拍卖理论的改进与新拍卖模式的发明
1.引言
把有价值的货品卖给出价最高的竞标人，或者从报价最低的竞标人那里采购所需的服务，此类活动可以追溯到人类有文字记载之初。古希腊历史学家希罗多德就记录过在他之前约2500年的古巴比伦的拍卖活动。[2]在罗马帝国，债权人经常利用拍卖来出售从违约债务人那里没收的资产。到更为接近今天的时代，瑞典男爵克拉斯·罗兰布（Claes Ralamb）于1674年建立了世界上现存最古老的拍卖机构，即斯德哥尔摩拍卖行（Stockholms Auktionsverk）。除罚没资产外，该拍卖行还代表卖家出售类型广泛的物品，例如17世纪后期的瑞典国王卡尔六世在那里拍卖过一批狩猎武器。1744年，塞缪尔·贝克（Samuel Baker）与乔治·利（George Leigh）则在他们新成立的拍卖公司售出了一套贵重书籍，价值826英镑。这间位于伦敦的企业日后将成为全球最大的艺术品拍卖机构，即索斯比拍卖行。
先不谈历史上的某些劣迹，拍卖在今天的重要性显然远远超出以往任何时候。鱼类、鲜花和原钻等大宗商品，仍像多个世纪以来那样以拍卖的方式出售。政府债券等金融证券也经常以现代版本的古老拍卖机制来发售。各国政府还越来越多地依赖拍卖来出售伐木、采矿、采油和使用无线电频率的权利，以及从私人企业那里采购多种多样的产品和服务。过去10年来，互联网拍卖又变得无处不在。易贝（eBay）等网络平台通过拍卖来促成企业与企业（B2B）、企业与消费者（B2C）以及消费者与消费者（C2C）之间的各类交易。谷歌与雅虎等搜索引擎则利用拍卖来出售关键词位置排名和广告。
拍卖的应用增加刺激了有关拍卖的研究，而相关研究又进一步推动了应用。拍卖理论的改进与新拍卖模式的发明无疑是多人共同努力的成果，而来自斯坦福大学的两位学者在其中尤为突出，他们是保罗·米尔格罗姆与罗伯特·威尔逊，也是今年的诺奖获得者。他们的研究深化和拓宽了该领域的分析基础，回答了具有基础理论重要性的关键问题：面对不同拍卖模式和不同信息条件，竞标人会如何采取行动。他们的研究还回答了极具实践重要性的关键问题：监管机构与政府应该如何设计拍卖机制，以实现社会价值的最大化。此外，他们的研究成果直接改变了真实世界的重要市场的设计。这些发现不仅能让卖家获得更高收入，或能让买家降低采购成本，而且有利于把拍卖品卖给最适合的买家，或在采购中找出最适合的卖家。拍卖理论由此可以给全世界的监管机构和政府带来帮助，把物品与事务交给那些最有能力做妥善管理的当事人。
拍卖理论为科学研究的“意外之喜”提供了又一例证：在很多时候，受好奇心驱使而做出的基础研究的重大发现会找到出乎预料的实际用途。就拍卖领域而言，两位获奖人都既做出了基础研究成果，又参与了最重要的应用。
1.1 拍卖理论的改进
不同拍卖的区别主要在两个方面：模式和信息。模式方面涉及价格公布应遵循何种规则，竞标人如何投标，价格如何更新，拍卖怎样终结，以及“赢家”如何选出等？例如，英国式拍卖要求向上公开报价，直至没有人出更高价，拍卖品即以最高报价归属竞标人。信息方面涉及参与人对拍卖品的价值有多少了解。在大多数情形下，每个竞标人都拥有其他人不易观察到的某些信息。这些信息可能既包含竞标人对拍卖品的独特估值（私人价值部分），也包含他对拍卖品的特性发出的信号，而后者会影响其他竞标人的估值（共同价值部分）。
由于拍卖参与者往往有不同的目标和行为策略，对某位竞标人的行为的理解不能脱离其他竞标人的行为。拍卖并非零和博弈，恰恰相反，拍卖的要点正在于通过把拍卖品交给能最好利用它的人，从而尽可能地创造更多价值。因此，在严格分析拍卖之前，必须对零和博弈等特殊情形之外的非合作博弈进行一般性的理论概括。这一步骤是在1950年，由1994年诺贝尔经济学奖得主约翰·纳什在其数学博士论文中完成的（Nash, 1950）。而针对每个竞标人都拥有某些私人信息的更为现实的拍卖场景的研究，则要等到威廉·维克里（William S. Vickrey）与约翰·海萨尼（John C. Harsanyi）对纳什理论的拓展，他们也分别荣获了1996年和1994年的诺贝尔经济学奖。
维克里在独立私人价值模型中全面分析了当时的不同拍卖机制（Vickrey,1961,1962），其含义是，每个竞标人对拍卖品的估值不会给其他人的估值提供信息参考。虽然在研究上有用，但这种场景设计在现实中颇为罕见。尤其是，对于转售价值至关重要的所有物品而言，上述独立信息假设都不合适。
海萨尼（1967,1968a, b）提出的均衡概念，则让威尔逊能够脱离独立信息假设来研究拍卖问题。具体来说，威尔逊（1969,1977）总结了另一种特殊场景下的均衡竞价与价格的特征，即拍卖品的事后价值对所有竞标人来说是相同的，但他们在事前对这个价值的估计拥有不同私人信息。在采矿权或金融资产等物品的拍卖中，这种共同价值模型远比独立私人价值模型更接近竞标人的目标设定。
然而，大多数真实世界的拍卖兼有私人价值与共同价值两个部分。曾在20世纪70年代作为威尔逊的博士研究生的米尔格罗姆，对这些更为现实的情形做出了决定性的新发现。在20世纪80年代早期的一系列成果中（尤其是Milgrom, 1981a, b; Milgrom and Weber, 1982），他探讨了兼有私人价值与共同价值的一般情形，对竞标人的信息与估值分布采用较为合理但数学上易于处理的设定，从而推进了拍卖理论的发展。米尔格罗姆的详尽分析修订、综合并概括了许多早期成果。除了其他贡献，他的发现表明卖家在什么情况下可以通过与潜在买家分享专家评估意见，如真实性鉴定书或审查协定等，获得更高拍卖收入。他的拓展分析还使得可以通过预期收入的高低对不同拍卖模式做优劣排序。
1.2 新拍卖模式的发明
到20世纪90年代初期，拍卖理论研究者已经深入描述了绝大多数拍卖模式和信息设定下的单物品拍卖的均衡竞价结果。通过观察与实验数据，均衡竞价理论的许多预测得到了实证支持。与此同时，研究重点又从单物品拍卖转向了多物品拍卖。这一转变很大程度上是由于需要利用市场来交易类型广泛的物品，如无线电频段、电力以及“问题债务”组合，它们在过去是采用其他方式配置的。此类物品的交易数量和规模往往非常惊人，几个百分点的效率提高，对企业、客户与纳税人而言可能意味着数十亿美元的收益。
如何收获这些利益是一项挑战，要求发明新的拍卖机制。大量彼此相关物品的拍卖，提出了过去的“标准”拍卖机制研究没有遇到或忽略掉的议题。例如，无线电频段需要同时做多物品拍卖，这是因为不同通信渠道的频段在技术上和空间上存在互补性。电力拍卖同样如此，因为要考虑电力分配的规模经济和范围经济。另外，关联物品拍卖中常见的物品互补性、竞标人外部性以及其他特征，又可能诱使竞标人下调自己的需求并寻求串谋，由此可能导致拍卖品不能由对其估值最高的竞标人获得。
设计新的拍卖模式以缓解上述问题，通常需要拍卖理论研究者、监管机构与私人企业各方面的投入。因此，实际拍卖设计同工程项目类似，经过扎实训练的专家可以针对特定经济场景设计出合适的拍卖机制，好比经验丰富的工程师可以针对特定地点设计出合适的桥梁。[3]
米尔格罗姆与威尔逊通过对关联物品拍卖中某些关键议题的识别和分析，发明了若干有价值的新拍卖模式和具体设计。同时多回合拍卖（Simultaneous Multiple Round Auction）作为其中最知名的例子，是他们同普雷斯顿·麦卡菲（Preston McAfee）合作，为1994年美国联邦通信委员会的无线电频段拍卖而设计。这一拍卖模式此后成为全球拍卖频段许可证采用的主要方法。他们设计的其他拍卖模式还包括：份额拍卖（Share Auctions, Wilson, 1979）、组合时钟拍卖（Combinatorial Clock Auctions, Ausubel、Cramton and Milgrom, 2006），以及激励性拍卖（Incentive Auctions, Milgrom et al. ,2012）等。
拍卖理论的改进不仅带来了新拍卖模式的发明，也有助于把对不同交易制度的研究统一起来，让我们能认清拍卖同市场标价交易及其他谈判交易的紧密联系。拍卖理论的概念还能帮助理解其他一些初看上去与拍卖殊为不同的经济现象，如收购战和价格消耗战等（Klemperer, 2003）。罗杰·迈尔森（Roger B. Myerson）于2007年因为机制设计获得诺贝尔经济学奖，让·梯若尔（Jean Tirole）于2014年因为对监管理论和竞争政策的贡献而获奖，他们的获奖研究都利用了拍卖理论的相关成果。
