引言
任何诗人，即便是最讨厌数学的诗人，为了写出亚历山大式的诗行也不得不从1数到12。
——雷蒙·凯诺（Raymond Quéneau）
在我第一次坐下来写这本书时，我遇到了一个有些荒唐的算术问题：如果这本书预计有250页，一共9个章节，那么每章有几页？认真思考以后，我得出了结论：每章略少于30页。我花了大约5秒的时间，对于人类来说，这样的计算速度并不算慢，然而这却远远比不上任何一台电子计算器的速度。计算器不仅反应迅速，而且它得出的结果精确到了小数点后10位：27.777 777 777 8！
为什么我们的心算能力远不如计算器的计算能力？我们是如何做到不通过精确计算就得出“略少于30页”这样接近的值的？这一过程甚至连最好的电子计算器都做不到。解答这些令人困扰的问题就是本书的主要目的，在此过程中，我们会面临更多具有挑战性的谜题：
· 为什么经过了多年训练后，仍然有不少人不能确定7乘以8的结果是54还是64，或者是56？
· 为什么我们的数学知识如此脆弱，一次轻微的脑损伤就足以彻底破坏数感？
· 5个月大的婴儿怎么会知道“1+1=2”？
· 像黑猩猩、老鼠和鸽子这样没有语言的动物，怎么可能也具备一些初级算术知识？
我的假设是，这些问题的答案必将回溯至同一个根源：脑的结构。我们进行的每一次思考和计算都源于大脑皮层中特异性的神经回路的激活。抽象的数学建构源于脑神经回路的协调运作，以及在人类产生之前，数百万种动物的脑塑造和选择了我们现有的数学工具。我们能了解神经结构给我们的数学活动带来的限制吗？
自达尔文以来，进化论一直都是生物学家的重要参考理论。就数学来说，生物进化和文化进化同样重要。数学不是一成不变的，不是天赐的完美典范，而是随着人类的研究探索不断演化的。即便是我们现在所使用的再简单不过的数字符号，也是历经几千年缓慢形成的。如今的乘法计算、平方根、实数集、虚数集以及复数集等概念也同样如此，所有这些概念仍然保留着其在近代艰难诞生时所遗留的痕迹。
数学之所以会经历如此缓慢的文化进化，应该归结于一个非常特别的生物器官：人脑。受到自然选择法则的支配，人脑本身就是更为缓慢的生物进化的典型产物。自然选择的压力塑造了眼睛的精密生理机制、蜂鸟翅膀的形状、蚂蚁这样的小型“机器人”，同样也塑造了人脑。年复一年，物种更替，大脑中涌现了越来越多特异性的心理器官，这些结构优化了大脑对大量感觉信息流的处理，并使生物反应更适应充满竞争甚至充满敌意的环境。
人脑中特异性的心理器官之一是一种原始的数字处理器，它部分预设了学校教学中所讲授的算术内容。虽然听起来不太可能，但是有些人认为“愚蠢或是邪恶”的动物，比如鸽子或老鼠，实际上在计算方面很有天赋。它们能够在心理层面表征数量，并且能够根据一些算术规则对数量进行转化。研究这些能力的科学家认为，动物拥有一种心理模块，一般被称为“累加器”（accumulator），它能够存储不同的数量。在之后的章节中，我会向大家展示老鼠如何利用这个心理累加器来辨别由2个、3个或4个声音组成的声音序列，以及如何计算2个数量相加的近似值。累加器机制为感知觉开启了一个全新的维度，通过这一维度，感知一系列物体的大致数量就变得像感知物体的颜色、形状和位置一样简单。这种“数感”使人类以及其他动物都拥有理解数量意义的直觉。
托比亚斯·丹齐格（Tobias Dantzig）在他的著作中颂扬“数字是科学的语言”，并强调了它作为数量直觉的初级形式的重要性：“人类即便处于较低的发展阶段，也拥有这样一种技能，我将其称为数感。这种技能使得人们在不需要运用直接知识的情况下，在一个客体被移除或加入一个小集合时，也能够意识到这个集合发生了改变。”1
丹齐格在1954年写下了上面这段话。当时让·皮亚杰的理论正引领着整个心理学领域，他的理论否认儿童拥有任何数学能力。直到20多年后，皮亚杰的建构主义才被彻底驳斥，而丹齐格的观点则被证实：所有人，即便是在他们生命的第一年中，都拥有发展完好的数字直觉。后面我将剖析一些巧妙的实验，它们展示了人类婴儿远非一无所知，他们从刚出生开始就掌握了一些零星的算术知识，堪比某些动物对数字的认知。仅6个月大的婴儿就已经掌握了初步的加减法！
但是千万不要产生误解。显然，只有成年人的脑才能够意识到37是一个素数，或者知道如何计算π的近似值，婴儿或动物是不可能做到这些的。事实上，这些能力仍然是某些文化背景中少数人的特权。婴儿的脑无法体现数学的灵活性，它们只能在有限的范围中运用少量的算术能力，更不必说动物的脑了。确切地说，动物的累加器不能处理离散量，而只能处理连续数量的估计值。鸽子永远也无法分辨49和50，因为它们只能以一种近似的、不断变化的方式来表征数量。对于动物来说，5加5并不等于10，而是10左右：可能是9、10或者11。如此低的数敏度和如此模糊的内部数字表征使动物无法形成有关精确算术的知识。动物受限于它们的脑结构，只能掌握近似算术。
