3.3　弦理论

弦理论是一个涉及面十分广的复杂理论，针对这一理论已经发展出了众多研究方法，并得出了许多重要研究成果。下面就弦理论最简单的情况进行介绍。

3.3.1　无质量点粒子

无质量经典点粒子在闵氏空间中运动，其作用量为

式中，是闵氏度规，其指标μ,v在D-维时空中取值，取值为0,1,…,(D-1)；τ是沿轨迹的任意参数；是粒子的位置函数；是沿粒子世界线的一种“度规”，其作用是确保τ再参量化时作用量S不变。实际上，式（3.3.1）在变换下不变。规范不变性可用于选择规范e=1。这时，有

由式（3.3.2）推导出来的变分方程是，当然其解是闵氏空间中的直线。闵氏空间中的任意直线是由式（3.3.1）推导出来的运动方程的解。首先考虑规范不变性方程，然后选择规范e=1。在电磁学中，把具有规范条件A0=0的矢量势之时间分量设为零是可以的，但需要记住高斯定律。方程告诉我们，规范不变量

必须为0。于是方程的解正是闵氏空间中的类光测地线，而式（3.3.1）确实是无质量经典点粒子的作用量。由式（3.3.2）推导出来的变分方程并不意味着T=0，但它表明T是一个守恒量，即dT/dτ=0。于是，从库仑规范作用量的观点来看，T=0是对初始数据的约束。如果我们在τ=0时施加这个约束，它将自动保留所有的τ。

根据由表示的正则动量量子化可得。这表明T变为洛伦兹不变波动算符，该算符叫作达朗贝尔算符，记作□。一个量子态就是时空坐标的一个函数，而任一函数在数学上存在，但不一定有物理意义。在经典理论中，仅允许T=0的轨道存在；在量子力学中，要求的物态是被T湮灭的态。因为T是波动算符，所以约束Tϕ=0恰是无质量克莱因-戈登方程□ϕ=0。

由此可知，无质量克莱因-戈登方程是由式（3.3.1）推导出的量子系统的薛定谔方程。该方程的庞加莱不变性也是明显的结果，该结果基于如下事实：式（3.3.1）在庞加莱变换下是协变的，其中a是一个洛伦兹变换矩阵，b是恒矢量。时间导数没有出现在薛定谔方程中，这是量子系统的典型行为。该系统在时间坐标的再参量化之下具有对称性，类似的行为在自由弦量子理论中，以及对广义相对论量子化的尝试中出现过。

下面简单介绍一下庞加莱变换。庞加莱变换源于庞加莱代数，它在狭义相对论中用于对闵氏空间的性质进行数学描述。众所周知，闵氏空间是平直空间，其基本性质是时空平移不变性和洛伦兹旋转不变性。因此，庞加莱代数是由时空平移算符和洛伦兹旋转算符组成的代数。

坐标的洛伦兹变换为

4-维闵氏空间的线元为

故有

由洛伦兹变换构成的群，即洛伦兹变换群，将时空分成如下4个互不连通的区域。

①。

②。

③。

④。

通常所说的洛伦兹变换都是固有正则洛伦兹变换。例如，对于I方向上惯性系之间相对速度为V的平动有

式中，。相应的洛伦兹变换矩阵为

由于。时间反演变换和显然属于。

4-维空间中包含3个转动参数和3个平动参数，所以共有6个参数。设有无穷小洛伦兹变换，即

无穷小参数为，则

故二阶反对称张量有6个独立参量。无穷小洛伦兹坐标为

这一变换可由厄米算符，即

来实现：

式中，是洛伦兹变换生成元，与6个独立参量相对应也有6个独立的。它们满足下述对易关系：

该对易关系被称为SO(3,1)代数，故洛伦兹群又称为SO(3,1)群。SO(3,1)群的生成元表示为

只要具有厄米性，指标μ和v反对称，就满足与同样的对易关系，当然也满足SO(3,1)代数。生成元也有6个独立参量，其中之间的对易关系构成SO(3,1)代数的子代数。