1.3 本文的内容结构安排
本文第2节将介绍单物品拍卖研究的一个正式理论架构。利用该理论，首先介绍维克里关于私人价值特殊场景的发现，然后是威尔逊关于共同价值特殊场景的研究，以及米尔格罗姆对兼具私人价值与共同价值的场景的研究。之后简要讨论两位获奖人及其合作者对拍卖理论的改进如何推动实证研究者利用观察和实验数据验证理论预测。
本文第3节将介绍多物品拍卖。这里描述的一个核心困境是，试图兼顾拍卖收入与有效配置的监管机构会面临挑战。本节将展示，在过去几十年里，米尔格罗姆与威尔逊发明了某些最重要的拍卖模式，以应对此类挑战。
第4节将简要提及拍卖理论研究对其他领域的促进，以及两位获奖人在密切关联的其他研究领域的主要成果。
第5节做简要总结。
2.单物品拍卖
通过引入一个灵活的模型设定，利用关于信息条件与拍卖交易规则的不同假设可以做不同方向的特定探讨，这样更便于描述拍卖理论的某些基本成果。第2.1小节将介绍单物品拍卖的一般理论架构，第2.2—2.4小节将探讨在不同特殊情形下的理论发现。这些发现带来了若干可以实证检验的预测，因此第2.5小节将介绍，这些预测已经用计量经济学和实验方法做了检验。
2.1 一般理论架构
设想有位卖家希望拍卖一件不可分割的物品。我们把潜在竞标人的数量设为固定值，以B代表。然后，竞标人b ∈ {1，…，B}对物品的估值由以下函数给定：vb= Vb（θ，β），这里θ =（θ1，…，θB）代表每个竞标人观察到的私人信号的矢量。其中或许包含竞标人b对拍卖品的个人评价，如欣赏画作的愉悦感，或者使用该物品耗费的个人成本，如行使采矿权的私人成本等。相反，β =（β1，…，βS）代表实际价值状态函数的矢量，影响拍卖品对所有竞标人的价值，例如对矿产储量的估计，或者决定矿产价格的因素等。其中某些变量或许只有卖家知道，例如在矿产的拍卖案例中，卖家或许已做过某些地质测试，但结果对外保密。[4]
下文的第2.2—2.4小节将指出，不同拍卖模型会有不同的信息假设：状态函数的维度、每个拍卖参与人得到的确切信息（信号）、θ与β的分布，以及它们之间的条件依存度等。模型还可以用不同假设反映不同拍卖模式：价格如何公布，竞标人如何报价，价格如何更新，拍卖如何结束，赢家如何选择等。
早期拍卖理论对四种拍卖模式的竞标策略和结果做了比较研究，这些拍卖模式包括（以字母顺序排列）：
（D）荷兰式拍卖或时钟拍卖（Dutch or Clock auction）：价格从卖家设定的一个高水平开始，逐渐降低，直至有竞标人接受，并以此价格付款；
（E）英国式拍卖（English auction）：从较低的起步价（通常根据卖家建议）开始，通过公开报价而提价，在所有人见证下，直至没有竞标人愿意给出更高报价，此时最高报价者胜出，并按最终报价付款；
（F）最高价格（密封报价）拍卖[ First-price（sealed-bid）auction]：竞标人提交一次性报价，其他人无法观察到（例如，封在信封里），最高报价者胜出，按照其报价付款；
（V）次高价格（密封报价）拍卖或维克里拍卖[ Second-price（sealedbid）or Vickrey auction]：竞标人用密封方式提交报价，最高报价者胜出，不过按照次高报价付款。
这些常见拍卖模式被用于出售类型广泛的物品、资产和大宗商品。例如，荷兰的阿尔斯梅尔鲜花拍卖市场每天利用荷兰式拍卖出售约2000万份鲜花，纽约联邦储备银行利用时钟拍卖向主要交易商出售债券，为美国财政部筹集资金。英国式拍卖或许是如今最常用的拍卖模式，至少对易贝等网上平台的私人单物品拍卖是如此。最高价格拍卖是企业和其他组织采购产品与服务，以及各国政府发包公共合同与分配采矿租约的常用工具。次高价格拍卖较为少见，但也有多个世纪的应用历史，例如收藏品的出售，也被今天的互联网搜索引擎用来出售广告位。
拍卖总是由一家拍卖商操办，其任务是执行拍卖规则。在历史上，拍卖商总是由真人担任。但如今，计算机软件可以替代人类拍卖商，以提高交易速度和频率。在多物品拍卖中（见本文第3节），计算机还能完成人类拍卖商难以胜任的更复杂的交易。与之类似，竞标人在历史上多为亲自报价。而今，电子化代理人，通常称为代理竞标人，经常基于预先对支付意愿和标准化提价或降价的设定，来替代真人参与竞价。
2.2 私人价值
维克里（1961）在其开创性论文中探讨了纯私人价值环境下的单物品拍卖机制。利用上文介绍的符号，维克里模型考察的是竞标人信息中不包含任何共同价值的特殊情形，即S = 0。另外他还假设，估值与私人信号相同，即vb=θb，也就是说，每个竞标人b知道自己对拍卖品的私人估值θb，但卖家和其他竞标人都不知道（j≠b）。[5]具体而言，维克里假设估值θb是统计上独立的随机变量，因此其模型也被称作独立私人价值模型。最后他还假设，竞标人属于风险中立、事前对称的类型：每个估值θb都来自相同的概率分布。
主要发现与启示。维克里（1961）首先考察了四种主要拍卖模式之间的“策略等价性”。他发现最高价格拍卖与荷兰式拍卖具有策略等价性：竞标人在荷兰式拍卖中打算退出的最优价格对应着他在最高价格拍卖中的最优报价。不过，这些拍卖模式不存在占优策略，因为最优报价取决于其他竞标人的策略。下调自己的报价，可以在赢得拍卖时降低成交价格，但也会降低取胜的概率。最优报价需要在两种考虑之间做平衡。
维克里（1961）的研究还表明，与最高价格拍卖和荷兰式拍卖不同，次高价格拍卖中的每位竞标人b都有一个占优策略，即严格按照自己对拍卖品的私人估值θb报价。这样做的话，当他的估值高于最高的竞争性报价时，他会赢得拍卖并获得正收益。当他的估值低于最高的竞争性报价时，就不会赢得拍卖。如果报价低于θb，则会承担不必要的放弃收益的风险。如果报价高于θb，则会承担不必要的发生亏损的风险。此外，英国式拍卖与次高价格拍卖具有策略等价性。竞标人在英国式拍卖中打算退出的最优报价对应着他对拍卖品的估值。因此在这两种拍卖机制中，有最高估值的竞标人都会获胜，并且按次高估值支付拍卖价格。
利用博弈论的证明，维克里（1961）指出四种常见拍卖模式在他的模型中都具有效率，也就是说，拍卖品最后会配置给对其估值最高的人，而且会给卖家产生相同水平的预期收入。后一项发现被称为收入等价定理（revenue equivalence theorem）。
拓展与深入研究。维克里（1961,1962）的研究探讨了私人价值模型的两项重要拓展。其一是有多个相同物品的多物品拍卖，此类拍卖将在本文第3节讨论。其二是事前非对称性。维克里通过案例指出，当竞标人处于非对称状态时，上述四种拍卖模式不能一般地以预期收入来排序。对某些分布状态来说，最高价格拍卖比次高价格拍卖的预期收入更高，而对其他分布状态来说排序则相反。维克里还发现，最高价格拍卖对非对称竞标人是缺乏效率的，而次高价格拍卖和英国式拍卖总是有效率的。
在1961年的一篇论文中，维克里证明了估值一致分布情况下的预期收入等价定理，并将其拓展到更为一般的分布类型（Vickrey, 1961,1962）。在20年后的一篇论文中，2007年诺奖得主迈尔森指出，当有最低可能估值的竞标人没有预期支付时，收入等价可以扩展到风险中立和事前对称的竞标人的任何有效率拍卖中（Myerson, 1981）。[6]本节其余部分和第3节将介绍这样的分析，它们已被用于不同的信息条件设定与拍卖模型中。
2.3 共同价值
私人价值假设认为，每位竞标人的估值都只依据自己特定和独立的条件，如本人的品位，或拍卖品的私人用途。但大多数情况下，价值并非纯私人属性，而是相互依赖的。在有相互依赖时，如果某位竞标人了解到其他人的估值，就可能修正自己的估计。例如在石油开采权拍卖中，有若干企业为之前尚未开发的某个地区的采油权竞标，那里能采出多少石油，对这些企业都存在不确定性。每家企业都可以雇用专家做地震波和其他地质测试，测试的结果让它们各自对开采权的价值有不完美的估计。然而，如果某家企业了解到另一家的测试结果，它就可能修正原有的估计。
威尔逊为建立相互依赖价值条件下的拍卖理论做出了最早的关键性贡献（Wilson, 1969）。他的模型有时也被称为采矿权模型（mineral-rights model），在提出模型的近10年后，他又做了深入分析（Wilson, 1977）。采用前文介绍的一般理论架构，该模型代表了如下特殊情形：对所有竞标人b而言，都有S = 1,vb= β1= β，但每个竞标人对这一共同价值是多少并不确定。由于这一不确定性，每个竞标人的报价都要根据与β有关的某些私人信息。由于竞标人掌握着不同的私人信息，他们对β的估计也不同。可以描述为：每个竞标人b观察到信号θb，后者服从条件概率密度函数hb（θb|β）。较高的β值会随机导致较高的θb，使信号存在正相关（但都独立于β）。这被称为条件-独立假设（conditional-independence assumption）。