然而，进化赋予人类一种额外的能力：创造复杂符号系统，包括口头语言和书面语言。单词和符号能够区分意思相近的概念，这使得我们不必局限于近似值。语言使我们能够表达无限多的数字，而在这些表达方式中，发展最完善的是阿拉伯数字，它们能够表达和分离任何连续量。正因为这些表达方式的存在，我们才能将那些在数量上相似，但是在算术性质上却截然不同的数字区分开来。也只有以此为基础，才能够构造出对两个数字进行比较、相加或相除时的纯形式化的法则。事实上，数字的产生并没有直接参照其他具体的对象，而是有着独属于它自己的生命历程，这样，数学的“脚手架”才能越搭越高，越来越抽象。
然而，我们会发现这中间存在一个悖论。自从10万年前智人出现至今，人类的大脑没有任何实质性的改变。事实上，我们的基因通过随机变异的方式只能发生缓慢和微小的进化，需要经过上千次失败的尝试才能从一片嘈杂中得到一个值得传递给下一代的有益基因变异。与此相反，文化的进化要迅速得多。任何想法、发明和进步，一旦在一些聪慧的头脑中萌芽，就能通过语言和教育的方式传播给所有人。这就是我们今天所知道的数学在短短几千年间逐渐形成的方式。数字的概念由巴比伦人提出，由希腊人完善，由印度人和阿拉伯人精炼，由理查德·戴德金和朱塞佩·皮亚诺（Guiseppe Peano）形成公理，再由埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）进行概括，它从未停止过在不同文化中的演进，然而却没有要求对与数学有关的遗传物质进行任何改进！从初步的估计来看，爱因斯坦的脑与在马格德林时期(3)绘制拉斯科洞窟的那位艺术大师的脑没有明显区别。在小学学习现代数学的儿童所拥有的脑，起初的设计是为了在非洲大草原上生存。
我们如何使生物进化方面的惰性与闪电般快速发展的文化协调一致呢？非凡的现代工具，如正电子发射计算机断层扫描（PET）和功能性磁共振成像（fMRI），使得我们能够在活体人脑中获得负责语言、问题解决和心算活动的脑回路的影像。我们会看到，当大脑面临进化过程中没有遇到过的任务，比如两位数的乘法，它会调动一个庞大的脑区网络结构，虽然这些脑区的原始功能与两位数乘法无关，但是将它们结合起来就能够达到目标。除了与老鼠和鸽子一样的近似累加器，人脑中很可能不包含其他任何负责数字和数学任务的“算术单元”。然而，人脑通过运用其他替代回路弥补了这点不足，虽然这些回路只能起缓慢而间接的作用，但对这项任务却或多或少是有用的。
因此，文化客体，比如书面文字或数字，可以被视为一种侵蚀原本用作他途的脑系统的“寄生物”。以文字阅读为例，有时这个“寄生物”会极富侵蚀性，甚至能够完全替代某个脑区原先的功能。因此，一些在其他灵长类动物中负责识别视觉对象的脑区，在能够阅读的人身上，则对识别字母和数字串起着不可替代的特异性作用。
由于所处的背景和时代不同，人脑可以计划一场针对猛犸象的猎捕行动，或者构思对费马大定理（Fermat’s last theory）的论证，这使我们不得不惊叹于脑的灵活性。然而，这种灵活性不能被过高地估计。我认为脑回路的优势和局限恰好决定了我们在数学学习方面的长处和短处。人脑，就像老鼠的脑一样，在远古时代就被赋予了对数量的直觉表征，这就是人类对处理近似值极具天赋的原因，同时也解释了为什么“10大于5”的结果对于我们来说如此显而易见。相反，我们的记忆与计算机不同，不是通过数位来表示，而是以观念联想的方式运作，这也许解释了为什么我们在记忆由少量等式组成的乘法表时会如此困难。
正如数学家的大脑逐渐适应数学的要求那样，数学对象也越来越适应大脑的限制。数学的历史提供了充足的证据来证明人类的数字概念绝不是一成不变的，而是处于不断进化的进程中。多少世纪以来，数学家们辛勤工作，通过扩大数字符号的普及性、增加其在各领域中的应用性，以及简化其形式等方式，增进了数字符号的用途。与此同时，数学家们在不经意间开发出了一些使得数字符号能够适应人脑结构限制的方法。虽然对于现在的儿童来说，几年的教育就足以让他们学会数字概念，但是我们不应该忘记，在这之前，我们经历了好几个世纪的完善才使这一系统的运行变得如儿童游戏一般轻而易举。现在的一些数学对象之所以显得十分直观简单，就是因为它们的结构非常契合人脑结构。但事情还有另一面，许多儿童觉得学习分数十分困难，这是因为他们的皮层机制抵制这种违反直觉的概念。
