样说。“我们继续。圆柱的侧⾯沿⾼展开后是长⽅形，长⽅形的长等于圆柱底⾯的周长，长⽅形的宽等于圆柱的⾼，当底⾯周长和⾼相等时，侧⾯沿⾼展开后是⼀个正⽅形。圆柱的表⾯积=圆柱的侧⾯积+底⾯积×2即S表=S侧+S底×2或2πr×h+2×π。圆柱的侧⾯积=底⾯周长×⾼即S侧=Ch或2πr×。”戴雨继续念道。“为啥要等于这个？”“我也不知道。”……

戴雨看了一会儿，发现程小明学习理解的能力还挺快。“圆柱的体积=圆柱的底⾯积×⾼，即V=sh或πr2×。来做做这些题。”戴雨有点不放心，便给程小明布置了一些题。过了不到五分钟，程小明将本子提给戴雨，戴雨仔细检查了一番，然后点了点头。“圆锥只有⼀个底⾯，底⾯是个圆。圆锥的侧⾯是个曲⾯。从圆锥的顶点到底⾯圆⼼的距离是圆锥的⾼。圆锥只有⼀条⾼。(测量圆锥的⾼：先把圆锥的底⾯放平，⽤⼀块平板⽔平地放在圆锥的顶点上⾯，竖直地量出平板和底⾯之间的距离)。明白了没？”戴雨问程小明。“emm……这些知识已经明白了！”程小明自信道。“那我们继续。把圆锥的侧⾯展开得到⼀个扇形。圆锥的体积等于与它等底等⾼的圆柱体积的三分之⼀，即V锥=1/3Sh或πr2×h÷。”戴雨又布置了一些题。“你头脑这么厉害，为什么之前不好好学习呢？”戴雨看着本子奇怪道。“因为我不想学。”“啊这，真是一个好理由。”

戴雨突然感觉教孩子好累，准确来说是念知识点好累。“1、分数与整数相乘：分⼦与整数相乘的积做分⼦，分母不变。(整数和分母约分)2、分数与分数相乘：⽤分⼦相乘的积做分⼦，分母相乘的积做分母。3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。注意：当带分数进⾏乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进⾏计算。”“⼀个数(0除外)乘⼤于1的数，积⼤于这个数。⼀个数(0除外)乘⼩于1的数(0除外)，积⼩于这个数。⼀个数(0除外)乘1，积等于这个数。分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同，整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适⽤。”“乘法交换律：a×b=b×a，乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)，乘法分配律：(a+b)×c=ac+bc ac+bc=(a+b)×c。”“计算⼩数加法先把⼩数点对齐，再把相同数位上的数相加。计算⼩数乘法末尾对齐，按整数乘法法则进⾏计算。积中⼩数末尾有0的乘法。先计算出⼩数乘整数的乘积后，积的⼩数末尾出现0 ，要再根据⼩数的性质去掉⼩数末尾的0。如：3.60 “0”应划去。如果乘得的积的⼩数位数不够要在前⾯⽤0补⾜，再点上⼩数点。如0.02×2=0.04。计算整数因数末尾有0的⼩数乘法时，要把整数数位中不是0的最右侧数字与⼩数的末尾对齐。”“懂了没？”戴雨差点没念断气。“这么简单当然懂了！”程小明摇摇手。“因数与积的⼩数位数的关系：因数中共有⼏位⼩数，积中就有⼏位⼩数。”“接下来是⼩数乘法的⼀般计算⽅法：先按整数乘法算出积，再给积点上⼩数点(看因数中⼀共有⼏位⼩数，就从积的右边起输出⼏位，点上⼩数点。)乘得的积的⼩数位数不够要在积的前⾯⽤0补⾜，在点⼩数点。然后是⼩数乘法的验算⽅法：1、把因数的位置交换相乘，2、⽤计算器来验算（不建议）。”“现在给你补充一些。13.常见的圆柱圆锥解决问题：①压路机压过路⾯⾯积(求侧⾯积);

②压路机压过路⾯长度(求底⾯周长);

③⽔桶铁⽪(求侧⾯积和⼀个底⾯积);