主要发现与启示。威尔逊对共同价值条件下的最优报价做了首个均衡分析，在采矿权模型中推导出了贝叶斯纳什均衡（Wilson, 1969）。他得到的一个核心发现是，赢家或许会高估真实价值。例如，再以石油开采权拍卖为例，竞标人b的信号θb如今对应着他对于可采储量的估计，较高的θb也会包含b对于采矿权价值的乐观态度。受乐观情绪影响，他愿意提出较高的报价。而事实上，由于竞标人的估计存在独立误差，赢得拍卖的将是最乐观的竞标人。但因为θb是独立的，赢家就可能高估真实价值。
对此，假设仅有两个事前对称的竞标人的情形，即B = 2。在提交报价前，竞标人b∈ {1,2}观察到的私人信号为θb= β + εb，其中，β是真实价值，εb是异质性的零均值的噪声项。当竞标人b为石油开采权提交报价时，他对价值的最佳估值将满足E [β |θb] = θb。由于均衡报价是这些估计值的增函数，因此有最高异质性信号εb的竞标人会赢下拍卖。这意味着，赢得拍卖会提供另一位竞标人的信号的定性信息。如果竞标人1获胜，他可以确信θ2< θ1，其预期价值满足E [β |θ1,θ2< θ1]< θ1。因此，赢得拍卖对石油开采权价值来说可能是“坏消息”。除非竞标人得到的是负面异质性信息（即ε2< ε1< 0），获胜确实会是坏消息。这一现象被称作“赢家诅咒”。[7]
威尔逊对赢家诅咒现象做了首次严格的理论分析，并以此揭示最高价格拍卖中的竞标人具体应该如何行动，以“隐蔽”自己的报价，避免过高报价。这要求采用比仅考虑私人价值时更复杂的策略思维。
虽然纯共同价值模型提供了一些有意思的启示，却没有对不同拍卖规则下的配置效率做更多分析。由于除异质性事前信号外，所有竞标人都是相似的，他们对拍卖品有相同的事后价值评估：vb= β。这表明，只要能把拍卖品配置到估值最高的竞标人手里，任何拍卖规则都自然是有效率的。但第2.4小节将指出，如果竞标人同时受到私人价值与共同价值的影响，情形会有所不同。
拓展与深入研究。威尔逊证明了信息不对称会如何影响共同价值拍卖中的均衡报价水平（Wilson, 1967）。在他分析的拍卖中，一位竞标人知道拍卖品的共同价值，另一位对此只有噪声估计。在密封报价拍卖中，不知情的竞标人必须随机报价。知情的竞标人大多数时候会获胜，并可望获得最大利润，但不知情的竞标人依然可以提出能够盈利的报价。
奥尔特加-莱克特（Ortega-Reichert, 1968）把威尔逊（1969）的某些结论做了一般概括。罗斯科普夫（Rothkopf, 1969）则独立探讨了共同价值问题，但没有考虑贝叶斯纳什均衡报价问题。[8]后来有许多学者研究了不同类型的共同价值模型，包括威尔逊（1977）、米尔格罗姆（1979,1981b）、恩格尔布雷希特-威根斯等人（Engelbrecht-Wiggans et al. ,1983），以及马斯金和莱利（Maskin and Riley, 2000）等。除其他成果外，这些后续研究发现若干结论对竞标人非对称性较为敏感。总之，威尔逊的研究（1967,1969,1977）给米尔格罗姆分析兼具私人价值与共同价值的拍卖奠定了基础。下面就转入有关介绍。
2.4 私人价值结合共同价值
独立私人价值（Vickrey, 1961）与纯共同价值（Wilson, 1969,1977）均属于更一般的信息设定中的特殊情形。许多真实世界的单物品拍卖应该兼具私人价值和共同价值的部分。米尔格罗姆对于此类混合拍卖的研究做出了基础性贡献（Milgrom, 1981b）。具体来说，他证明了单调似然率特征假设（monotone likelihood ratio property assumption）在研究不完全信息条件下的策略互动时的关键作用。他之前就做过严格分析（Milgrom, 1981a）的这一特征表明，估值更高的信号比估值更低的信号代表“更好的消息”，因此，估值更高的私人信号更有可能得到更高的实际价值。尤其是，米尔格罗姆的单调似然率特征加上威尔逊的条件-独立假设，意味着竞标人应该采用单调竞价策略，即最优报价随着自己的信号单调递增。该特征还能确保，满足相应的一阶条件足以确立这种策略的最优属性。
以这些初步成果为工具（Milgrom, 1981b），米尔格罗姆与韦伯得以考察远远超出之前所有研究的信息设定条件（Milgrom and Weber, 1982），几乎包含本文第2.1小节提到的所有领域。在他们的模型中，每位竞标人都得到私人观察信号θb（如关于自己的石油开采成本的信息），以及影响拍卖品共同价值的有关状态变量β的信号（如石油储量或者采矿权期限内的预期石油价格等）。还有某些状态变量可能只有卖家才知道。
估值表达式为：vb= Vb（θ，β）。米尔格罗姆与韦伯假定，信号θ与状态β的整个矢量都以非递减方式进入每位竞标人的估值函数，其含义是，变量的作用使得任何更高的输入都会略微提高每位竞标人的收益。为分析这一模型，他们沿用了某些简化假设，如竞标人是风险中立的，其偏好同信号的关系保持事前对称等。该模型的突出特点还在于一个关键假设，即竞标人的私人信号与只有卖家知道的变量有附属联系，这种正相关关系同单调似然率特征紧密相关。
例如在石油开采权案例中，假设某家企业获得了有关储油矿区价值较为有利的私人信息。大致来说，上述附属联系意味着，该信号值越高，不仅储油矿区实际价值较高的概率会（略微）越高，而且其他石油企业有更高估值的概率也越高。对此可以设想仅有两位竞标人的情形，b ∈ {1,2}，它们的私人信号θ1和θ2有较高和较低两种可能的实现值，记为H和L，使得：
，
。如果用f代表这些信号的联合概率密度函数，附属性质将意味着：
。或者说，更有可能出现的情形是，两个私人信号有相近的（较高或较低）估值，而非相反的估值。[9]现有的实际数据看起来可以支持单调似然率特征与附属联系假设。[10]
主要发现与启示。米尔格罗姆与韦伯（1982）在其信息设定中推导出了不同拍卖规则下的均衡报价的准确条件。这些发现让他们得出了两个关键结果。首先是英国式拍卖得出的预期收入略高于次高价格拍卖，而次高价格拍卖的预期收入又略高于荷兰式拍卖与最高价格拍卖。其次是卖家通过对自己的私人信息做专家评估的策略，可以得到更高的预期收入。
这两个结果均与所谓“连接原则”（linkage principle）有关。该原则基于如下发现：每当某种拍卖模式能更好地汇聚竞标人的私人信息时，就能产生比其他拍卖模式更高的预期收入。以英国式拍卖与密封竞标拍卖为例，相比后者，英国式拍卖在竞价过程中揭示了私人信号的相关信息，例如竞标人在何时退出。于是英国式拍卖中的价格就比密封竞标拍卖中的价格反映了更多私人信息。如果在竞价过程中有更多附属联系信息被揭示给竞标人，就可以缓解赢家诅咒现象，由此鼓励更积极的报价，给卖家带来更高的预期收入。
再来看收入排名的第一项主要发现。如之前第2.2小节所述，英国式拍卖与次高价格拍卖在独立私人价值模型中是策略等价的，但由于英国式拍卖的竞标人在附属价值模型中知道了更多私人信号的有效信息，而在密封竞价拍卖中不存在类似的学习过程，共同价值因素就会破坏两种拍卖机制在附属价值模型中的策略等价性。于是，连接原则会确保英国式拍卖中的预期收入将略高于次高价格拍卖。与之相反，荷兰式拍卖与（密封）最高价格拍卖依然具有策略等价性。在这两种拍卖机制下，赢家只知道其他报价（及其他人的私人信号）低于自己，但在拍卖结束之前并不清楚其他人比自己低多少。因此，英国式拍卖会给卖家提供略高于次高价格拍卖的预期收入，而次高价格拍卖的预期收入又略高于最高价格拍卖及荷兰式拍卖。[11]
类似的逻辑可以支持第二项主要发现背后的直觉：卖家可以把自己的私人信息以非策略方式展示给潜在买家，从而提高预期收入。对卖家是否揭示信息的情形，可以设想为两种不同的拍卖机制。以连接原则的逻辑看，如果卖家分享其私人信息，相比对这些信息严格保密的情形而言，最终的拍卖价格会包含更多的私人信息。增加的信息将帮助缓解赢家诅咒，从而鼓励更积极的报价，最终带来更高的收入。对于在拍卖前给潜在买家提供专家评估意见的普遍做法，这一洞察从理论上奠定了基础，例如艺术品拍卖前的真品鉴定、房地产拍卖中的检查报告，以及油气开采权拍卖中的实验勘探结果等。
2.5 理论与数据
