3.矢量

以上我们考察的所有运动都是直线的，也就是沿一条直线的运动。现在我们必须再往前走一步。要理解自然定律，应当先来分析最简单的案例，舍去复杂情形。直线比曲线简单。但我们不可能只满足于了解直线运动。力学原理已经得到成功运用的月球、地球和行星的运动，都是沿着曲线轨道的运动。从直线运动过渡到曲线运动会带来新的困难。要想理解经典力学的原理，就必须勇于克服这些困难。经典力学给了我们第一条线索，因此成为科学发展的起点。

让我们考虑另一个理想实验。设想有一个完美的球在光滑的桌子上匀速滚动。我们知道，假如推这个球一下，也就是对它施以外力，它的速度就会改变。现在假定与前面小车的例子不同，推的方向不是沿着运动方向，而是沿着另一个方向，比如与这条线垂直，那么这个球会发生什么情况呢？我们可以区分出三个运动阶段：初始运动，外力的作用，以及外力停止作用后的最终运动。根据惯性定律，外力作用之前和作用之后，速度都是绝对均匀的。但是，外力作用之前的匀速运动不同于外力作用之后的匀速运动，因为方向发生了改变。球的初始路径垂直于外力的方向。最终的运动不会依循这两条直线中的任何一条，而会介于二者之间：如果推得重而初速小，它就靠近力的方向；如果推得轻而初速大，它就靠近初始运动的路线。于是，我们根据惯性定律得到的新结论是：一般说来，外力的作用不仅会改变速率，而且会改变运动方向。理解了这个事实，就为我们在物理学中引入矢量这个概念做好了准备。

我们可以运用我们直接的推理方法，出发点仍然是伽利略的惯性定律，继续从解决运动难题的这个极有价值的线索中推导出许多结论。

设想在光滑的桌面上朝不同方向运动的两个球。为了形成明确的图像，可以假定这两个方向相互垂直。由于没有外力作用，球的运动是完全匀速的。再假定它们的速率也相等，也就是说，它们在相同的时间间隔内走过相同的距离。但如果说这两个球有相同的速度，这是否正确呢？回答可以是是或否！倘若两辆汽车的示速器上都显示40英里每小时，我们通常会说它们有相同的速率或速度，无论它们朝哪个方向开。但科学必须创造出自己的语言和概念以供己用。科学概念的出发点往往是日常语言中用于日常生活事务的那些概念，但其发展则完全不同：它们发生了转变，失去了日常语言中与之相关联的模糊性而获得了严格性，从而可以用于科学思想。

物理学家会说，朝不同方向运动的两个球的速度是不同的。虽然这纯属约定，但这样说要更为方便：从同一地点沿不同道路行驶的四辆汽车，即使示速器上记录的速率都是40英里每小时，其速度也是不同的。速率与速度的这种区分表明了物理学如何从日常概念出发，然后加以改变，使之在科学的未来发展中富有成果。

在测量长度的时候，我们可以用若干个单位来表达结果。一根棍子的长度也许是3英尺7英寸；某个物体的重量也许是2磅3盎司；一段时间间隔可以是多少分多少秒。在每一种情况下，测量结果都是用一个数来表达的。然而，单凭一个数还不足以描述某些物理概念。认识到这一点乃是科学研究的一大进步。例如，要想刻画速度，方向和数值都是至关重要的。像这样一个既有大小又有方向的量被称为矢量，表示它的符号通常是一个箭头。速度就可以用一个箭头或矢量来表示，其长度是以某种选定的单位来衡量的速率，其方向则是运动的方向。

如图所示，如果四辆汽车从同一地点以相同的速率朝四个方向开出，则它们的速度可以用四个等长的矢量来表示。图中使用的比例尺为1英寸代表40英里每小时。这样一来，任何速度都可以用一个矢量来表示。反过来，如果比例尺已知，那么根据这种矢量图就可以确定速度。

假定两辆汽车在路上彼此经过，且示速器上都显示40英里每小时，则我们可以用箭头指向相反方向的两个矢量来表示它们的速度，正如地铁列车指示“上行”、“下行”的箭头必须指向

相反的方向。不过所有上行列车，无论经过哪个车站，或者在哪条线路上行驶，只要速率相同，都有相同的速度，这个速度可以用一个矢量来表示。矢量并没有说明列车经过哪一个车站或者沿着平行轨道中的哪一条在行驶。换句话说，根据习惯，图中所

有这些矢量都可以认为是相等的；它们处于相同或平行的直线上，长度相等，箭头指向同一方向。接下来一幅图显示的矢量各不相同，因为它们要么长度不同，要么方向不同，要么长度和方

向都不同。还可以用另一种方式来画这四个矢量，使之从同一点岔开。由于出发点并不重要，所以这些矢量既可以表示从同一地点开出的四辆汽车的速度，也可以表示在不同地点以指定的速率和方向行驶的四辆汽车的速度。

现在可以用这种矢量图示来描述前面讨论的直线运动的情况。我们曾经谈到，沿直线作匀速运动的小车，只要沿着它的运动方向推一下，它的速度就会增加。这可以用图表示成两个矢量：短矢量表示推之前的速度，长矢量表示推之后的速度，与前者方向相同。虚线矢量的含义很清楚，它表示因推而产生的速度

变化。如果力的方向与运动方向相反，运动慢了下来，那么图会稍有不同。虚线矢量同样表示速度的变化，但此时它的方向却是

不同的。显然，速度本身和速度的变化都是矢量。但速度的任何变化都是由于外力的作用，因此力必须用矢量来表示。为了刻画一个力，只说我们使了多大劲来推小车是不够的，还应当说明我们朝哪个方向来推。力，就像速度和速度的变化一样，必须用一个矢量而不能单用数值来表示。因此，外力也是一个矢量，而且必须与速度变化的方向相同。在上两幅图中，虚线矢量既显示了速度的变化，又表明了力的方向。

这里怀疑论者也许会说，他看不出引入矢量有什么好处。以上所做的只是把业已知道的事实翻译成一种陌生而复杂的语言而已。在目前这个阶段，的确很难说服他相信自己是错的。事实上，他暂时是对的。但我们将会看到，正是这种奇怪的语言引出了重要的推广，矢量在其中似乎是必不可少的。