第68章 余弦定理在四边形中的应用

我们知道四边形可以看成是两个三角形的合并，所以三角形的性质可以为我们讨论四边形的性质作基础。三角形中最有用的就是正弦定理和余弦定理，而在四边形中又属余弦定理最能有效地明确相关关系。没错，余弦定理就是我们这次讨论的中心词。据说，通过余弦定理可以推导出一些简单的结论。我来举个例子。相邻两边的平方和减去2倍夹角的余弦值乘以它们的积大于两边之差的平方，小于两边之和的平方。那么，各位就开始吧！核桃如同昨天一般说。

那我就说了！第一，有四边形abcd和对角线e和f。于是，就有e²=a²+d²-2adcos1=b²+c²-2bccos2。f²=a²+b²-2abcos3=c²+d²-2cdcos4。其实这个就是表示一条对角线的两对边的平方和与余弦值是存在对应关系的。上面的等式可以推出一个等式，就是2adcos1-2abcos3=2cdcos4-2bccos2。这条结论稍微简单一点是一条边分别与两条邻边的积的夹角余弦值之差的绝对值等于另一条边的同样变化的值。若e分为m和n两段，f分为p和Q两段。那么，(m²+n²-d²)/mn=(p²+Q²-b²)/pQ。

埃斯皮诺萨，你都把结论说完了。核桃说的结论说明不是任何四个数都可以成为四边形数，它们必须满足一定条件。而这个条件和角有关。埃斯皮诺萨的第一条性质其实是两个三角形有一条是相等时的情况。我曾经想过这种情况下的性质，但是这么复杂的关系式我还是没有想到的。对于复杂的几何关系，证明还是比较明智的。他的第二条结论涉及了四条边和四个角，说明它们互相牵制和影响的纠缠状态。他的第三条结论是关于对角线分线。我对对角线分线了解不多，但是他的结论却很简洁。其实，我一直觉得对角线分线存在一种性质，只是没有想到如此复杂。小尼说道。

通过对角线，我就在想是不是所有的四边形都有外接圆呢？有人说，平行四边形中一个角是60度，另一个角是120度。很明显，这是不符合对角互补的。而圆的内接四边形是满足对角互补的，这就说明有的平行四边形是没有外接圆的。而这是可以通过余弦定理和三角函数推导出来的，具体证明过程我就不描述了。总之，就是有点复杂。由于一个角和它的对角会出现都大于90度的情况，四边形就不符合。据我推测，例外只是出现在平行四边形中。在等腰梯形中，我还没有找到反例。不过，我可以肯定的是每个正方形一定有一个对应的外接圆。但是，我就想问平行四边形为什么可以有例外？因为对角相等，而对角一般情况下又是大于90度的。

核桃见到时间正好就说：数学很抽象，所以我们不能像其他学科的人那样泛泛而谈。事实上，一个公式可以说明很多。我觉得要想有合理的结论，就必须要敢于思考和想象。艾丽西亚的想法是好的，值得肯定。一切都有结束，这次同样不例外。……。