其实你对数学的误会很大(共5册)
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第二章
表示虚无的数字0

虚无的悖论>>

公元800年,在德国亚琛,那个久远的三月里的一个夜晚,阿尔昆[1]的学生——执事弗雷德吉斯[2],为宫廷的贵族们读了一封信:《虚无与黑暗》。这是一封写给查理大帝的信,内容关于虚无与黑暗。当时的查理大帝正派军驻防在诺曼底的海岸。弗雷德吉斯在这封信中讨论的问题是虚无究竟是什么,抑或什么都不是。

虽然你们会觉得这个问题很古怪,但你们要知道弗雷德吉斯可不是第一个提出它的人。很多人都遇到了这个问题,但最后都放弃了,因为他们认为这个问题是“无法解释清楚的”。弗雷德吉斯的老师阿尔昆在《与丕平的讨论》中也提出了同样的问题。他问查理大帝的次子丕平:“什么东西既存在又不存在?”这听起来就像个绕口令,一个没有意义的谜语,可是并没有难倒这个年轻人,丕平脱口而出:“虚无。”可他的老师追问说,它如何做到存在,同时又不存在呢?“Nomineest,et re no est”,意思是,作为一个名词,它存在,可实际上并不是。总而言之,阿尔昆借丕平之口给出的解释是,虚无是一个词语,不是什么事物。

在宫廷里,贵族们不会一整夜都在探讨虚无的本质中度过。对虚无本质的思考可以追溯到很久很久以前。巴门尼德[3]著有哲学诗《论自然》,其中诗句晦涩难懂,因此研究他的学者们各执一词。在经辛普里丘[4]流传下来的残篇中,女神给出了提示,她告诉我们:“只有那些研究途径是可以设想的。第一条是:存在‘存在’,且是不可能不存在的……另一条则是:存在‘不存在’,且这个‘不存在’必然不存在。”巴门尼德在诗中接着说,不存在的虚无(或非存在)是无法想象或言说的:“你既不能认知非存在(因为这是办不到的),也不能把它说出来。”在后面的残篇中,我们还会看到“因为思维和存在是同一的”,还有“有必要思考和言说究竟什么是‘存在’。存在者确实存在,不存在者不存在。这些问题,我劝你好好思考”。

弗雷德吉斯对这番劝告做出了回应。他将对话拉回“逻辑”的地面,召唤“理性”,认为“每一个存在的名词都有含义”,例如“男人”“石头”“树”这些名词。如果“如语法家们所言”,“虚无”是一个既有名词,那么它就表示某样存在的东西。因此,弗雷德吉斯说,它就是一个有含义的词语,是“有意义的声音”,每一个含义都指向它所表示的东西。

从这里,我们可以得出结论,虚无“不可能什么都不是”。可如果它存在的话,我们自然而然就会问:那它是什么呢?又是怎么存在的呢?弗雷德吉斯并没有给出这些问题的答案。总而言之,虚无是一样存在的东西,只是无法准确说明它究竟是什么。人们居然能想象出一个符号来表示它?

弗雷德吉斯的问题,带我们回忆起了一段著名的有关修禅的对话。弟子问禅师如何才能顿悟。“只有感知到‘空’,方能顿悟。”禅师回答说。弟子接着问:“你说‘空’,可它不该是一件可以感知的东西吗?”“当然了,你可以感知到,”禅师肯定道,“只不过,它并不是某样东西。”于是,弟子又问:“既然它不是某样东西,又感知什么呢?”禅师解释说:“在禅的哲学里,‘真正的悟’是‘感知空无一物的境界’。”

回到基督教传统中,弗雷德吉斯的论述使我们想起了奥古斯丁[5]在《论教师》一书中与阿德奥达图斯的对话。奥古斯丁告诫世人,最好放弃思考这类问题,以免得出“我们不受任何束缚,却困于虚无”这样的谬论。其实,当我们讨论时间的概念时,也会遇到同样的问题。奥古斯丁在《忏悔录》中说:“无人向我发问时,我知道时间是什么,可‘一旦有人向我提出这个问题,我想解释,却不知如何作答了’。”他补充说:“如果没有东西逝去,则不会有过去的时间;如果没有东西到来,则不会有将来的时间;如果没有东西存在,则不会有现在的时间。”

