4.2 强迫振动
强迫振动指的是结构振动过程中受到外激励作用，即f（t）≠0。强迫振动的响应不仅与结构本身有关，还与外激励的形式密切相关。强迫振动通常依据外激励的形式可进一步细化为简谐激励振动和一般激励振动。
简谐激励振动对应于OptiStruct的频率响应分析类型，包括直接法频率响应分析DFREQ和模态法频率响应分析MFREQ。一般激励振动对应于OptiStruct的瞬态响应分析类型或频率响应分析类型，这取决于采用激励的时域曲线还是频谱曲线。
4.2.1 简谐激励振动（时域）
简谐激励即正弦或余弦激励，f（t）=f0sin（ωt）。通常把简谐激励下的结构振动分析称为稳态响应分析，此时结构振动的位移解为
式（4-5）是忽略了初始条件（衰减自由振动）的稳态响应，响应频率与激励的频率相等，均为单一频率成分，而与结构固有频率无关。
称为频率比，是简谐激励频率ω与结构固有频率ωn的比值；f0k称为静力等效变形幅值；
，称为动力放大系数，响应u的幅值是在静力等效变形幅值f0k的基础上叠加一个动力放大系数β。在稳态响应分析中，频率比γ和动力放大系数β是十分重要的概念。随着频率比γ的变化，动力放大系数β会发生很大的变化，如图4-4所示。
图4-4 频率比γ及动力放大系数β
1）当γ→0，即简谐激励远低于结构固有频率时，β=1，振动幅值近似为f0k。
2）当γ→∞，即简谐激励远高于结构固有频率时，β=0，振动幅值几乎为0。
3）当γ=1，即简谐频率ω等于结构固有频率时，称结构处于共振状态。此时，如果阻尼为零，那么共振振幅将无穷大。对于大多数实际结构，阻尼比0<ζ≪1，此时动力放大系数
是一个有限数值。例如，阻尼比为0.01时，共振幅值是等效静力变形的50倍。
4.2.2 简谐激励振动（频域）
简谐激励振动是一种稳态的振动，通常在频域内进行分析。对微分动力学方程进行拉普拉斯变换，s=jω，在忽略初始条件后可以得到
位移解u（s）在频域下有极为简洁的形式：
将s=jω，
，
，
代入式 （4-7），写成频率比γ以及阻尼比ζ的形式：
当等效静力变形
=1时，位移幅值 ‖u（γ）‖ 同为图4-4的形式。
可求得式（4-7）分母ms2+cs+k=0时的共轭根s1,2，它们是单自由度振动系统的特征值。
式中，ωd表示含黏性阻尼的结构振动频率，略小于ωn。小阻尼情形时，ωd≈ωn。
4.2.3 一般激励振动（时域）
一般激励指的是任意表达形式的外激励，通常为非单频成分。例如，可以是多个不同频率的简谐激励叠加，也可以是连续不间断的随机载荷。
时域动力学分析中有两种分析方法。
1）使用“Duhamel（杜阿美尔）卷积”进行响应的求解。将任意激振力f（t）表示为无限多个瞬时力δ（t-τ）之和，然后通过积分方法叠加每个瞬时激励的自由响应，得到整个时段的响应。
式中，h（t）称为脉冲响应函数，是零时刻瞬态激励δ（t）的位移响应；τ为时间滞后量。
2）直接对时域动力学方程进行等时间步长Δt的离散化，通过逐个时间步的依次求解得到动力学响应。
在OptiStruct中，时域响应分析采用的是离散时间步的数值积分方法计算，对应于瞬态分析序列DTRAN及MTRAN，具体过程请查阅第6章瞬态响应分析。用户只需要指定积分的离散时间TSTEP（TIME），求解器将从初始时刻开始，逐一完成所有离散时间点的响应计算。一般来说，时间间隔Δt需要足够小来保证计算精度。
4.2.4 一般激励振动（频域）
如果外激励采用频域表达式f（ω），即时域表达式f（t）的傅里叶变换，那么可以在频域上求解动力学响应，形式上为
特别的，外激励频谱f（ω）=1时
式中，h（ω）称为单位频率响应函数，常用来评价结构在频域的基础响应特性。
在OptiStruct中采用频率响应分析序列DFREQ或MFREQ完成计算。用户需要通过FREQi卡片来指定离散的频率列表，求解器将对每一个频率点计算响应曲线。
另外，OptiStruct中还支持采用逆傅里叶变换方法来获取时域响应。采用该算法时，首先计算频域响应u（ω），而后通过逆傅里叶变换得到时域响应。求解序列为DTRAN或MTRAN，需同时定义时间步TSTEP（FOURIER）以及频率点FREQi。