④厨师帽(求侧⾯积和⼀个底⾯积)；通风管(求侧⾯积)。”戴雨看着认真的程小明点了点头。

戴雨停顿了一会儿继续补充知识。“1、⼩数乘整数中有⼀个因数是⼩数，所以积⼀般来说也是⼩数。2 ⼩数乘法中积的⼩暑部分末尾如有0可以根据⼩数的基本性质去掉⼩数末尾的0⽽整数乘法中是不能去掉的。”“1、长⽅体（或正⽅体）放在桌⼦上，从不同⾓度观察，⼀次最多能看到3个⾯（或说成：最多同时能看到3个⾯）。2、给出⼀个（或两个）⽅向观察的图形⽆法确定⽴体图形的形状。由三个⽅向观察到的图形就可以确定⽴体图形的形状并还原⽴体图形。3、从⼀个⽅向看到的图形摆⽴体图形，有多种摆法。4、从多个⾓度观察⽴体图形先根据平⾯图分析出要拼搭的⽴体图形有⼏层；

然后确定要拼搭的⽴体图形有⼏排；最后根据平⾯图形确定每层和每排的⼩正⽅体的个数。⼆因数和倍数

1、整除：被除数、除数和商都是⾃然数，并且没有余数。⼤数能被⼩数整除时，⼤数是⼩数的倍数，⼩数是⼤数的因数。找因数的⽅法：⼀个数的因数的个数是有限的，其中最⼩的因数是1，最⼤的因数是它本⾝。

⼀个数的倍数的个数是⽆限的，最⼩的倍数是它本⾝。2、⾃然数按能不能被2整除来分：奇数偶数，奇数：不能被2整除的数，偶数：能被2整除的数。最⼩的奇数是1，最⼩的偶数是0.

个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。个位上是0或5的数，是5的倍数。⼀个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。能同时被2、3、5整除的最⼤的两位数是90，最⼩的三位数是120。3、⾃然数按因数的个数来分：质数、合数、1.

质数：有且只有两个因数，1和它本⾝

合数：⾄少有三个因数，1、它本⾝、别的因数：1。只有1个因数。1既不是质数，也不是合数。最⼩的质数是2，最⼩的合数是4。20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）

100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、

43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

4、分解质因数

⽤短除法分解质因数（⼀个合数写成⼏个质数相乘的形式）

5、公因数、最⼤公因数

⼏个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最⼤的那个就叫它们的最⼤公因数。⽤短除法求两个数或三个数的最⼤公因数（除到互质为⽌，把所有的除数连乘起来）⼏个数的公因数只有1，就说这⼏个数互质。

两数互质的特殊情况：⑴1和任何⾃然数互质；⑵相邻两个⾃然数互质；⑶两个质数⼀定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与⽐它⼩的合数互质；如果两数是倍数关系时，那么较⼩的数就是它们的最⼤公因数。

如果两数互质时，那么1就是它们的最⼤公因数。6、公倍数、最⼩公倍数⼏个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最⼩的那个就叫它们的最⼩公倍数。⽤短除法求两个数的最⼩公倍数（除到互质为⽌，把所有的除数和商连乘起来）⽤短除法求三个数的最⼩公倍数（除到两两互质为⽌，把所有的除数和商连乘起来）如果两数是倍数关系时，那么较⼤的数就是它们的最⼩公倍数。

如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最⼩公倍数。三长⽅体和正⽅体【概念】1、由6个长⽅形（特殊情况有两个相对的⾯是正⽅形）围成的⽴体图形叫做长⽅体。在⼀个长⽅体中，相对⾯完全相同，相对的棱长度相等。2、两个⾯相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于⼀个顶点的三条棱的长度分别叫做长⽅体的长、宽、⾼。3、由6个完全相同的正⽅形围成的⽴体图形叫做正⽅体（也叫做⽴⽅体）。正⽅体有12条棱，它们的长度都相等，所有的⾯都完全相同。4、长⽅体和正⽅体的⾯、棱和顶点的数⽬都⼀样，只是正⽅体的棱长都相等，正⽅体可以说是长、宽、⾼都相等的长⽅体，它是⼀种特殊的长⽅体。5、长⽅体有6个⾯，8个顶点，12条棱，相对的⾯的⾯积相等，相对的棱的长度相等。⼀个长⽅体最多有6个⾯是长⽅形，最少有4个⾯是长⽅形，最多有2个⾯是正⽅形。正⽅体有6个⾯，每个⾯都是正⽅形，每个⾯的⾯积都相等，有12条棱，每条的棱的长度都相等。长⽅体的棱长总和=（长+宽+⾼）×4 L=（a＋b＋h）×4

