第三节 线性常系数差分方程

本章第二节介绍了一个信号通过一个线性非时变系统，产生的输出可用输入信号与系统单位冲激响应的线性卷积来表示。本节将介绍输入信号与输出信号之间关系的另一种表示方法——线性常系数差分方程。

一、线性常系数差分方程及其稳定性

假设一个递推系统的输入——输出方程为

其中，a为常数，初始条件y（-1）非0，现求解n≥0时，y（n）的值。推导如下：

式（2-15）给出的系统输出包括两部分：第一项称为零输入响应，即对所有的n，输入信号均为0时的输出；第二项称为零状态响应，即当y（-1）=0时的输出，或者解释为系统的初始状态为零时的输出。

由上述可归纳线性常系数差分方程的一般形式为

或

式中，N为差分方程的阶数或系统的阶数。

本章第二节介绍了因果稳定系统，由此，读者不难联想线性常系数差分方程是否因果稳定。根据因果系统的定义，很容易证明式（2-16）或式（2-17）的系统是因果的。稳定性必须由输入信号的有界性和初始值的有界性决定，例如判断式（2-15）所描述系统的稳定性如下：

如果n有限，|y（-1）|和M_x有限，则系统有界。但是，当n→∞时，只有|a|＜1且|y（-1）|和M_x有限时，系统才有界。由此可见，线性常系数差分方程是否稳定需细心观察推导才能确定。

二、线性常系数差分方程的求解

线性常系数差分方程的求解方法可归纳为下面三种：

（1）经典解法。这类方法类似模拟系统中求微分方程的解法，过程较复杂，这里不作介绍。

（2）递推法。此方法简单，适用于计算机求解，在前面的例子中已有介绍。

（3）变换域法。将时域转换到z域中求解，方法简单易行，第五章将详细说明。

本节重点讨论MATLAB求解差分方程的方法：

（1）h=impz（b，a，n），impz函数可计算出系统在位置变量n处的单位脉冲响应h（n）。其中，b=[b₀，b₁，…，b_M]表示差分方程式（2-17）中x（n）的系数向量，a=[a₀，a₁，…，a_N]表示y（n）的系数向量。

（2）y=filter（b，a，x），filter函数可用来计算系统在输入信号为x时的输出信号y。向量b和a的含义与（1）相同。下面举例说明以上两个函数的用法。

例2-8 已知差分方程y（n）-y（n-1）+0.9y（n-2）=x（n）。

（1）计算并画出n=-10，-9，…，90时的单位脉冲响应h（n）。

（2）计算并画出n=-10，-9，…，90时的单位阶跃响应s（n）。

（3）由（1）中的h（n）确定系统的稳定性。

解：（1）MATLAB脚本如下：

（2）使用stepseq函数，见本章第一节的内容。MATLAB脚本如下：

（3）根据稳定性的定义，当所有n处的h（n）都小于∞时，该系统为稳定系统。但当n能取到∞时，无法计算出所有的h（n），也就无法确定系统是否稳定。换一种思路，通过观察单位脉冲响应h（n）的图形，发现当n＞90以后，h（n）逐渐趋于零，说明随着n值的增大，h（n）趋于稳定。也可以利用MATLAB软件编程计算：

上述求和结果即为∑h（n），说明系统是稳定的。（1）、（2）源码生成的图形如图2-14所示。