2.2.1 线性系统的微分方程
线性系统的微分方程模型是描述系统动态特性最常见的一类数学模型，通过对微分方程模型的求解，可以得到系统在时间域中的输出表达式，能够直观地描述系统的性能。
应用机理分析建模法建立控制系统的微分方程模型的一般步骤如下。
1）分析系统的工作原理，将系统划分成若干个环节，确定系统和各环节输入、输出变量。
2）从系统的输入端入手，按照信号传递顺序，根据各环节输入、输出变量间所遵循的物理定律，在不影响系统分析准确性的条件下适当简化，依次列写各环节的动态方程，一般是微分方程（组）。
3）从以上各环节方程的联立方程组中，消去中间变量。
4）将输出量及其各阶导数写在等式左端，输入量及其各阶导数写在等式右端，按降阶排列，并将各项系数化为具有一定物理意义的形式，成为标准化的系统微分方程。
在控制系统的环节划分中，要满足环节的单向性（即环节的输出只与其输入为因果关系），要求环节的输出不受后面连接环节的影响，即环节与环节间无负载效应；如果系统的组成元器件间存在负载效应，就需要将这些有负载效应的元器件组合作为一个环节。
下面举例说明用机理分析建模法建立控制系统微分方程模型的方法。
例2-1RC无源网络如图2-1所示，其中R为电阻，C为电容，试建立以ur(t)为输入，uy(t)为输出的RC网络微分方程。
图2-1 RC无源网络
解：设中间变量为回路电流i(t)，根据基尔霍夫定律可得如下方程组
消去中间变量i(t)，有
如果令RC=T，则式（2-1）又可表示为
式中，T为RC无源网络的时间常数，单位为秒(s)。可见描述图2-1所示RC无源网络动态特性的数学模型为一阶线性微分方程式。
例2-2 弹簧-质量-阻尼系统如图2-2所示，其中F(t)为外作用力，m为物体M的质量，k为弹簧的弹性系数，f是阻尼器的阻尼系数，у(t)为物体的位移，试建立以外作用力F(t)为输入，物体M的位移у(t)为输出的微分方程关系式。
图2-2 弹簧-质量-阻尼系统
解：由系统结构可知，在外作用力F(t)作用下，弹簧与阻尼器具有弹性阻力Fk(t)和黏性摩擦阻力Ff(t)，由牛顿第二定律有
将弹簧产生的与外作用力方向相反、与位移成正比的弹力Fk(t)=-kу(t)，以及阻尼器产生的与外作用力方向相反、与物体运动速度成正比的阻力Ff(t)=-fdу(t)/dt代入上式，消去中间变量Fk(t)、Ff(t)，整理可得二阶线性微分方程
如果令
为时间常数，
为阻尼比，K=1/k为放大系数，则可将式（2-3）标准化为
例2-3 机械转动系统如图2-3所示，其中Mf(t)为输入转矩，J为转动物体的转动惯量，f为摩擦系数，θ(t)为转角，ω(t)为角速度，求输入转矩Mf(t)和输出转角θ(t)、输入转矩Mf(t)和输出转速ω(t)的微分方程。
图2-3 机械转动系统
解：根据牛顿第二定律有
式中，
是角加速度。
例2-4 电枢控制他励直流电动机如图2-4所示，试求以电枢电压ua(t)为输入，电动机转速ω(t)为输出的微分方程关系式。
图2-4 电枢控制他励直流电动机
解：在图2-4中，La、Ra为电动机的等效电枢电感和电枢电阻，ia(t)为电枢电流，Eb(t)为电动机的反电动势，根据电动机的工作原理，由输入端入手，可依次列写微分方程组。由电枢回路电压平衡方程有
电动机产生的反电动势与电动机转速成正比，方向与电枢电压相反，则可得到式（2-8），其中Kb为反电动势系数
电动机产生的转矩与电枢电流成正比，如式（2-9）所示，其中Cm为电动机的转矩系数
电动机转矩将带动外部负载运动，可得转矩平衡方程式，其中Jm为电枢转动惯量，fm为电动机轴上的黏性摩擦系数，ML(t)为负载力矩
联立式（2-7）、式（2-8）、式（2-9）和式（2-10），消去中间变量ia(t)、Eb(t)和Mm(t)，得到下面以电枢电压ua(t)为输入，电动机转速ω(t)为输出的微分方程关系式
由于工程实际应用中电动机的电枢电路电感La较小，通常可忽略不计，并不会影响微分方程对电动机的正确描述，所以上式可降阶简化为一阶微分方程
令Tm=RaJm/(Rafm+KbCm)为电动机的机电时间常数，Km=Cm/(KbCm+Rafm)为电动机的电压转速传递系数，KL=Ra/(Rafm+KbCm)为电动机的力矩转速传递系数，则直流电动机的微分方程可以进一步简化为
若以电动机转角θ(t)为输出，则微分方程关系式为
可见，对于同一系统，选取不同的输出变量，则建立的数学模型表达式也不一样，同样，若输入量是不同的物理量，建立的数学模型表达式也是不一样的，所以在建立控制系统的微分方程关系式时，首先要明确需要关注的输入、输出量。
以上几个不同物理特性的系统，均采用机理分析建模法建立其输入输出之间的数学模型，可见系统的数学模型由其结构、参数及基本运动规律决定。一般情况下，系统微分方程的阶数等于系统中所包含的独立储能元件的个数，微分方程的各项系数则是由系统组成元器件结构参数确定的实常数，则可用如下微分方程式描述控制系统输入输出关系