引入一个新的量：

不难证明：

这恰是转动角动量算符的对易关系，反映空间转动对称性。存在以下关系式和对易关系，读者可自行证明。

①。

②。

③定义3个平动生成元，有，i=1,2,3。

④。

⑤。

可以用数组(n,m)表示SO(3,1)群的空间分类。A(0,0)：标量场，维数为1。B(1/2,0)：自旋1/2的左手征旋量场，维数为2。C(0,1/2)：右手征旋量场，维数为2。

总之，庞加莱变换=洛伦兹变换+时空平移变换。坐标的庞加莱变换为

无穷小变换可以写为

式中，是4-维动量算符，。庞加莱变换的全体参数构成庞加莱群，庞加莱群的参数共有10个，包括6个洛伦兹变换参数和4个时空平移变换参数。庞加莱变换生成元的个数=6个洛伦兹变换生成元+4个时空平移变换生成元。它们都满足庞加莱代数：

现在我们对具有时空对称性的拉格朗日作用量更感兴趣：

这一作用量描述点粒子在具有坐标为的超空间传播，其中是反对易坐标，它在洛伦兹变换之下变换为自旋量，而是伽马矩阵。

式（3.3.11）的量子化有些微妙，将在第5章讨论。现在简单地说一下，量子理论将涉及无质量克莱因-戈登方程的超对称展开，该方程是在寻找玻色点粒子时得到的。在10-维情况中，与被取作单一的马约拉纳-外尔旋量一起，由式（3.3.11）推导出来的量子系统是自旋为(1,1/2)的场的无质量多重态，这种多重态包括“光子”和正手征自旋场ψ，它遵守无质量麦克斯韦方程和狄拉克方程：

若在10-维时空中取一对关于θ的马约拉纳-外尔旋量，则由式（3.3.11）推导出来的量子理论给出了超爱因斯坦方程线性近似的实例，即与10-维超引力近似的实例。不同寻常的是，在点粒子量子化的过程中，出现了描述玻色子的克莱因-戈登方程；在超对称情况中，出现了超麦克斯韦方程和超爱因斯坦方程。这些方程通常被视为经典方程。更重要的是，当它们是线性方程时，自然具有线性推广性，这是我们真正感兴趣的。无质量克莱因-戈登方程自然推广为□ϕ+λφ3=0。麦克斯韦方程及线性化的爱因斯坦方程都具有非常自然的推广性，分别是杨-米尔斯理论和广义相对论的推广。

无质量点粒子的理论，即超对称理论，给出了麦克斯韦方程和线性化的爱因斯坦方程的量子化，并且是对非线性杨-米尔斯方程和爱因斯坦方程的推广。

3.3.2　弦的概述

弦是一维物体，是一条数学曲线，可分为开弦和闭弦。开弦有端点，闭弦从拓扑观点来看是圆。开弦，传统上由坐标σ描述，取；闭弦，也取。为了描述弦的运动，引入类时参数τ。对于坐在位置σ处随着弦运动的观察者来说，τ是时间坐标。弦在时空中传播，扫出一个世界片（见图3.3），该世界片是点粒子世界线的推广。世界片由描述，表示在给定值σ和τ时弦的位置。有时将σ和τ结合起来，称为2-维矢量，而d2σ=dσdτ。

在南部阳一郎和Goto最初倡导的形式中，弦的作用量正比于世界片面积：

自由弦经典方程的解是世界片的最小面积，这是下述事实的推广：点粒子的轨道是测地线或最小长度的曲线。由于作用量具有高度非线性，并且存在平方根，所以很难由式（3.3.13）导出运动方程。我们能够写出一个等效且更方便的作用量形式：

式中，是的逆矩阵，而是引入的附加于的新变量，是的行列式绝对值的平方根。由于的导数不出现在式（3.3.15）中，所以运动方程是一个约束方程，约束可被消除或积分消除，即可恢复为式（3.3.13）。式（3.3.15）描述了弦在任何维数的闵氏空间中的传播。

