2.3.6 动量方程

对流动液体作用在限制其流动的固体壁面的总作用力，利用动量定理求解较为方便。根据理论力学中的动量定理：作用在物体上的全部外力的矢量和等于物体在外力作用方向上的动量变化率，即

将m=ρV和V/Δt=q代入上式，考虑到以平均流速代替实际流速会产生误差，因此引入动量修正系数β，则上式可写成如下形式的动量方程：

式（2-24）即流动液体的动量方程，式中₁β、β₂为动量修正系数，紊流时，β=1；层流时，β=4/3。

由于式（2-24）为矢量方程，因此使用时应根据具体情况将式中的各个矢量分解为指定方向的投影值，再列出该方向上的动量方程。例如，在x轴方向上的动量方程可写成如下形式：

F_x=ρq(β₂v_2x-β₁v_1x)

实际工程中，通常需要求出液流对通道固体壁面的作用力，即动量方程中∑F的反作用力F′，称之为稳态液动力。在x轴方向上的稳态液动力为

【例2-2】 如图2-12所示，已知喷嘴挡板式伺服阀中的工作介质为液压油，其密度ρ=900kg/m3。若中间紊流室直径d₁=4×10-3m，喷嘴直径d₂=6×10-4m，流量q=π×5×10-6m3/s，动能修正系数与动量修正系数均取为1。试求：

（1）不计损失时，系统向该伺服阀提供的压力p₁为多少？

（2）液压油作用于挡板上的作用力为多少？

解：（1）根据连续性方程，有

因为液压油流到大气中，所以p₂=0，根据伯努利方程[式（2-23）]，在不计损失的情况下，可得

（2）选取喷嘴与挡板之间的液体为研究对象列出其动量方程，由式（2-24）得

p₂A-F=ρq(0-v₂)=-ρqv₂

因为p₂=0（水平方向相对压力），所以

F=ρqv₂=900×π×5×10-6×55.56N=0.79N

式中，F为挡板对液压油的作用力，液压油对挡板的作用力为其反作用力（大小相等，方向相反）。即液压油作用于挡板上的作用力大小为0.79N，方向向右