3.3.2 定时恢复
在数字传输系统中，由于发射机和接收机采样点位置的不同，当接收机的采样点不能调整到最佳采样时刻时，会带来一定的码间干扰。另外，由于收发机采用了独立的时钟源进行采样，时钟的频率存在一定的误差，当误差随时间累计会对系统性能带来严重的影响，因此需要对采样点进行不断的修正，以消除采样误差，该过程称为定时恢复。接收端实际采样时刻与最佳采样时刻之间的时间差称为定时误差，如图3.5所示。
图3.5 定时误差示意图
对于 TDMA 系统，不同的时隙（突发）对应着不同的用户。对于每条载波上的 TDMA 突发，由于不同突发之间时间上的不连续性以及不同突发来自不同的用户，当前定时信息无法辅助后续接收处理。因此，对于TDMA系统，定时恢复以突发为基本单位，逐突发进行。基于TDMA系统的特点，由于突发持续时间短、采样数据样本少，尤其对于低速载波，一般不采用连续跟踪方式下的闭环反馈算法，而是采用可快速入锁、对锁相精度和锁相时间都具有较好性能的开环定时恢复算法。对于开环算法，有下述两种实现方式：
①基于高采样率的定时误差估计及采样点抽取算法；
②基于低采样率的定时误差估计及基于内插的定时恢复算法。
在 TDMA 系统中，定时恢复单元主要由定时误差估计、定时恢复等模块组成，如图3.6所示。
图3.6 定时恢复单元组成框图
3.3.2.1 定时误差估计
基于插值运算的前向开环定时恢复算法必须得到精确的定时误差估计值，然后才能利用插值滤波器完成信号最佳采样点的恢复。对于 TDMA 系统，为简化处理的难度，初始捕获一般先于载波同步完成，因此要求定时误差的估计算法应该对载波相位不敏感，即不需要进行严格的载波同步就能准确完成定时误差估计。
为方便描述下面给出的各种定时误差估计算法，假定接收信号样值的表达式：
式中，k表示第k个采样点，M 表示采样倍数，T表示信号符号周期，g（.）表示成形滤波器响应，θ（.）表示载波相位差，ε表示定时误差。
1.最大平均功率算法
最大平均功率算法是基于最大平均功率对应最佳采样时刻这一原理的，设第k时刻的采样信号序列的平均功率为：
当观测区间足够长时，可在L个符号周期内计算平均功率分布，其结果为：
最大平均功率对应最佳采样时刻，即有定时误差估计：
式中， kopt表示平均功率取最大值的时刻。
2.Gardner定时误差估计算法
Gardner 定时误差估计算法[4]是 F.M.Gardner 提出的一种不需要进行载波同步的定时误差估计算法，该算法要求2倍采样率即可。其误差估计表达式为：
式中，r（k）表示第k个符号采样点，r（k-1/2）表示第k个符号和第（k-1）个符号中间的采样点。此式中用到了前后两个符号的采样点，以及两个符号之间的中间采样点，即误差检测器输入数据的速率是符号速率的两倍。该算法实现简单，在每个码元周期就可以估计一次定时误差，如图3.7所示。
图3.7 Gardner定时误差估计算法采样示意图
式（3-9）为定时误差提取公式，可以证明该公式与载波同步无关[5]。
3.平方定时误差估计算法
平方定时误差估计算法的基本原理[6]是，基带信号采样值模平方的和序列频谱分量中含有采样时间信息，采样点的定时误差在频域可以表示为该频谱的相位旋转，通过对信号采样值模平方和序列进行DFT得到该频谱分量的相位，进而求取定时误差。由于是通过信号采样值模平方和序列频谱分量的相位求得的定时误差，所以平方定时误差估计算法对信号的幅度不敏感，可适用于恒包络和变幅调制信号。平方定时误差估计算法实现框图如图3.8所示。
图3.8 平方定时误差估计算法实现框图
通过取模和平方模块后得到
，除去了信号的相位调制信息和载波信息，可以先于载波同步实现。
设采样时钟相偏在l个码元周期内变化很小，对每个码元都进行N倍的采样，就可以截取一段长度为 N×l的采样序列，以观察时间为 1Ts，对xk序列做l× N点DFT变换，得到其频域信号X（k）：
因此，位于1/Ts谱分量的傅氏变换（对应的k值为l）为：
由此得到1/Ts谱分量的傅里叶变换序列Xm：
综上可得到对应的位定时误差估计算法为：
式中，arg[.]表示求相角。
在上述平方滤波定时估计算法基础上，还开发出两种对载波相位不敏感的定时误差估计算法：基于符号样值绝对值的 AVN 算法和基于符号样值模平方对数的LOGN算法。
AVN算法是类比上述平方滤波定时估计得到的，其定时误差估计表达式为：
LOGN 算法是通过去除似然函数的近似表达式中随机相位以及随机相位调制符号的影响得到的，其定时误差估计表达式为：
