2.2.4　齐次坐标系

在前面讨论线性变换的时候，我们没有提到平移。什么是平移？以二维平面为例，如图2-2-10所示，向量就是向量平移的结果，即连接两个图形的对应点的直线平行，则两个图形是平移变换。很显然，这种平移不是线性变换——向量所在直线并不是平面空间的子空间。尽管如此，我们可以用矩阵加法表示图2-2-10所示的平移变换：

既然平移不是线性变换，当然就不能用矩阵乘法的形式表示。然而在计算机图形学中，旋转、缩放、平移又是三种非常经典且常用的图形变换，旋转、缩放用矩阵乘法形式表示，偏偏平移不能，这从形式上看不美，且不便于计算和操作。为了解决这个问题，数学家们引入了齐次坐标系，这是一种与笛卡儿坐标系完全不同的坐标系形式，还是以平面空间为例，在笛卡儿坐标系中，每个点可以用的形式表示，在齐次坐标系中，则变成了，其中。通常，可以设（关于齐次坐标系的详细内容，读者可以参考计算机图形学有关资料）。

利用齐次坐标系，图2-2-10所示的平移就可以写成：

这样，平移也可以用矩阵乘法形式表示了。还是注意，这本质上不是线性变换，只不过创建齐次坐标系之后，可以使用线性变换的形式。

对于二维向量空间的齐次坐标系，以下几个矩阵分别是实现了齐次坐标中的旋转、伸缩、平移变换（如图2-2-11所示）：

●　旋转：，表示旋转的角度

●　伸缩：，表示伸缩的倍数

●　平移：，，分别为、移动的长度

对于某个向量分别实施伸缩、旋转、平移变换，则可写成：

对于图2-2-11中的，如果要让它连续完成“伸缩→旋转→平移”变换之后，最后变成，用实现：

设，则：

于是：

即：。

如前所述，缩放、旋转是线性变换，但平移不是。如果将线性变换和平移综合起来，统称这类变换为仿射变换（Affine Transformation）。常见的仿射变换，除了缩放、旋转和平移之外，还包括反射和剪切。

以上以手工计算的方式演示了图形变换的基本原理，在程序中，我们会使用一些库和模块实现各种图形变换。下面以目前常用的OpenCV为例，演示图形的平移、缩放和旋转变换。

1.平移

输出图像：

在上述程序中，M = np.float32([[1,0,500],[0,1,1000]])是平移变换矩阵，即，只是在程序中省略了矩阵的最后一行。构造的矩阵M中，，这就是分别在x轴和y轴方向移动距离（对照输出图像）。

OpenCV中的函数warpAffine()实现了图像按照平移矩阵的仿射变换，其函数形式是warpAffine (src,M,dsize)，主要参数的含义为：

●　src：需要变换的图像对象，即上述程序中的img；

●　M：变换矩阵，上述程序中即为定义的平移变换矩阵M；

●　dsize：变换后输出图像的大小。程序中以(rows,cols)表示输入图像的大小。

2.缩放

仿照实现平移变换的程序，构造缩放矩阵，依然使用warpAffine()函数实现变换。

输出图像：

在OpenCV中，还提供了专门实现缩放操作的函数cv2.resize()，如果实现以上输出效果，将上述程序中的res = cv2.warpAffine(img,C,(rows//2,cols//2))替换为res2 = cv2.resize(img,(rows//2,cols//2))即可，其中的(rows//2,cols//2)为缩放后的图像大小。

3.旋转

虽然可以按照旋转变换的矩阵形式，比如旋转角度，构建旋转矩阵，再使用warpAffine()函数实现变换，但是，这样做的结果往往不如人意。

输出图像：

从输出结果中可以看出，上述旋转是以原始图像的坐标原点（注意：计算机图形中坐标原点在左上角）为旋转中心，旋转了45°。为了避免此种情况，可以使用OpenCV中的专有函数构造旋转变换矩阵，如以下程序所示。

输出图像：

函数getRotationMatrix2D(center,angle,scale)可以设置旋转中心（center）、旋转角度（angle）和缩放比例（scale）。

以上简要介绍了OpenCV中的实现旋转、缩放、平移三种变换的函数，除了这三种变换之外，OpenCV还支持其他形式的变换，比如对应点变换（用函数cv2.getAffineTransform 构造变换矩阵）等。读者若对计算机视觉或计算机图形学有兴趣，不妨深入研习OpenCV的有关应用。

如果用深度学习框架训练模型，则往往需要大量的数据，但是很多真实业务中，数据量并不充足，此时常常需要采取一些方式扩充数据。对于图像数据而言，比较简单的数据扩充方式包括图像水平翻转、尺度变换、旋转等。