如果脑的基本结构会给我们理解算术带来很大的限制，那么为什么一些儿童能够在数学领域取得成功呢？高斯、爱因斯坦和斯里尼瓦瑟·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan）等杰出的数学家怎么会对数学对象如此熟悉？一些智商为50的“智障学者”（idiot savant）又是如何在心算方面表现出特殊才能的？我们是否不得不做出这样的假设：一些人在出生时就拥有特殊的脑结构，或是拥有一种可以让他们成为天才的生理素质？其实，只要仔细验证，我们就会发现这是不成立的。总之，到现在为止，几乎没有证据可以证明，伟大的数学家和计算奇才被赋予了与众不同的神经生理结构。与其他人一样，数学家也要与步骤冗长的计算以及深奥的数学概念作斗争，如果他们成功了，也只是因为他们在这个主题上投入了大量的时间，并且最终发现了完美的算法，这些巧妙的、任何人通过努力都能学会的快捷方法，巧妙地利用了人脑结构的长处而回避了其局限性。数学家们的独特之处在于，他们对数字和数学表现出极大的、不间断的激情。有时一种被称为孤独症（autism）的脑部疾病（表现为不能长期保持正常的人际关系）会助长这种激情。我相信，拥有同样初始能力的儿童会因为他们对学科的喜爱或者痛恨而在数学学科中表现得出色或令人绝望。激情孕育天才。因此，无论儿童对数学的态度是积极的还是消极的，父母和老师都负有一定的责任。
在《格列佛游记》（Gulliver’s Travel）中，乔纳森·斯威夫特（Jonathan Swift）这样描述了位于巴尔尼巴比岛（Balnibarbi Island）上的拉格多（Lagado）数学学校中所使用的奇特的教学方法：
我在一所数学学校，那里的教师使用一种对欧洲人来说完全无法想象的方式来教导学生。所有命题和论证都用着色药剂制成的墨水清楚地写在一块薄饼干上。学生要空腹吞下这块饼干，且在接下来的3天中除了面包和水不能吃其他任何东西。等到饼干消化以后，墨水就会带着命题一起印刻在脑中。但是到目前为止其效果还无法判断，一方面是因为含量和成分方面的问题，另一方面是因为儿童十分顽固，这个“大药片”对于他们来说实在是太恶心了，所以他们总是偷偷溜到一边，在“药片”起作用之前就把它吐出来，他们也不会像“处方”上要求的那样长时间不吃其他东西。
虽然斯威夫特的描述非常荒诞，但是把数学学习比作同化作用（assimilation）(4)过程这个基本隐喻确实是合理的。归根结底，所有的数学知识都会被纳入大脑的生理组织中。儿童所修读的任何一门数学课程都以数百万突触的变化为基础，这意味着广泛的基因表达和数十亿个神经递质和受体分子的形成，通过化学信号的调制来反映儿童对这个话题的关注程度和情感参与程度。人脑中的神经网络并不是十分灵活的，特定的结构使得某些数学概念比起其他的概念更容易被“消化”。
我希望我在这里表述的观点最终能够引领数学教学的改进。一门好的课程应当考虑学习者大脑结构的优势与劣势。为了优化儿童的学习过程，我们应当思考教育和大脑发育会对心理表征的组织带来什么影响。显然，我们还远未了解学习能够在何种程度上改变我们的大脑机制。尽管现有的知识极少，但仍然有些用处。20年来，认知科学家们积累的关于大脑如何加工数学问题的结论至今还没有成为公众的共识，也没有渗透到教育领域中。如果这本书能够作为一种催化剂，促进认知科学和教育学之间的交流，我将会十分高兴。
这本书将以生物学家的视角带领读者领略算术的世界，同时也不会忽视算术的文化组成。在第1章和第2章中，我会首先带领大家了解动物和人类婴儿的算术能力，继而让读者相信，人类所拥有的数学能力早已出现在其他动物身上。在第3章我们会发现，其他动物用来加工数字的许多方式在人类成年人的行为中仍留有痕迹。在第4章和第5章中，通过观察儿童学习计数和计算的方式，我们尝试去了解人类如何克服原始的近似系统的局限，以及学习高等数学给灵长类动物的大脑带来了怎样的挑战。这将为研究现有的数学教学方法，以及验证它们在何种程度上适应人的心理结构提供一个很好的契机。在第6章中，我们将寻找能够将普通人和计算奇才或年轻的爱因斯坦似的天才区分开来的特质。在第7章和第8章中，我将会带领大家了解大脑皮层的沟回，负责计算的那些神经元回路就存在于这些沟回中，它们会因为损伤或脑血管疾病而失能，从而使人丧失基本的数感。第9章总结了书中的这些实验数据在哪些方面影响了我们对于人脑和数学的理解。第10章则介绍了自第一版出版以来，快速发展的数学认知研究领域那些令人兴奋的新发现。至此，我们的数学探秘之旅宣告结束。