由此可见,虚无成了划分时间的工具。达·芬奇也在《大西洋古抄本》里写道:“在我们身边所有伟大的事物之中,虚无是最伟大的。”他赞同奥古斯丁的说法,接着写道:“虚无安坐在时间里,舒展它的四肢,向过去和将来延伸。不可分割的现在,不属于它,但它占据了所有过去以及未来会出现的成果,这些成果和动物一样,都是自然的产物。”

或许,这些在你们看来都是些无用的诡辩论、毫无意义的文字游戏。然而,事实并非如此,在卢多维科·杰莫纳特[6]看来,弗雷德吉斯讨论的问题是“人类理性所能思考的最困难的几个问题”。弗雷德吉斯凭借他“敏锐的头脑”,以“鲜有的聪慧”发现和探讨了“虚无”的自相矛盾,为现实构想留下了挑战。许多现代逻辑学家,比如戈特洛布·弗雷格和伯特兰·罗素,仍不得不思考这个问题。

这位加洛林王朝的执事所读信笺中的第二个问题,困扰着查理大帝,于是他向一位爱尔兰修道士敦加洛求助:《圣经》中说上帝创世纪时,“覆盖着深渊”的那片黑暗究竟是什么?如果像《圣经》中读到的那样,世界是从一片虚无中产生,又或是像奥古斯丁在《忏悔录》中说的,是从“一片无形的虚无中”产生的,那么在上帝创造万物之前就已经存在的这片虚无是什么?我们不知道敦加洛的回答是什么,但可以肯定的是这个问题开启了数个世纪的大讨论。

实际上,安瑟伦[7]为了证明上帝存在,在《证据》(写于1077年或1078年)中写的推论,与弗雷德吉斯相差无几。就连否认上帝存在的“傻瓜”,在听到上帝是“世人无法说出比他更伟大的存在”时,也无法否认上帝的存在,他必须承认上帝是存在的。查尔斯·德·波富勒斯[8]在他《论虚无》(1509年)的小册子中给出了简洁的结论:“如果虚无存在的话,那么一切事物都存在;如果一切事物都存在的话,上帝就存在。因此,如果存在虚无,就存在上帝。”

康德在《证明上帝存在唯一可能的证据》(1763年)中反驳安瑟莫的本体论,认为仅从一个事物的概念中无法推导出它的实存。1932年,鲁道夫·卡尔纳普[9]认为“上帝”“虚无”等构成命题的言辞缺乏意义,清除了整个命题。在《通过语言的逻辑分析清除形而上学》中,卡尔纳普说:“在形而上学领域里,逻辑分析得出了反面结论——这个领域里的所有断言陈述全都是无意义的。”总而言之,在卡尔纳普看来,形而上学命题是没有任何意义的伪命题。

卡尔纳普以海德格尔[10]《什么是形而上学》(1929年)一文中“虚无虚无化(das Nichtsnichtet)”这一表达为例。他首先认为“虚无化”没有一个明确的含义,其次“虚无”只是把否定句中的“无”(不正当地)名词化了,想让虚无作为实体存在,可从逻辑的角度看,“虚无”只是否定了“至少存在一样东西”。总之,它就是一个双关语,一个文字游戏。在文学里,这样的例子数不胜数,我们最早可以回想到《奥德赛》中机智的奥德修斯。奥德修斯告诉独眼巨人波吕斐摩斯,自己的名字叫“没有人”,因此,当波吕斐摩斯向其他独眼巨人大声呼喊“没有人攻击我”时,没有其他独眼巨人前去援救。

