这是你的数学大脑

对于温哥华的伊莱沙·博尼（Elisha Bonnis）老师来说，她最喜欢的事情是帮助她的5年级学生发现数字里的模式或将不同的数学概念联系起来。但多年以来，每当她不得不去教数学时，她都感觉自己就像一个骗子。

在人生的大部分时间里，数学都让博尼发怵。她3年级时第一次开始在这个科目上落后，因为支气管炎迫使她缺课了几周。家里没有人能帮助她跟上进度——她来自一个不断搬迁的家庭——而她在学校又害怕寻求帮助。她在数学上越来越落后，甚至开始对这个科目产生一种习惯性恐惧，老师开始把她当作不能理解最基本数字概念的学生来对待。在一场有关JUMP体验的访谈中，她告诉《温哥华太阳报》（Vancouver Sun）的记者：“我曾经以为只有我，我是唯一一个搞不明白的人。我被告知了许多次，我就是一个缺乏数学头脑的人。”

博尼在数学上的挣扎最终开始影响她其他学科的成绩。她开始逃课，考试不过，与老师顶嘴。在被两所学校开除之后，她进入了一所非传统学校，并在这儿以高分拿到她的高中学位——但不包括数学成绩，因为此前几年她便放弃了这个科目。当她决定成为一名老师并申请了不列颠哥伦比亚大学的教育项目时，她恐惧地发现，她将不得不去更新自己的数学知识。她回忆道：“在不列颠哥伦比亚大学，我再次被自己对数学深远持久的憎恶与恐惧缠绕。我每晚学习3个小时，大部分时候都会哭泣。我的确通过了，但当我成为教师，在我职业生涯的前半段时间里，当我需要执教数学时，我仍然感觉自己完全不够格，好像我在糊弄谁。我只是按照教材照本宣科，现在我才知道，这对我的学生来说是一种怎样的伤害。”

2008年，伊莱沙·博尼参加了我在温哥华学校教育委员会的一次演讲，之后便与我相识。她的一位同事曾听她吐露过对数学的恐惧，便劝说她来听这次的演讲。听过演讲之后，博尼开始试验JUMP的在线课程，最终她在她的课堂上实施了完整的项目课程。随着博尼与她的学生们一起规划并努力完成整个课程，她对数学的焦虑开始消退，头一次她开始感到自己理解了所教的东西。3年之后，带着新建立的对自己能力的信心，她开始在不列颠哥伦比亚大学上数学教育的硕士课程。之后，她以高分完成了自己的学位，而现在，她喜欢辅导那些对数学感到焦虑的同行老师。

我知道很多人后来发现——有时在生命中相当晚的时候才发现——他们有数学天赋，并且实际上他们喜爱学习这个科目。曾经与我共事过的数百位成人与少年，他们都曾以为自己“不擅长数学”，但我只遇到过少数几个人，不能很快地跟上我教他们的东西。

在第5章，我将描述我辅导丽莎的工作，她是我遇到过的最具挑战性的青少年学生之一。在我与丽莎的第一课中，我惊讶地发现她不会最基本的算术运算，或者两个两个地数数到10，虽然她已经是6年级了。我很快从她的校长那里得知，在学校她实际上处于1年级的学习水平。她有“轻度智力障碍”（这意味着她的智商大概是80），而且她对数学已产生手足无措般的恐惧。经过3年的每周辅导之后，丽莎告诉我她想去上9年级的数学课。我担心她没办法通过这项课程，但让我惊讶的是，她在这一年里跳过9年级并完成了10年级的数学课程。

那些认为数学本质上就是很难学的人，有时会将数学的专业知识与各领域的专业知识类比，这些领域通常需要从小开始学习，才能成为其中的有力竞争者，例如，能够没有口音地说一种语言，流畅持续地在小提琴上拉出动听的音符，或者在体操中表演复杂的动作套路。按照这种观点，如果一个人没有在早年表现出与数字打交道的能力，那么他们很可能被判定为缺乏数学细胞，就像伊莱沙·博尼一样。但是来自不同领域的研究——包括认知科学、神经科学，乃至数学基础领域——都指出，这种类比是有缺陷的，一个人什么时候学数学都不晚。

举个例子，如果一个人没有在6岁之前学会说一种语言，那么他们很可能在说这种语言的时候会带有口音，不管他们多么努力地让自己听起来像在说母语。但是最近关于儿童发育的研究显示，数学学习的成败并不能做同类的预测。实际上，影响日后数学成就的预测因素所涉及的技能与概念，是每一个人必然会发展起来的，不论他们早年曾在数学上多么挣扎或他们获取这些技能有多晚。这些指征涉及一些极简单的任务，是人类进化出的仅需要相对较少的指导就能做到的事情，这些任务包括数到10，或正确地将一个数字符号（1、2、3等）与一个数量（比如一排圆点）或一个数列中的位置联系起来，并且识别两个数字符号中哪一个代表更大的数量。

