2.4 从加法到芯片

2.4.1 万法归加法

继续深究下去，打破砂锅问到底。

上述介绍的补码系统粗看起来比较奇怪，实际上不然，了解了几种运算后，就会明白补码表示是多么简便。

下面来看两个数的加减运算。a+b或者a-b。如果用平时数学上的表示，需要分别判断a和b的符号，加上运算符，就有8种组合：+++、++-、-++、-+-、--+、---、+-+和+--。内部电路的运算需要判断8种情况，会比较复杂。

如果用补码，因为补码自身已经处理了正负数，所以只需要判断运算符是+还是-即可，如果是+就把a和b直接相加，如果是-，就再次对b求补码，然后加a。

举例如下。

计算17+22=39，用8位二进制表示为00010001+00010110，结果为00100111。计算结果正确。

计算22-17=5，22的二进制表示为00010110，17的二进制表示为00010001。判断运算符为-，所以把17求补码，为11101111。然后加00010110，结果为100000101，现在最高位出现了一个进位1，扔掉，保留8位，最终结果为00000101。计算结果正确。

计算22-（-17），22的二进制表示为00010110，-17的二进制表示为11101111。判断运算符为-，所以把-17求补码，为00010001。然后加00010110，结果为00100111。计算结果正确。

从上面的例子可以看出，用了补码之后，无论正负数，都可以统一处理了，并且化减法为加法。

所有的运算最后统一到加法了。读者是否感觉到补码简便了呢？

2.4.2 自己做个加法器

先看加法运算表：

因为是二进制，所以加法表很简单。

这个加法表中有一个不同之处，就是1+1=10，结果有两位，前一位是进位，后面的是值。需要分开处理，考虑进位，得到新的加法表：

再把上表分开表示成加法表和进位表。

加法表：

进位表：

仔细看上表。加法表跟以前提到过的逻辑异或（XOR）操作是同一张表，进位表跟逻辑与（AND）操作是同一张表。这样可以用逻辑门电路实现加法，用一个异或（XOR）门和一个与（AND）门。二进制下，0/1既是数又是状态，所以逻辑运算和算术运算在电路这一层统一了。

用门电路，这个加法运算可如下图所示进行搭建。

半加器简化图如下图所示。

这个加法器只能计算一个bit的加法，还不会考虑进位，所以把它叫半加器。

接着看看多个bit位的加法器如何做，有了半加器，这个任务不困难，把A+B的和与前一步的进位再用半加器加一次，再把两个半加器的进位或门输出成本加法器的进位就可以了。即通过两个半加器加上一个或门组合成一个全加器。

简化图如下图所示。

接下来，把这个加法器组合成8位的加法器。

相加的数据位A、B，从0～7每一位分别输入，前一位的进位输入到下一位。这样串联起来。

简化图如下图所示。

现在看是不是长得有点像一个芯片的样子了？很有科技感。

不过现在同时也看到了，实现一个简单的运算就需要很多电子元器件组合起来，非常复杂，可想而知真正的计算机有多复杂。

0和1单独拿出来做不了什么事情，这些基本门电路单个也没有什么功能，但是组合在一起可以达到神奇的效果。20世纪五六十年代仙童公司Robert Noyce与得克萨斯州仪器公司Kilby发明了集成电路，它通过半导体工艺把所需的晶体管、电阻、电容等元件及它们之间的连接导线全部集成在一小块硅片上。

现在在一个指甲盖大小的硅片上能放上亿个元器件，比如Intel Pentium的i7大概集成了14亿个晶体管。工艺是按照摩尔定律发展的，当价格不变时，集成电路上可容纳的元器件的数目，约每隔18～24个月便会增加一倍，性能也将提升一倍。这是一种指数级的增长，总有一天会将人类带到临界点。

现在只需要花几元钱就可以买到一个芯片，不要忘记这是经过了多少人多少年努力的结果。

当一个CPU的成本降到一张纸的成本的时候，奇点可能会来临，人类历史可能会进入下一个阶段。

想想很奇妙，一个简单的整数，一个简单的加法，通过叠层累加，最后构成了庞大的算术体系。