对特定拍卖机制下的均衡报价与价格的确切预测为实证检验铺平了道路。这方面的一种方法是利用公共拍卖中产生的丰富观测数据，另一种方法则是借助实验来检测特定拍卖的预测。2002年诺贝尔经济学奖得主弗农·史密斯（Vernon L. Smith）是后一方法的先行者，如他与拉森提（Stephen Rassenti）和布尔芬（Robert Bulfin）合作开展的机场时段拍卖机制的开创性研究（Rassenti et al.,1982）。
本小节将回顾对单物品拍卖的丰富实证研究得出的部分成果，特别聚焦于同米尔格罗姆和威尔逊的核心贡献联系最密切的实证研究。
简化的观测研究。早期实证研究的目标是利用观测数据检验最基本的理论预测，例如，约翰逊利用美国林务局的拍卖操作的变化检验收入等价定理，发现密封报价拍卖的收入更高（Johnson, 1979）。然而这一证据较为薄弱，而汉森（Hansen, 1986）和其他人没有在不同拍卖模式之间发现显著的收入差距。早期检验结果不确定的一个可能原因是，被考察的拍卖并不满足私人价值模型下的严格信息设定条件。
20世纪80年代后期，肯尼斯·亨德里克斯（Kenneth Hendricks）与罗伯特·波特（Robert H. Porter）意识到，共同价值模型与附属价值模型给实证研究提供了现实而有用的基础。在一系列论文中，他们（尤其是Hendricks, 1987;Hendricks and Porter, 1988; Porter, 1995）分析了美国的近海抽采租期拍卖数据。
他们的研究（Hendricks et al. ,1987; Hendricks and Porter, 1988）指出，针对特定拍卖中出租的区域，拥有邻近区域的“相邻”企业对租约的价值更为了解，而“非相邻”企业缺乏了解，更容易遭受赢家诅咒。共同价值模型与附属价值模型都认为，非相邻企业会更少参与拍卖，参与时也更不容易胜出。还有，相邻企业应该获得正的平均利润，非相邻企业平均应该获得零利润，并且在相邻企业不参与竞价时会获得负利润。根据简化的经济计量模型，他们发现有证据显示，这些预测在油气拍卖中是成立的。波特（1995）的进一步观测研究考察了石油开采量、产业成本和石油价格等数据，以便对赢家的回报做事后测算，由此可以直接估计赢家诅咒，并检验米尔格罗姆与威尔逊的模型的不同预测。
此类研究令学术界确信，私人信息在拍卖研究中确实非常重要，而博弈论模型给观测到的拍卖竞价提供了可靠的解释。对早期拍卖实证研究的全面回顾，可以参阅亨德里克斯和帕尔施（Hendricks and Paarsch, 1995）。
结构性观测研究。到更近的时期，实证研究者采用了一种结构性方法，假设理论成立，然后试图从竞价行为中推导出未观测到的竞价函数与估值分布。当然，这涉及有关函数形式以及竞标人预期和偏好的具体假设。例如，研究者可以假设竞标人的预期满足贝叶斯均衡条件，偏好满足风险中立。这一结构性方法的优势在于可以做反事实研究，例如，出现估值的突然变化或者在不同拍卖机制下，会发生什么情形？
拉丰等人发展出了新的结构估计技巧（Laffont and Vuong, 1993; Paarsch,1992,1997）。借助这些技术，拉丰等人利用法国的茄子和其他农产品的拍卖价格估算了竞标人估值分布（Laffont et al. ,1995）。还有数十位研究者利用结构估计研究拍卖活动，例如苏珊·阿西等人（Athey and Haile, 2006; Athey et al.,2011）。
实验研究。在实验室中，研究者可以控制参与者的估值。通过实验室观察到的竞价同理论预测的对比，可以精确检验模型的预测。早期实验研究聚焦于检验基本预测，例如，有学者检验了私人价值环境下的收入等价定理（Coppinger et al. ,1980; Cox et al. ,1982），发现并不成立。此外，尽管英国式拍卖与次高价格拍卖的策略等价性在理论上很直观，但相比后者，实验室里的对象在英国式拍卖中更容易实现其占优策略（Kagel et al. ,1987）。[12]
某些实验发现则给理论提供了强劲支持。例如，贝叶斯纳什均衡可靠地预测了行为随环境的变化方向（Cox et al. ,1982,1988）。实验研究还表明，某些参与者经常没有达到均衡策略。例如，赢家诅咒广泛存在，至少对较为缺乏经验的竞标人是如此（Kagel and Levin, 1986）。该发现证实了博弈论的一个核心观点，即普遍来说没有充分理由期待人们的行为会迅速向均衡收敛（可参见Weibull, 1995）。而均衡理论主要描述的对象是，有机会从经验中学习的人，或者有机会协调其预期的人。[13]
关于拍卖的实验研究，有关综述可参考卡格尔等人（Kagel, 1995; Kagel and Levin, 2014）。
3.多物品拍卖
现实世界的拍卖活动越来越多涉及多个物品的同时拍卖。其中一种类型是针对不可分割的物品，例如政府债务和电力。另一种类型是针对具有互补或替代性的多个不同物品，例如无线电频段和公交线路等。在实践操作中，同质品和非同质品的界限可能较为模糊。例如，电力是高度同质的，从来源看高度可分割，然而在某个地点输送电力的成本却可能与其他地点的输电成本有联动。
本节将首先描述可分割物品的拍卖（第3.1小节），继而介绍更复杂的相互关联的异质物品的情形（第3.2小节），这里主要关注无线电频段拍卖，涉及的价值极高，而且给各国政府带来了挑战：需要在增加财政收入与有效分配频段之间做出权衡。
在应对此类问题的过程中，今年的获奖人及其合作者利用理论解决了若干现实议题，由此大幅降低了关联物品交易的障碍。本节后续部分将介绍获奖人及其他人发明的某些拍卖模式（第3.3—3.4小节）。
3.1 份额拍卖
威尔逊为份额拍卖（share auction）设计了开创性的共同价值模型（Wilson,1979）。首先，每位竞标人都观察到物品真实价值的某个私人信号。接下来，竞标人为物品的每个可能的份额制定出一个价格，结果会使得报价等同于一份需求计划表（demand schedule）。威尔逊考虑了统一价格拍卖（对物品的每个份额收取相同价格）与歧视价格拍卖（按竞价支付价格）两种类型，并率先尝试以拍卖收入为不同拍卖类型和模式排序。[14]他的模型尤其适用于对公共债务拍卖的研究。
主要发现与启示。威尔逊的模型带来了两个主要洞见（Wilson, 1979）。第一，在试图购买多个单位时，竞标人知道对边际单位的报价可能影响自己为超边际单位支付的价格。因此与单物品拍卖模式相比，竞标人可能有额外的动机“隐蔽”报价，使其低于自己的真实估值。第二，由于存在广泛的策略空间，竞标人有时可以在几个不同均衡之间开展协调行动，某些均衡结果会使卖家的收益变得极低。
拓展与深入研究。基于威尔逊对份额拍卖的研究，克伦佩勒与迈耶发展出了通过供应函数开展竞争的一般模型（Klemperer and Meyer, 1989），竞标人作为卖家，而非买家。当时是20世纪80年代后期，随着若干国家的能源市场私有化，带有供应函数竞标的采购拍卖变得日益重要。与威尔逊的模型类似，克伦佩勒与迈耶的模型也有多重均衡，但他们观察到，加入特定形式的不确定性将筛选出一个独有的均衡。后期分别针对供应函数与需求函数背景的研究（von der Fehr and Harbord, 1993; Kremer and Nyborg, 2004）则表明，如果要求竞标函数足够离散，也能得出唯一均衡结果。同不确定因素一样，这种离散性也得到了实证检验。在电力市场中发现，竞标限额与产能约束可以深刻影响均衡结果。有关综述可参阅霍姆伯格和纽伯利（Holmberg and Newbery, 2010）。
威尔逊对自己参与电力市场的实务设计做了精彩介绍（Wilson, 2002），提出了一些新的理论议题，并且为利用严肃的正式分析解决新问题做出了贡献。例如，他总结了一个拍卖市场中的供给函数均衡的特征，其现实约束包括交通网络的有限连接能力，以及拍卖参与者有限的投入-产出能力等（Wilson, 2008）。
因此，对份额拍卖模型较现实的一般化意味着，多重均衡问题或许没有威尔逊最初的分析结论那么严重。当然，他对多重均衡的担心依然有先见之明，因为一旦把目光转向更普遍的多物品拍卖，这一问题又会出现，并有更大影响（见第3.2小节）。
经验研究。到目前为止，电力市场与债券市场的拍卖都得出了丰硕的经验研究成果。广泛地说，数据支持竞价隐蔽现象的存在，隐蔽程度反映着竞标人的市场份额。对电力市场的研究表明（Holmberg and Newbery, 2010），在过剩产能较多的情况下加价幅度通常较小，而当产能面临约束时则会大幅提高。这些理论模型还显示出了稳健性特征。
