4.2.1 求解脑内电活动源的数值计算模型

广义而言，如同其他领域的逆问题一样，脑电逆问题中已知的只是某一方程组的解，而对产生这个解函数的源函数分布及方程的算子并不了解，它不可避免地遇到了理论上的几个主要困难。

首先，在数学上逆问题不具备唯一解。Helmholz早在1853年就证明了可以有无数关于体内源分布的解对应于给定的体外场分布。因此，体内的电流分布不能由外部电磁场唯一确定。例如，在球对称导体媒质中，由于径向电流偶极子并不产生外部磁场，所以逆问题的解答中总可以附加上这样的电流偶极子而不影响正问题的结果。为此必须在求解逆问题时，对源的结构及解空间做出限制与约束。

其次，无论选择哪种数值计算方法求解脑电产生源，均不能改变其解的病态特性，即当问题涉及的参数与数据即使存在很小的误差或干扰时（这是难免的），也会引起解的不稳定性，甚至会出现大幅度的剧烈振荡。参数越多，其病态特性越严重。病态特性需要通过正则化技术解决，附加各种时空约束条件，使病态问题适定化，得到在一定范围内合理、稳定的唯一解。一般采用的技术有统计正则化方法、截断QR法、主成分分析（PCA）、奇异值分解方法（SVD）、Gram-Schmidt正交化方法、叠加技术、Tikhonov正则化方法、广义特征向量法（GES），以及Olson等提出的修正的广义特征向量法（tGES）。这几种方法都是为了在求解逆问题时，增加适当的约束条件，即在求解过程中加上时间和空间上的约束，或是对传递函数矩阵的逆算子进行某种修正，或是两者的组合，以获得方程的近似解，这其中一般都存在优化问题。Robert等在1995年详细地研究了使用各种正则化方法计算逆解的精度。

另外，还有测量数据的不完备性也将导致脑电源求解问题的困难。1994年Amir研究了利用诱发电位（EP）进行源定位时解的物理唯一性问题，然而在他的工作中假设已知头皮所有位置的全部电极，而实际上由于测量到的电场信号只是整个场的一部分，再加上观测误差和随机干扰，使得对观测值的解释不可避免地出现多解性，即有多种可能的场源分布与观测场在一定的误差范围内相对应。因此，只有头皮电位测量数据而无其他先验知识，不能唯一合理地确定源。为解决上述问题，必须为逆问题建立适当的源模型和头的形态模型。

根据产生EEG的电活动特性，通常将电流偶极子作为脑电信号源的模型。电流偶极子是两个相距很近的带有等量异号电量的点电荷，且其电量随时间而变化（相当于两点之间有电流）。用电流偶极子作为源的模型无论是从数学上的容易处理性方面、物理上的合理性方面，还是从神经电生理的角度考虑都是有效的。该模型很好地模拟了一个局域范围内脑神经活动时的突触后电位的发生过程，偶极矩就是局域电流与流动方向上电流线度的乘积。对于无法用单一偶极子等效的更加复杂的电活动分布，可以考虑采用多个偶极子集合或同一源点的多极子（四极子、八极子等）来模型化。

至于头模型，一开始广泛采用的是球头模型，这种简化模型的主要优点是可以通过解析法求解。最简单、最基本的是均匀介质球模型，即将头看作各向同性导电均匀的圆形介质球。为了减小与实际真实头模型的差别，考虑头部各层（大脑、脑脊液、头骨和头皮）导电不均匀性的影响，又提出了多层同心球模型来研究脑电逆问题。另外，还提出了非同心球、椭球模型。由于球模型与头复杂的实际结构形状相比都存在很大差异，这就不可避免地带来求逆误差。因此CT和MRI出现后逐渐趋向于采用真实头模型，即考虑头脑的实际几何形状、结构及尺寸。这种模型通常利用有限差分法（FDM）、边界元法（BEM）、有限元法（FEM），以及近年来在流体力学中发展起来的有限体元法（FVM）来进行求解。采用BEM的优点是将求解空间三维问题转化为边界面上的二维问题，且采用三角形单元剖分方便，容易在计算机上自动完成。它要求不同介质之间的分界面是闭合的，适用于脑电场积分方程形式，但此方法却很难解决局部容积导体的异向性。而FEM对异向性及脑壳中的空洞的处理较为方便，但其多面体元素的划分却相当麻烦。研究表明，BEM和FEM的混合算法可能比任意单一方法要更具威力。FVM的优势在于能够很好地处理生物医学问题中经常遇到的相邻域导电性急剧变化的情况。正是由于不同组织间的导电率相差过大，才限制了BEM的计算精度。与FEM一样，FVM可以灵活地处理具有复杂形状的几何体，且其需要的计算资源要少得多，因为它采用结构化网格产生一个有序的实数矩阵，此矩阵一般比FEM得到的矩阵更稀疏，所以FVM可以采用更细致的剖分，取得更好的空间分辨率。总之，构造具有详细解剖结构和详细电生理信息的真实头模型是今后重点要解决的问题，像颅骨的厚度、鼻眼等处的孔洞、各部位的电导率、白质和皮层的各向异性（如白质沿轴突方向的导电能力比沿横断面方向要好十倍）等都是需要考虑的。但在实际应用中，可针对具体情况，灵活地采取不同的近似方案，在保证计算精度的前提下，尽可能降低计算的复杂度。

长期以来，人们利用各种可能的数学理论研究脑电逆问题的数值求解方法，以期获得高精度、稳定、合理的解。概括地讲，其研究大致可以分为两类方法，一类是基于等效偶极子模型的参数定位法，另一类是基于电流分布模型的图像重建法。