第22章 为什么三角形两边之和要大于第三边，而两边之差要小于第三边？

埃斯皮诺萨在纸上画了一个三角形，并把三边标注为a、b、c。然后他就说：为什么两边之和要大于第三边，而两边之差要小于第三边？

艾丽西亚张口就说：这是因为三个内角的缘故。我们知道在三角形里，内角和边是一一对应的。而内角和又是180度，所以就有这样的情况。

小尼立马就说：不对。一个内角可以是另外两个内角的几倍，而边就不行了。当然不可否认的是，大角对大边。但是内角之间的比例和三边之间的比例是不同的。与三边比例相等的是三边正弦值的比例，而正弦值通常又是很复杂的。所以，不能直接拿来分析。

我觉得和三边的平均值有关。最规则的三角形是全等三角形，它的三边都相等。而三边与平均值的茶是相等的，即都是零。让我们想象一下它，一边伸长一段距离而另一边就会缩短一段距离。这时就有差了。而两条边的伸长和缩短都是一起发生的，而且是相互关联的。那么，两个差是相等的吗？不是。两边之和大于第三边看起来和边均差没有什么关系，其实只要把三边的长度减去平均值就可以了。于是，我们就得到了三个边均差了。同理，第二句也可以进行同样的操作。于是，就变成这样了：两边之间的边均差的和不能小于第三边的边均差，而两边之间的边均差的差不能大于第三边的边均差。

好了，问题换了一个形式。那么，为什么呢？还是要从全等三角形说起。我们让一边伸长，而另一边就要缩短。否则画出来的就不是三角形了。前面不是说过内角和边是一一对应的吗？当一边的长度增加时，它的内角角度就会增加。而其他两边的内角就会相应发生变化，总体就是变小。于是，两边的和就会变小。这时边均差就出现了。

艾丽西亚说：你不过是换了一种表达，却还是没有解释清楚。经过你的启发，我想到了。

如果将一个三角形的一边固定，而在三角形在画一点。然后连线形成一个新的三角形，新的三角形可以看成是旧的三角形的变形。将新的三角形的两边用力向两边伸展，最后三角形会变成一条直线。这时，两边之和等于第三边。而三角形也不再是三角形了，所以两边之和要大于第三边。而两边之差小于第三边其实是第一句话的另外一种表达而已。

埃斯皮诺萨说：大家已经解释得很清楚了，我就没有必要再说什么。

虽然我们不严谨地证明了它，说出了它背后的原因。但是，每件事情都有不同的角度去看待它。我希望大家不要忘记这个话题，让它在你们心里。有朝一日，也许我们就会重新来探讨它。三角形是形状的基础，还有很多规律。在谈论的时候，大家不要拘泥于已有的知识。多从其他角度入手，或许就有新的收获。思维是一件辛苦的事情，大家还是去休息吧！