5.2.2 流体力学控制方程

流体力学遵循三大控制方程：连续性方程、动量方程和能量方程。这三个控制方程分别对应三大基本物理定律：质量守恒定律、牛顿第二定律和热力学第一定律。流体力学的基本方程也从这三大基本定律中推导而来。

（1）连续性方程 连续性方程如下：

式中 ρ——空间某点流体的密度；

t——时间；

——速度向量。

式（5-4）的第一项表示空间某一点处流体质量在单位时间内的增加量，第二项为单位时间内流出该点的质量。对不可压缩流动，第一项为零，连续性方程可简化为

不可压缩流动的连续方程的物理意义是：对于不可压缩流动，流体微团的体积保持不变。

（2）动量方程（Navier-Strokes方程，简称N-S方程） 动量方程是对流动模型应用牛顿第二定律推导得到的：

式中 ——空间某点流体所受到的体积力；

μ——流体动力黏度。

式（5-5）左边第一项为惯性力项，表示流体的动量随时间的变化；右边第一项为体积力项，第二项为压差阻力项，第三和第四项为黏性力项。N-S方程的物理意义是：流体动量的改变由体积力、压差阻力和黏性力三种力产生。

对于不可压缩流动，式（5-5）右边的最后一项可以忽略，N-S方程可简写为

（3）能量方程 能量方程是热力学第一定律在流体中的应用。热力学第一定律指出，体系能量的增加只可能有两种途径，一是从外界吸收热量，一是外界对体系做功。能量方程的表达式为

式中 U——流体微团的内能；

u_i、u_j——沿i、j向的速度分量；

f_b,j ——沿j向的体积力分量；

x_i——坐标分量；

τ_ij——流体微团在作用面法向为i向，作用力方向为j向的切应力；

λ——导热系数；

T——温度；

——微团单位时间接收到的辐射热量。

其中，式（5-6）左边的一项表示流体微团总能量（包括内能和动能）的变化；右边第一项为体积力对流体微团做的功，第二项为表面力（压力和黏性力）对流体微团做的功，第三项为流体微团通过热传导从外界接收的热量，第四项为流体微团通过辐射从外界接收的热量。

连续性方程、动量方程、能量方程中有四个未知数ρ、、p、T，对不可压缩流动，密度ρ已知，三个方程可以求解。对于可压缩方程，还需补充一个完全气体状态方程使方程组封闭：

p=ρRT

式中 p——压强；

R——摩尔气体常数，R=8.31J/（mol·K）。

三大控制方程中，动量方程是核心，因此通常把三个方程组成的方程组统称为N-S方程。牛顿流体的流动现象都遵循这个方程组，流场求解的本质是求解N-S方程。