刘易斯·卡罗尔[11]一定是从荷马笔下的“没有人”——奥德修斯身上获得了灵感。他在《欧几里得和他的现代对手》中,以一种机智和讽刺的对话形式,捍卫欧几里得的《几何原本》,让现代批判《几何原本》的人接受米诺斯[12]的审判。受欧几里得的幽灵召唤,一位德国教授的魂魄出现在了米诺斯面前。欧几里得说:“他是我一位了不起的朋友,博览群书。不管论点命题是真是伪,他都能辩护。”“真是一位厉害的朋友!”米诺斯惊叹道,“他叫什么名字呢?”“魂魄没有姓名。”欧几里得回答说,“只有数字。您可以叫他‘没有人先生’,或者123456789。”就这样,“没有人先生”的魂魄把一堆“幽灵书”交给米诺斯审判,就是那些欧几里得现代对手的作品。

卡罗尔在《爱丽丝镜中奇遇记》(1871年)里也利用了“没有”的矛盾含义,玩了同样的文字游戏。白方国王称赞爱丽丝目光敏锐,可以远远看见路上没有人。“路上没有人。”爱丽丝说。国王烦闷地说:“我要是能有你这么一双眼睛就好了,可以看见‘没有人’,而且也能看得这么远!”当信使气喘吁吁地到达时,国王问他:“你在路上看见什么人了吗?”信使回答说:“没有人”。“这就对了,”国王说,“这位小姐也看到了‘没有人’。如此说来,那个‘没有人’走得比你慢。”信使则夸口说:“我敢肯定,没有人走得比我更快!”国王说:“‘没有人’不可能走得比你更快,要不他早该到了。”

在莎士比亚的《李尔王》中,葛罗斯特伯爵和爱德蒙的对话也玩了“没有”的概念游戏。葛罗斯特伯爵问:“你在看什么?”“没有,先生。”爱德蒙回答说。“没有?”葛罗斯特伯爵追问,“那你为什么慌慌张张地把它塞进口袋?如果没有,就没必要遮遮掩掩。拿出来给我看看。快点,如果没有的话,我就不必戴上眼镜。”


注释:

[1]阿尔昆(Alcuin,约736—804),英国学者、教育家。曾被法兰克王国的查理大帝请到宫廷中,委以帝国的教育改组事宜。

[2]弗雷德吉斯(Fredegisus或Fredegis of Tours,约8世纪末—约834),出生于英国,曾为查理大帝的宫廷服务,是一位僧侣、学者和作家。

[3]巴门尼德(Parmenidēs,约前515—约前445),古希腊哲学家,主要著作是《论自然》,如今只剩下残篇。他认为千变万化的世界只有“无”或“不存在”,主张“只有理性才能认识存在”。

[4]辛普里丘(Simplikios,约490—约560),罗马帝国时期的哲学家、数学家。

[5]奥古斯丁(Aurelius Augustinus,354—430),俗称圣奥古斯丁,古罗马基督教思想家,教父哲学的主要代表。

[6]卢多维科·杰莫纳特(Ludovico Geymonat,1908—1991),意大利马克思主义哲学家。

[7]安瑟伦(Anselmus,1033—1109),意大利中世纪哲学家、神学家。

[8]查尔斯·德·波富勒斯(Charles de Bovelles,1475—约1566),法国哲学家、数学家。

[9]鲁道夫·卡尔纳普(Rudolf Carnap,1891—1970),20世纪美国著名分析哲学家,经验主义和逻辑实证主义的代表人物。卡尔纳普是学物理和数学出身的,在耶拿大学曾受业于弗雷格,研究逻辑学、数学、语言的概念结构。

[10]海德格尔(Martin Heidegger,1889—1976),德国哲学家,存在主义的主要代表人物之一,主要著作有《什么是形而上学》《形而上学导论》《现象学的基本问题》等。

[11]刘易斯·卡罗尔(Lewis Carroll,1832—1898),英国作家、数学家、逻辑学家、摄影家,以儿童文学作品《爱丽丝梦游仙境》与其续集《爱丽丝镜中奇遇记》而闻名于世。

[12]在希腊神话中,米诺斯是克里特之王,宙斯和欧罗巴的儿子,是冥界三判官之一。