3.2.2 贝叶斯网络中的有向分离

条件独立从概率的角度来判断节点与节点之间是否是相关的，首先需要知道其概率分布，以及状态取值。实际上，在贝叶斯网络中，可以从图的角度来分析节点之间的独立性和相关性。在贝叶斯网络中，有向分离（D-Separation）对应于概率论中的条件独立性，它的目的是从图的角度寻找节点之间的条件独立性。对于互不相交的节点集（X，Y，Z），X和Y关于Z条件独立的必要条件在于Z能够有向分离X和Y。

如图3.3所示，考虑三类特殊的节点连接情况：第一类是顺序连接(X_i→X_k→X_j)，其中X_k为头对尾节点；第二类是发散连接(X_i←X_k→X_j)，其中X_k为尾对尾节点；第三类是收敛连接(X_i→X_k←X_j)，其中X_k为头对头节点。

根据条件独立的知识可以证明：在顺序连接和发散连接中，在节点X_k状态未知的条件下，X_i和X_j之间是存在相关性的；而在节点X_k的状态已知的情况下，则X_i和X_j关于X_k条件独立（即X_i和X_j被X_k有向分离）。例如，在图3.2中，当下雨（C）未知时，冬天（A）和湿滑路面（E）之间是存在相关性的；而当下雨是已知时，则路面的湿滑与是否为冬天无关。

在收敛连接中，在节点X_k已知的条件下，节点X_i和X_j是相关的。这也可以被理解为，在因果关系中结果已知的情况下，多个原因之间是存在相关性的。而若X_k未知，则X_i和X_j关于X_k条件独立。例如，在图3.2中，当湿草地（D）未知时，喷水器（B）和下雨（C）之间是毫不相关的。

图3.3 三种特殊的节点连接方式

a）顺序连接b）发散连接c）收敛连接

定义3.4（有向分离） 对于贝叶斯网络ℕ=（G，Θ），X_i和X_j是G中任意不相邻的两个节点，Z表示连接X_i和X_j路径上的节点集，并且Z不包含X_i和X_j，l是连接X_i和X_j的任意一条路径。如果Z至少满足下面的三个条件之一，则称l是关于Z的一条阻断路径，称X_i和X_j被Z有向分离desp_G（X_i，Z，X_j），又记作X_i╨X_j|Z。

（i）Z包含l中不同于X_i和X_j的某一头对尾节点；

（ii）Z包含l中不同于X_i和X_j的某一尾对尾节点；

（iii）Z不包含l中不同于X_i和X_j的某一头对头节点及其子孙节点。

同样，可以拓展到节点集之间的有向分离。假设A、B和Z是在G中的三个互不相交的节点集，对于任意的节点A_i∈A和任意的B_i∈B，若A_i和B_i被Z有向分离，则称A和B被Z有向分离desp_G（A，Z，B），记作A╨B|Z。

然而，有向分离需要考虑节点与节点之间所有的路径，而路径的数目是随着节点数目的增多呈现指数级别增长的。可以通过下面的定理来简化对有向分离的分析。

定理3.1 判断G中的节点集X和Y是否被Z有向分离，等价于判断X和Y是否在新的有向无环图G′中无连接路径，而G′是根据下面的规则通过修剪G而得到的

（i）从G中删除所有不属于X∪Y∪Z的叶节点，重复这一步直到无满足条件的叶节点存在为止；

（ii）删除从Z中节点输出的所有边。

通过定理3.1，可以将有向图简化成非连接图，这样就可以在线性时间内判断是否满足有向分离，从而降低分析的复杂度。前面提到有向分离对应于条件独立，而在贝叶斯网络中，当结构图中的X和Y被Z有向分离时，根据有向分离定义可以推出X和Y关于Z必然是条件独立的。然而，当X和Y关于Z条件独立时，X和Y是否能被Z有向分离呢？答案是未必。例如，假设贝叶斯网络中存在三个节点X_i→X_k→X_j，假设均为二态节点，根据有向图定义可知当X_k已知时，X_i和X_j并非条件独立。然而，假设节点X_k的条件概率为θ_Xk|Xi=，根据贝叶斯条件概率公式可知：

这样虽然X_k和X_i之间存在边连接但它们还是满足条件独立性。同样，可以推出X_i和X_j条件独立，这也与有向分离相矛盾。实际上，对于贝叶斯网络N=(G，Θ)及联合概率P(V)，若X和Y被Z有向分离，则对于任意的网络参数Θ，X和Y关于Z条件独立；若X和Y不被Z有向分离，则X和Y是否关于Z条件独立取决于网络参数Θ的选择。