在债券市场上，规模较大的参与者以及有潜在信息优势的参与者似乎掌握着某些市场支配力，但效应比较小（参见Hortacsu et al. ,2018，及其参考文献）。还需要指出，受欢迎的债券市场拍卖模型依然是最初的份额拍卖模型，只是根据卡斯尔（Kastl, 2011）的建议做了一般化处理，考虑了现实的竞价离散性。还有学者研究了土耳其的财政债券拍卖，主要发现是（反事实场景）从歧视价格拍卖转向统一价格拍卖不会显著增加财政收入（Hortacsu and McAdams, 2018）。
3.2 关联物品拍卖
20世纪90年代早期，对移动通信需求的爆炸式增长促使美国联邦政府决定，要借助拍卖给各电信企业分配无线电频段。之前，美国联邦通信委员会只是通过行政审批程序（通常被称为“选美”）或抽签方式配置频段。这些传统方法在若干复杂场景下遭到严重挫败，给纳税人与最终用户都造成了巨大损失（参见Binmore and Klemperer, 2002; Cramton, 2013; Kasberger, 2020; Klemperer, 2002; McMillan, 1994）。采用拍卖发放许可证成为显而易见的新选项。事实上，1991年的诺贝尔经济学奖得主罗纳德·科斯（Ronald H. Coase）早在20世纪50年代就提出，基本原则应该是把广播许可证等物品分配给能最高效率利用它们的企业，而找出这些企业的最佳办法则是通过竞价机制（Coase,1959）。
效率与社会价值。随着联邦通信委员会的政策转向，多物品拍卖几乎一夜之间从微观经济学边缘位置的秘传之学变成炙手可热的题目。公开的政策目标是实现“电信频段的高效和密集利用”（U. S. Congress, 1993，第82页），创造收入只列为第二目标（参见McMillan, 1994，第147页）。[15]利用拍卖手段的主要理由反映了两方面的效率考虑：首先，把物品配置给最具生产力的供应商，可避免或节约二手市场上重新配置的成本。其次，通过市场而非税收筹集资金，可以避免税收扭曲。[16]针对不同国家和时期背景，经济学家已经发现每增加1美元税收，会造成0.17—0.56美元的无谓社会损失。有关论述可参阅巴拉德等人（Ballard et al. ,1985; Feldstein, 1999，及其参考文献等）。
可是，监管机构与政府可以通过产生高收入来避免税收扭曲，并不代表拍卖应该以收入最大化为目标。以此作为频段许可证之类的物品的拍卖目标，或作为拍卖成功与否的测算指标，可能过于短视并导致市场垄断。[17]而增强市场竞争程度可以增加长期政府收入，并通过提供更优质低价的服务，使长期福利得到改进。
因此，从公共福利出发，收入最小化的选美模式与收入最大化的拍卖模式都受到了经济学家和政策制定者的排斥。而“中间模式”并不容易操作，设计出达成有效结果的拍卖绝非轻松的任务，会受到如策略性误报、诱骗报价、共同价值因素、串谋、预算限制或外部性因素的影响。[18]有关内容可以参阅奥苏贝尔和米尔格罗姆等人（Ausubel and Milgrom, 2002a; Hazlett and Munoz,2009, Hazlett et al. ,2012, Jehiel and Moldovanu, 2003; Klemperer, 2002，等等）。其中某些问题将在下文讨论。
多物品拍卖的挑战。从效率为主的角度看，一个较为自然的解决办法是利用维克里-克拉克-格罗夫斯拍卖（Vickrey-Clarke-Groves auction，以下简称VCG），来自他们三人的研究成果：维克里（1961）、克拉克（1971）、格罗夫斯（1973）。这种拍卖是次高价格拍卖的一般化，被认为在私人价值架构下具有效率。VCG拍卖机制按照最大竞价之和分配物品，对每位竞标人b收取的价格是他给其他竞标人带来的外部效应，即b不在时其他所有竞标人的拍卖总价值减去b加入时的总价值。不过，尽管VCG拍卖在私人价值架构下是有效率的，在更复杂的场景下依然可能导致缺乏效率的结果，如下面两个案例所示。[19]第一个案例展示买家如何伪托抬价（shill bidding），即采用不同人的名义来出价，以操纵竞标。第二个案例展示VCG拍卖如何导致竞标人串谋。
案例1：有两件物品（A和B），向两位竞标人（1和2）拍卖。竞标人1把A和B视为互补品，愿意为这对组合支付2单位货币，但对单件物品只愿意支付0单位。竞标人2则愿意为组合物品支付1单位货币，对单件物品各自愿意支付0.5单位。如果双方都诚实竞价，VCG拍卖会把物品组合（A和B）配置给竞标人1（因为这使得拍卖总价值最大化），收取的总价格为1（即竞标人1给竞标人2带来的外部效应）。[20]该结果是有效率的。
但假设竞标人2虚假陈述自己的估值，为物品A报价2，为物品B报价0。此外，竞标人2还伪装成竞标人3，为物品B报价2，为物品A报价0。这样两件拍卖品将分别被配置给竞标人2和竞标人3（事实上也是竞标人2），其价格则均为0。于是通过虚假陈述和伪托抬价，竞标人2成了拍卖的赢家，有效率的配置变成了无效率的配置。
案例2：有两件物品（A和B），向3位竞标人（1、2、3）拍卖。竞标人1的情况与案例1中相同。竞标人2和竞标人3都分别愿意为单件物品支付0.5单位货币，为组合物品支付0单位。此时，诚实的竞标过程同样会把物品组合分配给竞标人1，总价格为1。但如果竞标人2与竞标人3串谋，分别向物品A和B报价2，向另一件报价0，则两件物品会被分别配置，价格均为0。于是通过狡猾的虚假陈述和老练的串谋，竞标人2和竞标人3成了拍卖的赢家，有效率的配置变成了无效率的配置。
上述案例反映的问题的根源在于，竞标人1把两件物品视为互补品。如果他把两件物品视为替代品（愿意为单件物品分别支付1单位货币），问题将不复存在。然而在现实中，互补品现象广泛存在，不容忽视。在频段拍卖中，竞标人通常青睐互补牌照的组合（参阅Ausubel et al. ,1997）。例如，电话服务商经常试图覆盖大片区域，因此更喜欢相邻地理区域的牌照。联邦通信委员会还关心其他方面的挑战：竞标人有不同的目标和资金实力，而且潜在的竞标人数量并不确定。此外，还有基本的计算能力问题，在有许多牌照出售时，不能指望竞标人为所有潜在物品组合报价。
早期拍卖设计。早期的多物品拍卖设计很大程度上未考虑上述问题。例子之一是拉森提等人（Rassenti et al. ,1982）为机场时段配置提出的静态组合拍卖建议（static combinatorial auction），以及伯恩海姆与温斯顿（Bernheim and Whinston, 1986）提出的在理论上颇具影响力的菜单拍卖（menu auction）。后者采取单回合拍卖模式，竞标人给任何物品组合提交报价，由拍卖商选择物品的配置，以实现总收入最大化，价格则按照报价支付的规则决定。与所有静态拍卖模式一样，菜单拍卖迫使每位竞标人对其他竞标人的估值和报价做完全缺乏信息的猜测。实际上，即使在单物品拍卖中，对于有共同价值的情况也更适合采用顺序报价设计。对多物品而言，多回合报价设计有更大的优势，便于让每位竞标人了解哪些组合可能有关联，从而更有效地发挥竞标人估值的作用。
相比单物品拍卖，组合拍卖面临如此多新问题，这意味着本文第2节中介绍的标准拍卖理论只能提供某些基本指导。为取得成功，还需要良好的直觉来填充可能长期持续的理论空白。这一知识缺陷也在呼唤新的拍卖模式与规则，本节余下部分将对其中的某些发展加以介绍。
3.3 多回合拍卖
本小节将介绍三种新的拍卖模式，其发明很大程度上是为应对前文所述的无线电频段需求暴增，以及美国联邦通信委员会通过拍卖出售频段组合的政策调整措施。
同时多回合拍卖。对1994年的联邦通信委员会拍卖而言，新设计的最终拍卖版本是“同时多回合拍卖”，有时也被称为“同时提价拍卖”（Simultaneous Ascending Auction, SAA）。该设计参考了两个建议，一个来自米尔格罗姆与威尔逊，另一个来自普雷斯顿·麦卡菲。[21]同时多回合拍卖模式允许竞标人在多个回合中对任意数量的物品报价，多回合特征缓和了赢家诅咒，因为拍卖过程中有更多信息揭示出来，这是第2.4小节讨论的连接原则的应用。