可以看到上述算法均对载波相位不敏感，均可先于载波同步实现。但是还必须注意到：最大平均功率算法，其定时估计精度与过采样率M 有直接的关系，过采样足够大时才能提供一定精度，而过采样率越高快速捕获所需采用的并行处理支路越多，电路也越复杂，同时考虑到该算法要求足够长的观测区间，所以该算法不适合突发通信的初始捕获；Gardner 算法，每符号周期只需两点采样，其中的一个样值可以用于符号判决，且以符号速率输出误差信号，虽然可以独立于载波同步实现，但是由于该算法是针对符号同步样值定时误差估计应用的，所以更适合采用捕获和跟踪形式来实现定时恢复的连续通信；平方滤波定时估计算法，4倍采样速率下e-j2πk/M就变成了±1或者±j，乘法变成了简单的加减，实现简单，适于突发通信的简单快速定时误差估计；相较于平方滤波定时估计算法，AVN 算法或 LOGN 算法要么性能差一些，要么实现复杂度较高，而且在算法的推导过程中都假定观测区间很长。要想实现在2倍采样率下的定时恢复，一种方法是对平方滤波算法进行改进；另一种方法是通过使用内插滤波器，将信号的低采样率序列内插成高采样率序列，利用平方定时误差估计算法来完成定时恢复。经综合考虑，工程中较常采用平方滤波算法作为短突发解调的定时误差估计算法。
3.3.2.2 时钟恢复
基于数据内插的自同步技术可以采用固定的采样时钟，同步实现主要由数据处理单元完成。这种方法的优点是可以通过全数字方法实现，缺点是在定时恢复过程中无法产生均匀的符号时钟。基于数据内插的定时恢复原理框图如图3.9所示。
图3.9 基于数据内插的定时恢复原理框图
图中虚线部分是反馈型的内插定时模块，它由内插滤波器、定时误差检测和控制器三部分组成。定时误差检测模块用来估计定时误差；控制器根据定时误差值计算内插滤波器的系数；内插滤波器利用采样数据完成插值计算。
最早的内插滤波器被称为采样速率变换器，是通过在相邻采样点之间插入若干零点来得到高速率信号。而随着现代通信技术的发展，内插滤波器已经广泛应用于各种数字通信系统中，内插算法也已经形成了一个比较完整的理论体系，下面主要分析内插滤波器的原理，并介绍一些常用的内插算法。
为了分析内插滤波器原理，Floyd M.Gardner给出了内插滤波器的速率转换模型[7]，该模型如图3.10所示。
图3.10 内插滤波器的速率转换模型
从原理上来说，为了通过内插改变一个数字信号的采样率而保持它的重构信号不变，应该先对它进行 D/A 变换和低通滤波，使之变为模拟信号后再以新的采样速率进行 A/D 采样。但是实际实现时不必如此复杂，既然原数字信号x（mTs）和内插之后得到的数字信号y（mTi）都对应于同一个连续信号x（t），那么二者之间必然存在一种直接映射关系，利用这个映射关系可使上述过程大大简化[8]。
从图3.10可以看出，内插滤波器输入信号与输出信号的关系为：
式中， hI（t）表示模拟内插滤波器的脉冲响应，Ti表示目标采样周期，Ts表示原采样周期。
定义基本指针：
INT（.）表示取整。定义分数间隔：
则有：
将式（3-18）、式（3-19）、式（3-20）代入式（3-17），可得：
如果内插滤波器是有限冲击响应长度（FIR）的，设它在两种采样率下的长度分别为 N1和 N2，那么用于计算内插的数字滤波器的长度为N=N2-N1+1。
式（3-21）为全数字接收机中内插滤波器的基本公式，它指出了数字插值滤波器的实现途径，即尽管图3.10的模型包括了一个假想的DAC和模拟滤波器，但只要以下三个条件己知，插值滤波器完全可以用全数字的方法构建：
①输入样值序列x（mTs）；
②模拟内插滤波器的脉冲响应hI（t）；
③基本指针mk和分数间隔μk。
另外，由式（3-21）可见，基本指针mk和分数间隔μk控制着内插估值过程。其中，基本指针mk决定了用来计算第 k 个内插值的 N 个信号样值；分数间隔μk指示了内插估值点，并决定了用来计算内插值的N个插值滤波器脉冲响应样值。信号样值点和内插估值点之间的关系示意图如图3.11所示。
图3.11 信号样值点和内插估值点之间的关系示意图
由图3.11可见，由于采样时钟和发送端的符号时钟存在频率和相位上的偏差，因此经过内插恢复出的信息码流与采样时钟没有严格的时间对齐关系，因而存在一定的前后抖动。在对这种抖动要求严格的场合，如数字中继传输，需要采取进一步的同步措施。而对大多数终端用户来说，它既是数据接收者同时也是数据的最终用户，这种抖动并不影响信息的准确接收。
常用且易于实现的内插滤波器有线性内插、立方拉格朗日内插及带参数α的四点分段平方内插三种。这三种内插滤波器的内插系数如表3.2所示，实现复杂度的对比如表3.3所示。
表3.2 三种内插滤波器的内插系数
表3.3 三种内插滤波器的实现复杂度对比
从表3.3中可以看出，实现复杂度方面线性内插实现最为简单，而立方拉格朗日内插最为复杂。一般情况下，线性内插是可以符合要求的，如果在实现复杂度、时域、频域性能等某方面有要求时，可以根据实际工程需要进行选取。