长=棱长总和÷4－宽－⾼ a=L÷4－b－h

宽=棱长总和÷4－长－⾼ b=L÷4－a－h

⾼=棱长总和÷4－长－宽 h=L÷4－a－b

正⽅体的棱长总和=棱长×12 L=a×12

正⽅体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12

6、长⽅体或正⽅体6个⾯和总⾯积叫做它的表⾯积。

长⽅体的表⾯积=（长×宽＋长×⾼＋宽×⾼）×2 S=2（ab ＋ah ＋bh ）

⽆底（或⽆盖）长⽅体表⾯积=长×宽＋（长×⾼＋宽×⾼）×2

S=2（ab ＋ah ＋bh ）－ab S=2（ah ＋bh ）＋ab

⽆底⼜⽆盖长⽅体表⾯积=（长×⾼＋宽×⾼）×2 S=2（ah ＋bh ）

正⽅体的表⾯积=棱长×棱长×6 S=a ×a ×6

6、物体所占空间的⼤⼩叫做物体的体积。

长⽅体的体积=长×宽×⾼ V=abh

长=体积÷宽÷⾼ a=V ÷b ÷h

宽=体积÷长÷⾼ b=V ÷a ÷h

⾼=体积÷长÷宽 h= V ÷a ÷b

正⽅体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a ×a ×a= a 3

7、箱⼦、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。

常⽤的容积单位有升和毫升也可以写成L 和ml 。

1升=1⽴⽅分⽶ 1毫升=1⽴⽅厘⽶ 1升=1000毫升

8、a 3读作“a 的⽴⽅”表⽰3个a 相乘，（即a ·a ·a ）

【体积单位换算】⾼级单位低级单位低级单位⾼级单位

进率： 1⽴⽅⽶＝1000⽴⽅分⽶＝1000000⽴⽅厘⽶

1⽴⽅分⽶＝

1000⽴⽅厘⽶＝1升＝1000

毫升

1⽴⽅厘⽶＝1毫升

1平⽅⽶=100平⽅分⽶=10000平⽅厘⽶

1平⽅千⽶=100公顷=1000000平⽅⽶

重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率

计算不规则物体的体积：



×进率

÷进率

四分数的意义和性质

分数的产⽣分数的意义分数与意义：把单位1平均分成⼏份，表⽰其中的⼀份或⼏份

分数与除法：分⼦（被除数），分母（除数），分数值（商）

真分数真分数⼩于1

真分数与假分数假分数假分数⼤于1或等于1.

带分数（整数部分和真分数）

假分数化带分数、整数（分⼦除以分母，商作整数部分余数作

分⼦）

分数的基本性质：分数的分⼦、分母同时扩⼤或缩⼩相同的倍数，分数的基本性质分数的⼤⼩不变。

通分、通分⼦：化成分母不同，⼤⼩不变的分数（通分）

最⼤公因数

约分求最⼤公因数

最简分数分⼦分母互质的分数（最简真分数、最简假分数）约分及其⽅法

最⼩公倍数

通分求最⼩公倍数

分数⽐⼤⼩（通分、通分⼦、化成⼩数）

通分及其⽅法

⼩数化分数⼩数化成分母是10、100、1000的分数再化

简

分数和⼩数的互化

分数化⼩数分⼦除以分母，除不尽的取近似值

最简分数的分母只含有质因数2和5，这个分数⼀定能化成有限⼩数。

分数化简包括两步：⼀是约分；⼆是把假分数化成整数或带分数。

21=0.5 41=0.25 43=0.75 51=0.2 52=0.4 53=0.6 5

4=0.8 81=0.125 83=0.375 85=0.625 8

7=0.875 201=0.05 251=0.04。

五物体的运动

⼀、平移物体或图形平移后本⾝的形状、⼤⼩和⽅向都不会改变。

⼆、轴对称1、轴对称图形：把⼀个图形沿着某⼀条直线对折，两边能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2、轴对称图形的特征和性质：①对应点到对称轴的距离相等；②对应点的连线与对称轴垂直；③对称轴两边的图形⼤⼩、形状完全相同。