为防止竞标人被动等待其他人报价，同时多回合拍卖模式的设计包含了所谓的行动规则（activity rules）。这些规则促使每位竞标人在每个回合至少尝试对某些物品给出可信的最高报价。具体而言，第一回合的价格设定很低，使所有物品都处于需求过剩状态。在每个回合中，竞标人对自己希望购买的任何物品按一个整数增量提高报价。到每个回合结束时，每件物品会产生一个“临时赢家”。这一过程不断重复，直至需求过剩消失，所有物品的报价停止。届时，竞价结束，最终回合的临时赢家将得到相应物品，并按当时的报价支付。
1994年的联邦通信委员会频段拍卖给美国政府创造了约200亿美元收入，是之前预测值的两倍。这一结果吸引了广泛的媒体关注，并促使其他国家的政府推出自己的拍卖。英国2000年的3G频段拍卖给政府创收约340亿美元（Binmore and Klemperer, 2002）。由此，同时多回合拍卖模式成为全球频段拍卖的主导形式，其不同版本被应用于加拿大、芬兰、德国、印度、挪威、波兰、西班牙、瑞典、英国和美国等。这些拍卖给各国政府创造了数千亿美元收入。更多细节可参考多位学者的研究（Bichler and Goeree, 2017; Cramton,1997; Cramton, 2006; Goetzendorff et al. ,2018; Klemperer, 2004; Milgrom,2004；等等）。
尽管同时多回合拍卖模式通常运行得不错，它也有某些众所周知的缺陷（详细介绍可参阅Ausubel and Milgrom, 2002a; Cramton, 2013）。例如与份额拍卖的情形类似，较大的竞标人有压缩需求的激励。[22]另一个是所谓“暴露问题”（exposure problem），源于这种拍卖模式不允许组合报价（尽管后来提出的拓展模式允许组合报价，例如Ausubel and Milgrom, 2002a）。因此，希望购买某些互补物品的竞标人面临无法赢下全部中意对象的风险，而只能购买其中一部分。
组合时钟拍卖。针对同时多回合拍卖的某些问题，尤其是如何适应组合报价，若干新的拍卖模式被发明出来。这方面的一个重要进步是组合时钟拍卖，由米尔格罗姆与劳伦斯·奥苏贝尔（Lawrence M. Ausubel）及彼得·克雷姆顿（Peter C. Cramton）率先提出（Ausubel and Milgrom, 2002a, b; Ausubel et al.,2006）。[23]
组合时钟拍卖包含两个主要阶段：[24]
（1）配置阶段（Allocation Stage），其中又包含时钟阶段（clock stage）和补充阶段（supplementary stage）两部分。时钟阶段包含多个回合，拍卖商在每个回合宣布所有单件物品的价格，竞标人则对一组物品提出单一报价。价格逐渐提高，直至对任何物品的需求过剩消失。补充阶段是一个密封报价拍卖过程，竞标人可以改进自己在时钟阶段的报价，并给其他物品组合提交更多的报价。在整个配置阶段，所有报价都是针对全部组合或零组合的报价。
（2）指派阶段。来自时钟阶段与补充阶段的所有报价都提交后，将通过求解“赢家决定问题”来确定赢家和支付价格。在满足某些可行性限制条件下，通过此问题的解选择价值最大化的组合。然后，采用次高价格规则计算出每个获胜竞标人的支付价格。
组合时钟拍卖在两个主要方面与同时多回合拍卖有差异。前者是组合拍卖，允许竞标人打包报价。另外，并不在每个回合之后确认临时赢家。因此在每个回合之后，只会揭示出关于现有最高报价与过剩需求的信息。对于要形成价格预期和解决共同价值不确定性的竞标人来说，这些信息还非常有限。
克雷姆顿（2013）指出，组合时钟拍卖相比同时多回合拍卖具有优势。首先，暴露问题被消除了，尽管一个物品组合或许对某位竞标人是替代品，对另一位竞标人是互补品，但他们可以对物品组合报价。其次，组合时钟拍卖消除了需求压缩和大多数博弈行为的激励。这些来源于有效的定价规则（能产生核心回报的一种VCG拍卖版本）、设计精巧的行动规则，以及只把综合信息揭示给各个竞标人。
组合时钟拍卖虽然有解决问题的潜力，却也存在短板。小竞标人收获的剩余往往过少，或者被阻挡在拍卖之外。有些报价不太可能影响竞标人自身的结果，却总会干扰其他竞标人支付的价格。结果导致某些参与人或许不愿意提出主要让其他竞标人或卖家受益的报价，即报价丢失问题（missing-bid problem），或者会恶意报价，以迫使其他竞标人多付出成本（参见Bichler et al. ,2013; Levin and Skrzypacz, 2016）。与作为启发的单物品次高价格拍卖不同，组合时钟拍卖不会使诚实报价成为弱占优策略，此外还往往存在多重均衡，其中某些缺乏效率。
在英国于2008年采用组合时钟拍卖模式出售无线电频段牌照后，许多国家纷纷仿效，包括奥地利、澳大利亚、加拿大、丹麦、爱尔兰、荷兰、罗马尼亚、斯洛伐克与瑞典等。更多细节可参阅比希勒和戈利（Bichler and Goeree,2017）、凯夫和尼古拉斯（Cave and Nichols, 2017）、戈利和霍尔特（Goeree and Holt, 2010）以及蒙雄和赛斯（Monchon and Saez, 2017），等等。
激励性拍卖。米尔格罗姆领导一个经济学家团队向联邦通信委员会建议，把无线电频段的用途从广播电视播放转向无线宽带服务（Milgrom et al. ,2012）。为此设计的新的激励性拍卖模式于2017年被联邦通信委员会采纳。该模式结合了两个独立但相互依赖的拍卖。第一个是逆向拍卖，以决定现存广播企业自愿放弃频段使用权的价格；第二个是对释放出来的频段的正向拍卖。2017年的逆向拍卖取消了14个频道的播放权，为此付出的成本为101亿美元。正向拍卖则售出了70兆赫兹的无线互联网牌照，价值达198亿美元，另外增加了14兆赫兹的剩余频段。激励性拍卖的这两个阶段总体上给美国纳税人带来了近100亿美元收入，并释放出大量的频段，以备未来之用，应该显著提升了卖家和买家的预期剩余。
基本经济问题的复杂性是逆向拍卖设计中尤其棘手的方面。拍卖后仍有约95%的电视台继续播出，需要将它们“重新组合”，组合方式要满足超过100万个约束条件，是极具计算难度的问题（Milgrom and Segal, 2017）。项目的最终成功带来了希望，通过自愿的市场解决方案可以实现有效率的网络产能配置调整，而且可以应用于其他领域。
现实应用。针对不同背景和市场细节，不存在一概而论的拍卖设计。当然，同时多回合拍卖与组合时钟拍卖都仍在广泛应用中，如今已有数十个国家采用其不同版本来配置频段资源（Koutroumpis and Cave, 2018）。
这些拍卖并非都达成了预期目标，有关讨论可参阅多位学者的研究（Bichler and Goeree, 2017; Binmore and Klemperer, 2002; Cramton and Schwartz, 2000;Do-raszelski et al.,2019; Hazlett et al. ,2012; Klemperer, 2002；等等）。一个可能的原因是拍卖设计的细节存在缺陷，例如保留价格过高、报价信用机制设计不合理、组合不够灵活等。但即使拍卖的设计没有问题，由于规划欠佳、预测不准确和时机等因素的影响，频段拍卖依然可能发挥不出潜力。例如，决定举行拍卖与实际启动拍卖之间的时间窗口过长，可能给潜在参与者提供串谋机会并实施产业进入阻碍策略，以及造成市场结构变化等。
与拍卖有关的问题还可能反映了社会利益冲突和政治考虑。例如，私人企业或许会争取游说监管机构，为企业的利益而微调拍卖设计细节。或者在私人部门与追求私人利益的强势监管机构或政客之间，可能存在代理人问题。还有的情况是，学院派的拍卖设计者可能提出受自己私人利益扭曲的、不符合公共利益的建议。事实上，许多大型电信企业在1994年的联邦通信委员会拍卖中就参考了拍卖理论家的建议，麦克米兰（McMillan, 1994）对此有详细描述。针对2017年的激励性拍卖，菲尔特利（Feltri, 2020a, b）与韦尔（Weyl,2020）分别批评了学院派拍卖设计者扮演的角色，米尔格罗姆（2020）则对此给出了详细回应。
虽然这些方面的问题可能限制了复杂的新拍卖模式的社会收益，但在其他配置模式下，同样的问题可能会产生更加显著的影响。因此，相比传统的行政审批程序和抽签方式，精心设计与规划的拍卖依然能更高效地配置部分无线电频段和其他公共控制的资源。在最好的情况下，即使没有其他扭曲，原来的配置机制仍会把公共财富转移到私人手中，造成公共收入损失。在最糟的情况下，由于政治扭曲或二手市场缺乏效率，拍卖品无法交给能最高效利用它们的人。
