二、“美”的基本要素
综上所说，虽然“美”不能抽象定义，但是对于所有美好事物，我们能够发现共同具有的基本要素，或者说基本特点。那就是美好事物各部分的和谐统一性、形式对称性、新奇性，以及其广用性。
首先是和谐统一。和谐即是“真善美的统一”。美的事物对于我们感官，一定是感觉舒服、愉快，看得顺眼、听得顺耳、吃得顺口、用得顺手、言语顺心。如果看得刺眼、听得刺耳、吃得反胃、交谈话不投机就不会和谐，就感到不美好，甚至感到“厌恶”和恶心。
真、善、美都是事物的属性。它们既统一，又有区别。在大多数情况下，真的、善的事物是美好的。假的、恶的事物（人）一定不会真美！这是统一的大局。美好的事物，基本是真的、善的。而在特殊情况下，也许外在表象的“丑”，有其内在的大美。例如文学名著《巴黎圣母院》中的打钟人，虽然面貌丑陋，但其内心善良可爱。也有表面美好的事物，其创作者并非善类。例如南宋大奸臣秦桧和近代汉奸汪精卫的书法作品，几乎没有在社会上流传的余地。其原因就是秦桧是个大家公认的陷害岳飞的“坏人”，在杭州西湖岳庙里，被当做“恶人”的典型，铸成铁人跪在岳飞像前，让世人唾骂；而汪精卫是投降日本军国主义的汉奸。
其次是形式对称，或者说得确切一点是匀称。因为世间万物，很多都具有对称的形式。例如太阳和满月时的月亮是圆形的，而圆（关于任何一条直径）既是轴对称图形，又是中心对称图形，可以说是十全十美。其他如花瓣、昆虫（蝴蝶、蜜蜂等）等自然物体；人的五官、人体构造；人的方位感——上与下、东与西、南与北、前与后、左与右、进与退等也都具有对称意义。对于人们的感官来说，当现实事物与其心理所思所想是一致的、和谐的，人们接触到它们时，就会感到愉悦，有“美”的感受。
再次是新奇。人们对于第一次见到、听到、遇到的新奇事物，总是怀有莫名的兴趣，产生强烈的好奇之心。例如，听到一首新的乐曲、新的美声歌曲演唱，兴趣盎然。读了一首新的意味深长的好诗或美文，心里往往受到真善美的感染并产生感动，从而感到了美的享受。特别是对一些罕见的，甚至是不可思议的事物，更是好奇心旺盛，受到美的震撼。
其实，世间万物，千奇百怪，千变万化。有的甚至是违反人们常识的奇怪现象或是用现有知识无法解释的问题。在众多对称形式中，也有一些不对称、反对称的形式。然而，正是有这些新奇的现象、奇异的事物和无法解决的问题，才引起我们的特别关注和持久探寻的兴趣。在对它们的探究过程中，在解决它们的奇思妙想中，我们感受到了一种特别的新奇美。
例如，古希腊毕达哥拉斯学派，在他们发现“黄金分割”作图法，并借此绘制出五角星图形时，其兴奋心情难以言表，就把五角星作为他们这个学派的标志，学派每个成员都以佩戴五角星标志为荣。
又如，一般人们的常识是——一张纸有两个面，一只虫子要想从纸的一面不穿过平面，绝对到不了另一面。但是“莫比乌斯带”（图1-2-1）的出现，却打破了人们的常识。因为它只有一个面，是单面的。同样，在三维空间图形中那个“克莱因瓶”，不分里外，只有一个表面。这些奇怪的现象和图形，引起过人们极大的研究兴趣。人们认为这些奇怪的图形，具有新奇之美，美到令人感觉不可思议。
图1-2-1 莫比乌斯带
图1-2-2 克莱因瓶
最后是广用。对于人们来说，用途越是广泛，越是需要，必然越是喜欢。而且人们在使用中不断努力地改进、完善、净化，使其更加完美。一件美好的物品或器具，即使觉得再美，如果用途不够广泛，不是人们所必需的，天天看它、听它、玩它、接触它，时间一长，也会产生审美疲劳。如孩子玩一个玩具，开始觉得好玩，几天过去，也就厌倦了，去玩别的新鲜玩具。原因就是它并非无可替代，孩子也不是离不开它。而有的东西则不同，如阳光、空气和水，还有食物，是人们每天必须要用的，须臾不能离开。
又如人们在衣食住行诸多方面，都在不断追求“美化”。一件装饰品的色彩要美，式样要美；食品的味道要美，式样要好看；房屋建筑要美观舒适，室内装饰要美观大气；交通道路要宽敞、绿意盎然，交通工具要快速便捷；等等。总之，要追求城市优美、生态环境优化、生活环境舒适。即使是农村，也要建设“美丽乡村”。
除了以上这些物质需要以外，人们在文化上、精神上也需要“美”，需要思想美、品德美（如“五讲四美”）。那么，在文化上有什么是人们最需要又最离不开的呢？是美术作品吗？是音乐吗？是桥牌吗？是足球吗？——都不是。因为除非以此为生，人们离开它们照样可以生活和工作。人们无须天天看画展，无须天天听音乐，更无须天天玩桥牌、踢足球或打篮球。但是对于我们的生活、工作和办事，一定要凡事做到“心中有数”。这是古今人们的经验总结，是人生真理、生活哲学。
我国著名数学家华罗庚，1958年在《人民日报》上发表文章，标题就是《大哉数学之为用》，以种种事例说明数学之大用。大到国计民生、科技发展，小到每个人的生活、生产、工作和学习等诸多方面，数学都是必不可少的知识、技能和学问。因此，数学应用之广，对社会发展推动之大，也是数学美的重要因素。但数学美，不是能够直观发现的，它的美，是理性之美，是要求人们具有一定的数学欣赏能力才能够发现和欣赏的“美”。这要求人们，特别是在读的学生，不论攻读什么学科、选学什么专业，都需要学好数学。而学好数学的关键之一，便是要认识数学之美。展现数学之大美，正是本书所要追求的目标。