在弦世界片的广义坐标变换下，不论是式（3.3.13）还是式（3.3.15）都不变。在式（3.3.15）中，世界片度规应该根据度规张量的标准变换定律进行变换。从生活在1-维弦上的蚂蚁的观点看来，式（3.3.13）和式（3.3.15）描述了广义协变的(1+1)-维时空中的场理论。在(1+1)-维场理论中，作为标量场输入，它们在26-维庞加莱变换下如矢量一样变换，但在世界片的再参量化之下像标量一样变化。两式中的2-维作用量及其超对称推广描述了唯一的广义协变场理论。欲对式（3.3.13）添加一个(1+1)-维的爱因斯坦项（其中R是(1+1)-维曲率标量），这无关紧要，因为是(1+1)-维的总散度，精确地说是一个拓扑不变量。

3.3.3　约束方程

世界片再参量化不变性对求解由式（3.3.15）得出的最小曲面方程至关重要。2×2的对称张量有3个独立分量。2-维时空中的广义坐标变换依赖于2个自由函数，即新坐标。通过变换，hαβ的3个独立分量中的任意两个可被消除。标准而又方便的选择是令，其中是平直世界片度规，是未知的共形因子。至少局域地做这一选择总是可能的。

现在我们遇到一个意外惊喜。在共形规范中，共形因子消失了，因为在2-维时空中正比于，而正比于。因此，共形规范可简化为自由场作用量：

由式（3.3.16）推导出的运动方程是线性波动方程：

然而，恰如点粒子的情形，由规范库仑作用量推导出的波动方程必须有某些约束方程作为补充。约束方程是。在(1+1)-维量子场理论中，通常定义能量-动量张量为

于是，约束方程就是。在光锥世界片坐标中，能量-动量张量取最简单的形式，即。不同于，按照写出，而=0，其中是2-维能量-动量张量的迹，它等于零的事实表明式（3.3.16）的无质量标量场理论在(1+1)-维时空中是保角不变的。这一结果产生了深远影响。

经典的约束方程容易处理，波动方程的通解加约束方程并不很困难。在量子力学中，共形规范要求引入幽灵。若不计约束，这就是量子化了的具有式（3.3.16）的拉格朗日自由场理论。约束方程意味着物态必须遵守。为了理解这个方程的意义，要计算的等量τ变换关系，结果是

式中，D是时空维数。对有类似的方程，而。

式（3.3.19）等号右边的第一项在经典理论中取泊松括号时将会出现，第二项正比于。为了计算系数(26-D)，需要引入适当的幽灵。式（3.3.19）表明，约束方程仅在26-维时空中有意义。对一个物态，遵守，故式（3.3.19）等号左边为0；等号右边第一项为0，第二项也应该为0。这时D必须为26。因此，开弦的维尼齐亚诺模型，以及闭弦的夏皮罗-维拉宿模型仅在26-维时空中有意义。

对于玻色弦，其基态是超光子。在闭弦的情况下，超光子的质量平方为（T=1/π）。这个结果通过对约束方程进行详细研究可得到。第一激发态能级由自旋为2的无质量粒子组成，我们将其确定为引力子。

约束方程是线性的，这些方程相当于弦的薛定谔方程。但在点粒子情况下，要做的“正确”的事情是寻找薛定谔方程的非线性推广，以及超对称杨-米尔斯方程和爱因斯坦方程。那么对于弦，我们应该做同样的事情吗？应该探索一个非线性理论来限制弦的无限塔吗？存在一个推广了的与弦相联系的杨-米尔斯理论和广义相对论吗？

这样的推广已经构建起来了。杨-米尔斯理论和广义相对论的局域规范不变性在基础物理和数学中存在令人满意的基础：局域对称、联络和曲率、矢量束、黎曼几何。事实上，爱因斯坦是先确定了引力的相对性原理这一基本概念，然后才创立了广义相对论的，而弦理论是关于引力的另一种形式。对此我们已经了解了很多，都表示在图3.4中。