第四节 圆周卷积

如果x₁（n）和x₂（n）是两个有限长序列，长度分别为N₁和N₂，对它们分别作N点离散傅里叶变换，其中N=max[N₁，N₂]，即

X ₁（k）=DFT[x₁（n）]

X ₂（k）=DFT[x₂（n）]

如果X（k）=X₁（k）·X₂（k），那么

式（3-66）表示x₁（n）和x₂（n）的圆周卷积。

例3-12 有两个序列x₁（n）和x₂（n），其中x₁（n）={1，2，3|n=0，1，2}，x₂（n）={1，2，3，4|n=0，1，2，3}，对它们作4点的圆周卷积，即x（n）=x₁（n）⊗x₂（n）。

解：方法一：时域求解法

由于作4点的圆周卷积，而序列x₁（n）的长度小于4，因此，首先对x₁（n）序列补零，使其长度为4，即x₁（n）={1，2，3，0|n=0，1，2，3}。下面用式（3-66）对两个序列做循环卷积计算。

当n=0时

当n=1时

当n=2时

当n=3时

因此，x（n）=x₁（n）⊗x₂（n）={x（0），x（1），x（2），x（3）}={18，16，10，16|n=0，1，2，3}

方法二：矩阵求解法

根据圆周卷积的计算公式，可以画图解释它的计算过程。长度为N的序列x₁（m）可以看成是一个圆上的N个等间隔点的样本，而长度为N的圆周时间反转且平移序列x₂（n-m）也可以看做是均匀分布在同心圆上的N个等间隔点的样本。通过相邻样本的乘积求和运算，可以得到序列x（n）。图3-7是例3-12的计算过程示意图。

在图3-7中，内圆上按逆时针顺序排列x₁（m）的四个样本，并且位置始终不变。外圆上按逆时针排列着x₂（n—m）的四个样本。当n=0时，顺序依次为：x₂（0—0），x₂（0—1），x₂（0—2），x₂（0—3），根据循环移位性质，这四个样本分别与x₂（0），x₂（3），x₂（2），x₂（1）相等。当n=1，2，3时，这四个样本开始在前一次排序的基础上逆时针旋转。n每取一个值，内外圆上相邻样本的数值相乘，并把所有乘积相加，得到x（n）在当前n下的值。以此类推，可以得到x（n）的所有样本值，即x₁（n）和x₂（n）的圆周卷积。图3-7的计算原理可用矩阵的形式表示，其中x₁（m）的样本值位置始终不变，可用向量表示为

x ₂（m）可表示成方阵

x ₁（n）和x₂（n）的圆周卷积可以表示成上面两个矩阵的乘积，即

因此，本题可表示成

方法三：频域求解法

首先，计算x₁（n）和x₂（n）的4点离散傅里叶变换，分别用X₁（k）和X₂（k）表示，即

X ₁（k）={6，-2-2j，2，-2+2j|k=0，1，2，3}

X ₂（k）={10，-2+2j，-2，-2-2j|k=0，1，2，3}

然后，利用公式X（k）=X₁（k）·X₂（k），求出X（k）={60，8，-4，8|k=0，1，2，3}，最后对X（k）求IDFT，得到序列x₁（n）和x₂（n）的圆周卷积x（n）={18，16，10，16|n=0，1，2，3}。

方法四：用MATLAB编程求解

计算圆周卷积的参考函数如下：

在命令窗口输入下列命令：

运行结果为