第70章 勾股定理

说起勾股定理，想必大家无人不知。但是，用它得出结论，大家尝试过吗？不过，在大家讲述之前，我要讲讲光学几何。我想大家应该都没有听过，但是它是一门实际存在的学科。学习光学几何，需要用到很多工具。据说，有人说这是数学里最闲的人才会进行研究的方向。虽然我并不认可这样的说法，但是光学几何的确对条件有点要求。如果你没有大量的数据库，恐怕都不敢说自己是进行光学几何的研究。虽然如此，但是我的兴趣很浓。光学几何听起来很好，看起来很好。可是，一旦分析就显得困难许多。为了今后可以进行光学几何的研究，我准备多学习图形变换。好，我就开个头。有三角形ABC，在BC上做垂线交BC于点D。于是，就有AB²=AD²+BD²，AC²=AD²+CD²。两式一减就有AB²-AC²=BD²-CD²=BC(BD-CD)。大家是不是觉得这个推论简单，那么你们也来推导出来一个简单的推论吧！核桃笑着说。

我来说个四边形的。有四边形1，它有a、b、c、d四条边和对角线e。其中，e是关于（a，b），(c，d)的对角线。第一，过a和b的交点作e的垂线交它于一点。于是，e就变成了m和n。第二，同样地就有p和q。由勾股定理可知，a²-b²=m²-n²，c²-d²=p²-q²和e=m+n=p+q。联立可得，(a²-b²)/(c²-d²)=(m-n)(p-q)。怎么样？我的推导过程也不复杂吧！埃斯皮诺萨很得意忘形地说。

你这个的确简单，那我来个复杂的。在核桃的基础上，我加一条辅助线。在BD中取一点E，连接AE。根据勾股定理可知，AB²=BD²+AD²，AC²=AD²+CD²。BD=BE+ED，CD=CE-ED。代入相减就有AB²-AC²=（BE+ED）²－(CE-ED)²=(BE-CE+2ED)BC。我的这个推论其实就是核桃的推论的一般化形式。小尼口气有点大，不过推论并没有多么复杂。

你们都是只是从三角形出发，而我却要与圆联系起来。有圆1，它里面有四边形ABCD。其中两条对角线相交于点E，而且它们还互相垂直。根据相交弦定理和勾股定理，有BE.CE=AE.DE，BC=BE+CE。所以，BC²=AB²-AE²+AC²-AE²+2AE.DE=AB²+AC²+2AE(DE-AE)。怎么样，有点复杂吧！那么，我再来一个简单的。有圆o，圆外有一点A与圆相切于BC两点。连接BC。过d点C做AC的垂线交AB的延长线于D。根据切线定理和勾股定理，有AC=BC，AD²=CD²＋AC²，AD=AB＋BD。因此，(AC²＋BD²)=CD²＋AC²。所以，2AC.BD＋BD²=CD²。最后，BC²=2AC.BD。我记得切线定理中好像有这么一条推论的，但是现在就是找不到了。兴许是我记错了。艾丽西亚最后说道。

定理的提出就是为了完善现有理论的，而我们的推导刚好就证明定理之间是相辅相成的。如果大家希望可以有更多的发现，就一定要掌握更多的理论工具。那么，我也不说别的。今天就到此为止。好，散吧。核桃说。