1.6 蒙特卡洛梯度估计
在深度强化学习的模型中，为了能够让模型对价值函数的估计，或者模型对于策略的估计能够使模型获得更多的回报，需要得到最终的回报相对于模型的参数的梯度。由于模型的复杂性，在通常情况下这些梯度的解析求解过程往往非常复杂，甚至不能得到解析解。为了得到相对模型参数的梯度，需要引入蒙特卡洛梯度估计，对模型的输出进行采样，计算采样输出相对参数的梯度，然后用计算得到的梯度期望对参数的真实梯度进行估计。这个过程被称为蒙特卡洛梯度估计（Monte Carlo Gradient Estimation）。为了方便读者后续的理解，这里用一个简单的例子，结合PyTorch来展示一下如何进行蒙特卡洛梯度估计。
首先明确一下我们面对的问题，这里会涉及一些简单的数学公式推导，如果读者觉得比较复杂，可以略过直接看结论。假设策略对应的是一个概率分布p（x|θ），其中θ是策略对应的模型的参数，x是策略输出的随机变量（比如在策略梯度算法里面可以是智能体的一个动作，该动作服从一定的概率分布）。需要研究的是策略输出x的一个函数（比如在策略梯度算法中可以是回报函数），即f（x）的期望对模型参数θ的梯度，如式（1.10）所示。这里假设梯度和积分符号可以交换（涉及的数学需要函数的一致收敛性，这里不严谨地认为可以交换），可以把梯度记号放进积分符号里。由此，得到了式（1.11）的一系列操作，需要注意的一点是，为了得到式（1.11），中间的推导过程利用了自然对数的求导公式和微分链式法则，即∇θlogg（θ）=∇θg（θ）/g（θ）。
从式（1.11）可以得到一个结论，我们需要求的随机变量相关函数f（x）的期望，相对于产生随机变量的参数的梯度，等于随机变量相关函数f（x）和该随机变量的概率密度函数的自然对数的乘积，在该随机变量分布下的期望。
有了上面的公式，我们继续来看蒙特卡洛梯度估计的例子。在示例里，假设策略服从正态分布N（μ，σ2），也就是期望为μ、标准差为σ的正态分布。为简单起见，假设f（x）=x2，也就是非常简单的平方函数（在深度学习中，也可以称为均方误差，Mean Squared Error, MSE）。这是一个少数的可以解析求解其相对参数梯度的函数，把函数代入式（1.10），首先计算式中的积分部分，可以得到f（x）的积分值与期望μ和标准差σ有关，为μ2+σ2。
这样，我们有这个梯度的解析解，期望相对于μ的梯度是2μ，相对于σ的梯度是2σ，如式（1.12）所示。
接下来对这个梯度进行数值上的验证。把正态分布的密度函数代入式（1.11），可以得到式（1.13）。
其实到了式（1.10）已经可以用PyTorch求解了，因为PyTorch有对应的类torch.distributions.normal.Normal来自动进行采样，并且可以利用PyTorch的自动求导法则，计算采样得到的随机变量相对于输入参数的梯度。但是，假如没有PyTorch这么方便的类和内部函数，需要自己手动写相关的代码怎么办？这时需要的是一个变换，这个变换被称为重参数化技巧（Reparameterization Trick）。为了使用这个技巧，我们需要一个标准正态分布产生器N（0，1），也即是一个随机数产生器，能够产生服从期望为0、标准差为1的随机数，这样随机变量x与参数μ和σ的关系如式（1.14）所示。
在式（1.14）中，可以看到变量x的参数从正态分布变成了参数μ和σ，而标准正态分布在每次采样过程中随机产生，整个过程相当于变换了参数，也就是“重参数化”这个名字的来源。这样，我们可以很简单地得到随机变量相对于参数μ和σ的梯度，即1和N（0，1）。同时，因为我们能得到任意函数g（x）相对于x的梯度，接下来只需要应用链式法则，即可得到任意函数g（x）相对于参数μ和σ的梯度，当然这里的g（x）也包含lnp（x|μ，σ）相对于参数μ和σ的梯度（读者可以试着用这个技巧直接去估计∇θEx～pf（x），可以得到同样的结果，只是式（1.11）在强化学习的场景下用得更多，所以用这个技巧去估计式（1.11））。在PyTorch中可以利用rsample方法（如代码1.1所示）使用重参数化技巧进行采样，其中传入的参数是输出随机张量的形状。这里假定读者对PyTorch深度学习框架有一定的了解，如果读者需要初步了解PyTorch，可以参考PyTorch官网上的快速入门教程。
有了以上公式，下面来写一段对应的PyTorch代码验证一下想法。为简单起见，这里（任意的）设μ=1.0，σ=2.0。在笔者的计算机上，这段代码运行的结果是μ的梯度为2.0189，而σ的梯度为4.1002。可以看到，这个值很接近于之前得到的解析解（2μ，2σ）。于是代码1.1从侧面反映了前面推导的公式的正确性。
代码1.1 使用PyTorch进行蒙特卡洛梯度估计。
最后，作为前面推导式（1.11）的一个补充，这里推导一个公式，如式（1.15），这个公式在后续的策略梯度里会有应用。这个可以看作式（1.11）的一个逆向变换，意思是概率分布的自然对数的期望相对于概率分布的参数的梯度为0。在强化学习中，这个结论意味着，当回报和模型的参数无关时（和模型输出的随机变量无关），参数的策略梯度为0，也就意味着无论如何调整模型的参数，对智能体的回报都没有影响。有了式（1.15），就很自然地得到这个结论，也和日常经验相符合。读者也可以仿照代码1.1，写一段代码（令xs_val=1）来验证这个结论。