三、旋转1、物体旋转时应抓住三点：①旋转中⼼；②旋转⽅向；③旋转⾓度。2、旋转只改变物体的位置（旋转中⼼位置不会变），不改变物体的形状、⼤⼩。

六分数的加法和减法

同分母分数加、减法（分母不变，分⼦相加减）

分数数的加法和减法异分母分数加、减法（通分后再加减）

分数加减混合运算

带分数加减法：带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。

七统计与数学⼴⾓

众数⼀组数据中出现次数最多的数叫众数。

众数能够反映⼀组数据的集中情况。

统计在⼀组数据中，众数可能不⽌⼀个，也可能没有众数。

复式折线统计图

综合应⽤打电话的最优⽅案

中位数的求法：1、按⼤⼩排列。

2、如果数据的个数是单数，那么最中间的那个数就是中位数；

如果数据的个数是双数，那么最中间的那两个数的平均数就是中位数。平均数的求法：总数÷总份数=平均数

⼋数学⼴⾓找次品

数⽬与测试的次数的关系：2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次

4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次

10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次

28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次

82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次

244～729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次

⼩学六年级数学知识点归纳

六年级上册

1.分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求⼏个相同加数和的简便运算。

2.分数乘法的计算法则：分数乘整数，⽤分数的分⼦和整数相乘的积作分⼦，分母不变；分数乘分数，⽤分⼦相乘的积作分⼦，分母相乘的积作分母。但分⼦分母不能为零.。

3.分数乘法意义

分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求⼏个相同加数的和的简便运算。⼀个数与分数相乘，可以看作是求这个数的⼏分之⼏是多少。

4.分数乘整数：数形结合、转化化归

5.倒数：乘积是1的两个数叫做互为倒数。

6.分数的倒数

找⼀个分数的倒数，例如3/4 把3/4这个分数的分⼦和分母交换位置，把原来的分⼦做分母，原来的分母做分⼦。则是4/3。3/4是4/3的倒数，也可以说4/3是3/4的倒数。

7.整数的倒数

找⼀个整数的倒数，例如12，把12化成分数，即12/1 ，再把12/1这个分数的分⼦和分母交换位置，把原来的分⼦做分母，原来的分母做分⼦。则是1/12 ，12是1/12的倒数。

8.⼩数的倒数：

普通算法：找⼀个⼩数的倒数，例如0.25 ，把0.25化成分数，即1/4 ，再把1/4这个分数的分⼦和分母交换位置，把原来的分⼦做分母，原来的分母做分⼦。则是4/1

9.⽤1计算法：也可以⽤1去除以这个数，例如0.25 ，1/0.25等于4 ，所以0.25的倒数4 ，因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使⽤这种规律。

10.分数除法：分数除法是分数乘法的逆运算。

11.分数除法计算法则：甲数除以⼄数（0除外），等于甲数乘⼄数的倒数。

12.分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中⼀个因数求另⼀个因数。

13.分数除法应⽤题：先找单位1。单位1已知，求部分量或对应分率⽤乘法，求单位1⽤除法。

14.⽐的意义

（1）两个数相除⼜叫做两个数的⽐

（2）“：”是⽐号，读作“⽐”。⽐号前⾯的数叫做⽐的前项，⽐号后⾯的数叫做⽐的后项。⽐的前项除以后项所得的商，叫做⽐值。（3）同除法⽐较，⽐的前项相当于被除数，后项相当于除数，⽐值相当于商

（4）⽐值通常⽤分数表⽰，也可以⽤⼩数表⽰，有时也可能是整数。（5）⽐的后项不能是零。

（6）根据分数与除法的关系，可知⽐的前项相当于分⼦，后项相当于分母，⽐值相当于分数值。

15.⽐的基本性质：⽐的前项和后项都乘以或除以⼀个不为零的数。⽐值不变。⽐的性质⽤于化简⽐。

⽐表⽰两个数相除；只有两个项：⽐的前项和后项。

⽐例是⼀个等式，表⽰两个⽐相等；有四个项：两个外项和两个内项。

16.⽐例的性质：在⽐例⾥，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。⽐例的性质⽤于解⽐例。

17.⽐和⽐例的区别

(1)意义、项数、各部分名称不同。⽐表⽰两个数相除；只有两个项：⽐的前项和后项。如：a:b 这是⽐⽐例是⼀个等式，表⽰两个⽐相等；有四个项：两个外”讲完后戴雨给程小明布置了一堆题目。“吃晚饭之前做好给我检查。”戴雨布置好题目便离开房间找程明天去了。

程明天得知程小明的情况后高兴的手舞足蹈。“我就知道这个孩子其实很聪明，他就是不好好学而已。”“是呀！”戴雨点点头表示赞同。“给！”程小明走出房间把本子交给戴雨检查。“不错不错！我们先吃饭，再继续学习吧！”戴雨看了一会儿，发现竟然做的全对！“吃饭喽！”程小明飞奔进厨房拿碗筷。“终于，好好学习了。”程明天欣慰道。