3.4 其他主流拍卖模式
今年的获奖人为发明新的拍卖模式（第3.3小节已做了介绍）做出了重要贡献，而其他人也为（无线电频段之外的）多物品拍卖设计出了颇有影响的模式。本小节将简要介绍其中几种。
产品组合拍卖。产品组合拍卖（product-mix auction）是一种主要的新拍卖模式，采取单一阶段，允许组合报价，由保罗·克伦佩勒（2010）设计，以应对2007年的北岩银行（Northern Rock bank）挤兑事件。与同时多回合拍卖类似的是，这种拍卖按照竞标人报价揭示的偏好来确定均衡配置。它损失了多回合机制中的价格发现，却更不容易被串谋操纵，速度也比同时多回合拍卖快得多。
产品组合拍卖更加适用于金融市场，迅速的市场出清在这里是一个重要考虑。英格兰银行就成功地持续利用这一拍卖模式出售大量问题债务。
头寸拍卖。另一种新设计的关联物品拍卖模式是所谓的“头寸拍卖”（position auction）。此类拍卖包括埃德尔曼等人（Edelman et al. ,2007）及范里安（Varian, 2007）归纳的次高价格拍卖。在现实世界的重要应用方面，谷歌公司就依赖这种模式出售互联网搜索的关键词。
4.对其他领域的影响
本节将把关注点从拍卖研究转向其他研究领域。首先将概括介绍拍卖理论的发现，尤其是米尔格罗姆与威尔逊的成果，如何促进了其他领域的研究。接下来简要提及两位获奖人在与拍卖相邻的领域做出的若干最重要贡献。
拍卖理论的外溢影响。除本文第2节和第3节介绍的直接发现外，拍卖理论对其他研究领域也产生了深刻的间接影响。下面将简单介绍若干外溢效应中的三个例子。
第一，对特定拍卖场景的报价行为分析拓展了对更普遍的交易机制的研究。拍卖理论得出的启示促进了对不同交易制度的统一研究。例如，单物品拍卖中的最优保留价格决定问题与单一买家场景下寻找最佳卖家交易机制是类似的。更不容易看到的一点是，拥有私人信息的参与方的双边谈判可能实现的最优结果与双向拍卖（double auctions，意指卖家和卖家都提交报价，下文有介绍）的均衡结果存在密切联系。
第二，米尔格罗姆及其合作者定义、提炼和普及的附属概念和关联概念，如单调似然率特征与超模博弈（supermodularity game），已成为寻找均衡与开展比较静态研究的一般工具。[25]这些工具在信息经济学、组织经济学及其他领域的一般研究中变得极为重要，尤其是当不完全信息和互补性发挥重要作用的时候。
第三，拍卖理论模型表明，在参与人、策略和结果函数易于识别的有清晰定义的场景下，博弈论能得到实证检验。这增强了我们对利用博弈论理解其他社会现象的信心，只要能够明确人们面临的各种条件的本质特征，包括他们的偏好、信息、认识与可能的行动等。尽管对反事实情况做推测较为困难，但如果没有在拍卖领域的成功应用，博弈论对社会科学的深刻影响很可能会缓慢得多。
证券市场中的信息问题。经济学面临的一个长期问题是，对于分散在经济行为人中的不完全信息，市场价格在何种程度上发挥了综合作用。威尔逊分析了在何种条件下，随着竞标人的数量增加，密封报价拍卖的价格会接近共同价值（Wilson, 1977）。这些研究成果又由米尔格罗姆做了拓展（Milgrom, 1979）。
双向拍卖指存在双边市场，有处于对称状态的许多买家和许多卖家，例如股票市场的情形。查特吉与萨缪尔森（Chatterjee and Samuelson, 1983）首先对此类拍卖做了研究，但限于单一买家和单一卖家的例子。威尔逊则在一项开创性成果中考察了有多个买家和多个卖家的情形，并指出在恰当的市场设计下，如何通过拥有不同信息的市场参与者的相互作用，来发现证券的真实价值（Wilson, 1985）。
米尔格罗姆与斯托基（Milgrom and Stokey, 1982）著名的无交易定理（no-trade theorem）认为，离开效率激励，就不会有基于非对称信息的投机交易。这一结论看似有些违背直觉。的确，对某些证券的价值掌握有利信息的人或许愿意从掌握更少信息的人手里将其买过来，然而这种直觉忽略了信息较少的交易人可以从对手的购买意愿中得出关于证券价值的贝叶斯推论。如果恰当考虑这种推论，信息较少的交易人的证券估值就会提高，直至消除交易可能带来的任何收益。
格罗斯滕与米尔格罗姆（Glosten and Milgrom, 1985）率先发展出了逆向选择情形下的金融市场模型。具体而言，他们引入了一个序贯交易架构，以考察面对拥有不同信息的若干交易人时，做市商会如何动态设置证券价格。这种做市商以收支平衡为目标来最优化调整报价和询价。格罗斯滕与米尔格罗姆发现，希望规避交易人的逆向选择风险的做市商必须创造一个买卖价差，相当于对不知情交易人的买卖征税。这一研究解释了金融市场上的逆向选择如何削弱流动性。
匹配理论。拍卖利用的是价格机制，但人类社会有时会出于分配或道德的考虑而弃用此类机制。匹配理论的研究即是针对这一课题，2012年的诺贝尔经济学奖授予阿尔文·罗斯与劳埃德·沙普利，也主要为了表彰该领域的贡献。米尔格罗姆是最早探讨拍卖理论、匹配理论与一般均衡理论之间联系的先行者之一。例如，基于他人之前做出的研究成果（Kelso and Crawford, 1982），他与哈特菲尔德（Hatfield and Milgrom, 2005）发展出了合同匹配的一般模型，可以包容若干已知的双边匹配模型和拍卖模型（另外可参阅Andersson and Svensson, 2014; Echenique, 2012; Fleiner, 2003）。这一成果激发了市场设计的新应用，包括对医生和医院的地方封顶匹配（Kamada and Kojima, 2012），对军校学员的军种专业匹配等（Sönmez, 2013; Sönmez and Switzer, 2013）。
公用事业定价。威尔逊推导出了公用事业定价方面的一整套重要成果，对监管机构具有重要的现实意义。他的专著《非线性定价》（Nonlinear Pricing,1993）总结了其中的许多发现，综合分析了电力、电信和交通等产业的费率设计。如书名所示，一个共同主题是非线性定价的优势。这种定价意味着，电力或电话用户面临的费率并非与购买数量严格成比例，而是会接到一个数量菜单，对应两部分费率。这种费率有助于促进资源的高效利用，既考虑到受监管公用事业机构的成本回收和垄断权力，又兼顾对顾客忠诚度的奖励和其他社会目标，如对特定消费者群体收取更低价格等。
博弈理论。拍卖通常涉及不对称信息，许多拍卖采取序贯方式。为了用正式模型来描述此类情形，必须针对不完全信息的广泛博弈类型发展出一般的求解概念，而这些概念还可能应用于其他领域。
克雷普斯与威尔逊（Kreps and Wilson, 1982b）提出了第一个成功的求解概念：序贯均衡（sequential equilibrium）。其思路是，要求每位参与人的行为具有序贯理性，即给定每位参与人的信念与其他参与人的策略，他在任何决策节点的行动都是最优的。序贯均衡概念的应用范围远远超出了拍卖领域，尤其是研究强硬或仁慈这样的声誉在掠夺性定价、价格战和其他市场战中的作用。
最知名的应用是连锁店博弈：一家在位垄断企业在若干城镇有多家分支，而潜在的地方竞争者可能序贯进入各个市场。当它们进入时，在位企业将决定是用低价格做出反击（给双方造成损失），还是加以容忍，采取高价格（给双方都带来正利润）。1994年的诺贝尔经济学奖得主莱因哈德·泽尔腾（Reinhard Selten, 1978）发现，完全信息条件下的博弈结果是每个市场都被进入。其逻辑较为简单：由于在位企业没有理由在最后一个市场开战，该市场就会出现新企业的进入。但早知如此，在位企业也没有理由在倒数第二个市场开战，以此类推。这被称作连锁店悖论。
克雷普斯和威尔逊（1982a）的研究显示，该悖论高度取决于完全信息假设。对于在位企业的开战意愿（强势）若有很轻微的不确定性，就足以阻碍产业进入。在序贯均衡中，早期市场的潜在进入者会拒绝进入，因为它们预期，即使较弱势的在位企业也会选择开战，而非妥协、暴露软弱。实际上，并不存在只有强势在位企业准备在早期开战的均衡：如果一个回合的价格战足以制止未来的所有进入，则弱势的在位企业在面临挑战时也肯定会开战。克雷普斯等人（1982）则借助非常接近的思路指出，很小的信息不对称如何能在有限重复的囚徒困境博弈中导致合作行为。
米尔格罗姆与威尔逊在其整个职业生涯中都持续开展博弈论的基础研究。他们对纳什均衡概念做出了合理的改进（近期的研究成果包括Govindan and Wilson, 2009; Milgrom and Mollner, 2018；等等）。