研究提出了一个让人困惑的问题。如果可以预示数学成绩的技能如此简单，像数数或将一个数字与数量匹配——这些事情几乎所有人最终都能做到——那么一个人在4岁还是4岁半时掌握这些技能为何就那么要紧？为何学数数比同龄人晚了6个月的孩子，就会有更大的风险被数学终生困扰？研究显示，成人在能力上的差异主要不是由个体之间的认知差异造成的，因为我们最终都能学会那些可以预示成绩的概念。我认为，差异主要源于教育体系，正是教育体系将本来无关紧要的一点延迟或困扰转化为能够改变人生的差异。我将提供来自心理学的证据加以说明，比起这门课程本身固有的难度，我们对自己能力的态度（我们将自己与学校或工作场所的同伴相比较而形成这些态度），还有老师的态度，都更有可能阻碍我们作为孩子或成人去学习数学。

有关儿童发育的新研究，与过去100多年来一系列改变数学这门学科的深刻发现是一致的。这些发现最终促进了我们今天所依赖的数字计算机与通信技术的发展。它们也显著影响了数学的教学方式。在20世纪早期，逻辑学家已经证明，几乎所有的数学，包括更高等的分支，如微积分、抽象代数，都可以还原为同样微不足道的概念与过程——例如计数的过程或将对象分组成为集合——这些能力可以在数学上指向成功。不幸的是，这个新发现从未被透露给普通公众，可能因为数学家们不想让人知道，数学，曾被广泛视为普通头脑难以企及的专业，可以被还原为任何头脑都可以涉足的简单逻辑步骤。在本书中我们将审视若干概念的例子——例如分数的除法——这能迷惑许多成人，但实际上非常容易解释。我将探讨数学不同于在学校学习的其他科目，正如逻辑学家所揭示的，它本质上很简单。

相信数学很难的人，也倾向于相信大脑的结构性特征决定了一个人能够学会多少数学。神经学家才刚开始寻找擅长数学的成人及青少年与不擅长者的大脑图像差异。关于人脑的结构会如何限制或增强我们的能力，他们还说不出更多东西。但是他们已经发现的东西理应为任何想学习数学的成人带来希望。

擅长数学的人倾向于用他们大脑的特定部位（left angular gyrus，称为“左侧角回”）处理数学，这会帮助他们比不擅长数学者更有效地检索并使用数学信息。 有趣的是，数学奇才们用以超越普通人的信息——你猜到了——从根本上来讲很简单。那些能激活左侧角回的人，就能更好地检索基本信息（比如加法与乘法的信息）以及读取不同的数学表征（如图形、图表及表格）所表示的意义。他们在数学上的优势在于不必在基本的任务处理上浪费精力，因此他们能够更专注于理解问题所蕴含的结构。研究显示，不那么擅长数学的人可以通过训练学会激活相同的脑区，即那些专家赖以处理数学问题的脑区。

神经科学的研究和与认知科学的一系列平行研究是一致的，它们都表明，许多我们认为天生的能力实际上都能通过一种称为“刻意训练”的学习方法来培养。研究指出，学习数学（或任何科目）多少有些有效方法，而当下我们在学校与工作场合所采用的指导方法往往是非常低效的，因为它们会导致学习者“认知过载”，并且不能以有效的方式吸引学习者去注意所学材料的明显特征。例如，多数老师倾向于用过于具体或特定的例子（常常嵌入一个设计好的似乎与数学相关的故事框架中），但研究指出，这些表述实际上会妨碍学生发现问题中更深层的数学结构。其实，以更少的语言并通过更抽象的表示来展示这些数学概念，则更容易被学生接受。

我们能抽象思考、使用数学的能力，是人类最伟大的天赋之一。可能也正是这种天赋让我们与其他人大致相似且共享某种普遍性。数学给了我们能力以创造大量技术，并认识统治自然界的规律与模式。它也使我们能够透过无数让人眼花缭乱的、让万物面貌各异的表象特征，以更抽象的视角，发现它们的相同本质。如果每一个人抽象思考的天赋都能被开发，我们可能会发现，我们与其他人类伙伴的共同之处比我们想象的要多得多。我们能创造出一个更公平、更有成效的社会，并以那些从未体验过数学之美或数学之力的人难以想象的方式，来改善我们的生活。

每一个人应该都有权利实现他们的智力潜能，正如他们有权发育健康的身体。我们不必等到招揽好一支超人教师队伍，或发明出一些奇迹般的新技术来保障这种权利。在过去的十多年间，认知科学家与教育心理学家开始揭示我们大脑的最佳学习机制。他们收集的证据已经证明，通过我在本书中描述的方法来教学，绝大多数人都能表现优秀并爱上学习。我们这个时代至关重要的问题之一，就是我们是否会依照这些证据去采取行动。