5.结论
50多年来（而且仍在继续），今年的两位经济学奖获得者贡献了杰出成果，深化了我们对存在私人信息的拍卖市场运转的认识。他们的发现让训练有素的研究者设计出了新的拍卖模式，让实践者能在现有拍卖模式中做出更明智的选择。米尔格罗姆与威尔逊把理论与实践紧密结合，这在经济学家中间颇为罕见。总而言之，对于逐步用更为严谨科学的方法取代直觉式的试错过程，他们关于拍卖理论与拍卖设计的研究发挥了关键作用。
（余江 译）
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[1] 本文为诺贝尔经济学奖评委会对2020年诺贝尔经济学奖得主保罗·米尔格罗姆（Paul R.Milgrom）和罗伯特·威尔逊（Robert B. Wilson）的学术贡献的总结报告。感谢特邀编辑李一南提供的大力支持和帮助。——编者注
[2] 19世纪的英国艺术家埃德温·朗（Edwin Long）在一幅著名画作中描绘了古巴比伦的拍卖。在1882年的拍卖中，该作品以6615英镑的价格被出售给托马斯·霍洛威（Thomas Holloway），创下了当时的现代画作的纪录。如今，该画作悬挂于伦敦大学霍洛威学院。
[3] 拍卖理论是热闹的市场设计研究领域的两个主要方面之一，另一个是匹配理论，2012年诺贝尔经济学奖授予阿尔文·罗斯（Alvin E. Roth）与劳埃德·沙普利（Lloyd S. Shapley），主要是因为这方面的研究成果。
[4] 某些拍卖模式中的报价行为还取决于竞标人对风险的态度。通常为简化起见，会假设所有竞标人是风险中立的，比如他们对任何彩票的估值都等于其预期收益。
[5] 对于竞标人了解彼此的信息，但卖家不了解的情形，可参见Cremer and McLean（1988）。
[6] 后来的研究得出了更多结果（Myerson, 1981; Riley and Samuelson, 1981），关注最优拍卖问题：何种机制能使卖家的预期收入最大化？在某些重要案例中，如果与仔细选定的保留价格（最低报价）相结合，上述四种拍卖模式都是最优拍卖。有关研究可参阅Holt（1980）, Harris and Raviv（1981）。
[7] 关于赢家诅咒的实证研究最早来自Capen et al.（1971），针对海洋石油钻井租约拍卖。该研究（第641页）指出：“常识告诉我们，租约拍卖的赢家通常是最高估储量潜力的竞标人，因此‘成功’的竞标人或许根本不会那么成功。”当然，这只是极其丰富的实证研究的序幕，本文第2.5节将做详细介绍。
[8] 贝叶斯纳什均衡（Bayesian Nash equilibrium）概念由1994年诺奖得主海萨尼在20世纪60年代后期的系列论文做了普遍发展（Harsanyi, 1967,1968a, b）。需要提示一点，威尔逊于1969年发表的论文在1966年已作为工作论文广为流传。
[9]假设以概率密度函数f来决定一组变量的联合分布（借鉴Milgrom and Weber, 1982），则附属关系的确切定义为：对于所有适量x与x′，有f （x ∨ x′）f （x ∧ x′）≥ f （x）f （x′），其中，x ∨ x′是x与x′的分量方式的最大值，x ∧ x′是最小值。
[10] 对于单调似然率与附属联系特性的有效性的实证检验，可参见de Castro and Paarsch（2010）、Li and Zhang（2010）、Roosen and Hennessy（2004）。这些研究还在相应的拍卖和信息条件下为附属联系假设提供了实证支持。第一项研究是关于成本，后两项是针对报价。
[11] 英国式拍卖带来的收入高于密封竞价的最高价格拍卖，这在真实世界的拍卖商中间似乎是经验之谈。然而这在理论上需要竞标人对称与风险中立的假设，假如竞标人是风险厌恶型的，那么原则上排名会倒过来（Maskin and Riley, 1984）。关于风险厌恶型竞标人的拍卖研究，可参阅Holt（1980）、Milgrom and Weber（1982）、Matthews（1987）。英国式拍卖还有另一个突出特点：即使面对非对称的竞标人，也可以实现拍卖品的有效配置（Maskin, 1992; Krishna, 2003）。
[12] 有学者（Ausubel, 2004）曾试图描述这种直觉，近期也有研究（Li, 2017）关注了占优策略的“显性度”差异。
[13]当然，如果参与者在报价时没有理性行动，拍卖理论会有不同预测。2017年诺奖得主理查德·塞勒在《经济展望杂志》（Journal of Economic Perspectives）早期发表的一篇文章中针对赢家诅咒探讨了这一可能性（Thaler, 1988）。
[14] 这种配置机制对两种拍卖模式是相同的，因为每位竞标人都以均衡价格分配到所需份额的物品，但支付价格不同。
[15] 后来，欧洲国家的政府也将有类似行动，试图在频段牌照配置中追求社会福利最大化。参见EU Directive（2002）和Kasberger（2020）。
[16] 事实上，机制设计理论的著名结果显示，没有任何谈判协议能纠正初始的错配。更确切地说，即使没有成本的转售也不能在不完全信息条件下保证有效率的结果（Cramton et al. ,1987; Jehiel and Moldovanu, 1999; Myerson and Satterthwaite, 1983）。
[17] 对于把拍卖收入作为成功标准的批评意见，可参阅Hazlett and Muñoz（2009）; Hazlett et al.（2012）等。
[18] 竞标人可能有预算约束，有时还必须依靠外部融资。这些财务约束会影响竞价策略乃至拍卖结果。一篇开创性论文分析了当竞标人面临绝对或灵活的支出再配置时，若干标准的拍卖模式的结果（Che and Gale, 1998）。
[19] 这两个案例都来自Ausubel and Milgrom（2002a）。该文借鉴了一家咨询公司（Charles River Associates and Market Design Inc.）于1997年向美国联邦通信委员会提交的报告。
[20] 规范地说，这一外部效应的定义是以下两者的差额：竞标人1缺席时的拍卖总价值（此时竞标人2将得到物品组合，价值为1）；竞标人1在场时、对于竞标人2的拍卖总价值（此时竞标人2没有得到拍卖物品，价值为0）。因此，对竞标人1收取的价格为：1-0 = 1。还需要注意，对竞标人2收取的价格为0，因为无论竞标人2是否参与拍卖，竞标人1的拍卖总价值均为2，或者说竞标人2不会给竞标人1带来外部效应。
[21] Evan Kwerel为米尔格罗姆（Milgrom, 2004）著作所写的前言描述了联邦通信委员会的部分早期拍卖工作及后续进展。另外可参见Cramton（1997）、McAfee and McMillan（1996）。
[22] 有学者考察了大型投标人压缩需求的激励（Kagel and Levin, 2001），发现在封闭式统一价格拍卖中有显著证据，但在英国式拍卖中的需求压缩幅度更大。
[23] 组合时钟拍卖的某些早期和附加介绍，可以参阅Ausubel and Milgrom（2001）、Ausubel et al.（2002）、Milgrom（2004）以及Porter et al.（2003）。对该拍卖的后期研究可参阅Day and Raghavan（2007）、Day and Cramton（2012）、Day and Milgrom（2008）以及Day and Milgrom（2013）等。
[24] 如果能把拍卖品视作良好的替代品，则在组合时钟拍卖中往往还有第三个竞价阶段。例如在频段拍卖中，竞标人可以只提出对“通用频段”的需求量（在给定地区所需的频率的总体数量）。然后在第三阶段决定从通用频段向具体频率的分配。因此，竞标人在竞价过程中只需要评估通用频段的价值，从而简化和节约了竞标人的估值工作。详细介绍可参考Ausubel and Baranov（2014）、Cramton（2013）等。
[25] 对超模博弈的详细分析，可参见Milgrom and Roberts（1990）。该研究参考的基础成果包括Topkis（1978）、Bulow et al.（1985）以及Fudenberg and Tirole（1984）等。