1.1.3 平面机构的自由度

1.1.3.1 构件的自由度及其约束

一个构件做平面运动时，具有3个独立的运动：沿x轴和y轴的移动以及绕垂直于xOy平面的A轴的转动，如图1-1-4所示。构件的独立运动称为构件的自由度。所以，一个做平面运动的自由构件具有3个自由度。

如果一个平面机构有N个构件，其中必有一个构件是机架（固定件），该构件受到3个约束而自由度自然为零。此时，机构的活动构件数为n=N-1。显然，这些活动构件在未连接组成运动副之前总共应具有3n个自由度。而当这些构件用运动副连接起来组成机构之后，它们之间的相对运动就会受到约束，相应的自由度数也随之减少。不同类型的运动副受到的约束数不同，剩下的自由度数也不同。对于每个平面低副（不论是转动副还是移动副），两构件之间的相对运动只能是转动或移动，故它是具有一个自由度和两个约束条件的低副，即引入两个约束而剩下一个自由度；对于平面高副，其相对运动为转动兼移动，所以，它是具有两个自由度和一个约束条件的高副，即每个高副引入一个约束而剩下两个自由度。

若机构中共有P_L个低副和P_H个高副，则这些运动副引入的约束总数为2P_L+P_H。所以，用活动构件总的自由度数减去运动副引入的约束总数就是机构的自由度数。机构的自由度用F表示，即

式中 n——机构的活动构件数；

P_L——机构中低副个数；

P_H——机构中高副个数。

式（1-1）就是机构自由度的计算公式，它表明机构的自由度数、活动构件数和运动副数之间的关系。显然，只有在自由度大于零时机构才可能动，而自由度等于零时，机构是不可能产生任何相对运动的。因此，机构能具有相对运动的条件是F＞0。

应用式（1-1）计算机构自由度时，F＞0的条件只表明机构能够动，并不能说明机构是否有确定运动。因此，尚需进一步讨论在什么条件下机构才有确定运动。

现举例说明：图1-1-5所示为一四杆机构，其活动构件数n=3，低副数P_L=4，高副数P_H=0。所以，机构的自由度为

F=3n-2P_L-P_H=3×3-2×4-0=1

图1-1-6所示为一五杆机构，其自由度为

F=3n-2P_L-P_H=3×4-2×5-0=2

1.1.3.2 机构具有确定运动的条件

由以上计算可知，两者自由度皆大于零，说明机构能够运动。但是否有确定运动，还需进一步讨论。对于图1-1-5所示的机构来说自由度为1，所以，如果给定某一构件以已知运动规律（图中设定为构件1，通常称为主动件）运动，则其他构件均能做确定的运动，且为已知运动规律的函数。而图1-1-6所示机构的自由度为2，即如果给定两个构件（如构件1和4）以已知运动规律运动，则其他构件才能有确定运动。否则，如果仅给定一个构件以已知运动规律运动，则其他构件将不会有确定运动。

对于图1-1-7所示的构件组合，其自由度为

F=3n-2P_L-P_H=3×2-2×3-0=0

计算结果F=0，说明该构件组合中所有活动构件的总自由度数与运动副所引入的约束总数相等，各构件间无任何相对运动的可能，它们与机架（固定件） 构成了一个刚性桁架，因而也就不称其为机构。但它在机构中，可作为一个构件处理。

综上所述，机构具有确定运动的条件是：

1）自由度F＞0。

2）自由度F等于机构主动件的个数。

1.1.3.3 计算自由度时应注意的一些问题

1.复合铰链

复合铰链是由两个以上的构件通过转动副并联在一起所构成的铰链。图1-1-8a为钢板剪切机的机构运动简图，B处是由2、3和4三个构件通过两个轴线相重合的转动副并联在一起的复合铰链，其具体结构如图1-1-8b所示。因此，在统计转动副数目时应根据运动副的定义按两个转动副计算。同理，当用K个构件组成复合铰链时，其转动副数应为(K-1)个。这样，该机构共有活动构件数n=5，低副数P_L=7（其中滑块5与机架构成移动副，其余均为转动副），高副数P_H=0。所以，由式（1-1）得该机构自由度为

F=3n-2P_L-P_H=3×5-2×7-0=1

2.局部自由度

机构中某些不影响整个机构运动的自由度，称为局部自由度。在计算机构自由度时应将局部自由度除去不算。

如图1-1-9a所示的凸轮机构，为了减小高副接触处的摩擦，变滑动摩擦为滚动摩擦，常在从动件3上装一滚子2。当主动凸轮1绕固定轴A转动时，从动件3在导路中上下往复运动。滚子2和从动件3组成一个转动副，显然，滚子2的转动快慢与否，对整个机构运动无任何影响，即可将从动件3与滚子2看成一体，如图1-1-9b所示。

由此可见，这种与机构运动无关的构件的自由度称为局部自由度，在计算机构自由度时应除去不计。此时，该机构的活动构件数n=2，低副数P_L=2，高副数P_H=1，则该机构的自由度为

F=3n-2P_L-P_H=3×2-2×2-1=1

局部自由度虽不影响机构的运动规律，但可以将高副接触处的滑动摩擦变为滚动摩擦，改善机构的工作状况，因此在机械中常有局部自由度存在。

3.虚约束

虚约束是指机构运动分析中不产生约束效果的重复约束，在计算机构的自由度时，应将虚约束去除。图1-1-10为一四杆机构，构件3与机架在C和D处组成两个移动副，且构件3的运动与两移动副的导路中心线重合。因此，这两个移动副之一实际上并未起到约束作用，即从运动角度来看，去掉一个移动副（C或D），并不影响构件3做水平方向的移动。因此，在计算机构自由度时，应将其中之一（C或D）作为虚约束处理，即除去不计。这样，机构的自由度为

F=3n-2P_L-P_H=3×3-2×4-0=1

此结果与实际情况一致。

虚约束经常出现的场合有：

1）重复移动副。两构件之间组成几个导路互相平行或重合的移动副，只有一个移动副起约束作用，其他处则为虚约束，如图1-1-10所示。计算自由度时，只按一个移动副计算。

2）重复转动副。两构件之间组成几个轴线互相平行或重合的转动副，只有一个转动副起约束作用，其他处则为虚约束，如图1-1-11所示。计算自由度时，只按一个转动副计算。

3）重复的运动轨迹。如图1-1-12 a、b分别为火车头驱动轮联动装置示意图和机构运动简图，其形成一个平行四边形机构，其中构件4及转动副E、F存在与否并不影响平行四边形ABCD的运动，也可以说，构件4和转动副E、F引入的一个约束不起限制作用，是虚约束。进一步可以肯定地说，三构件AB、CD、EF中缺省其中任意一个，均对余下的机构运动不产生影响，实际上是因为此三构件的动端点的运动轨迹均与构件BC上对应点的运动轨迹重合。应该指出，AB、CD、EF三构件是互相平行的，否则就形成不了虚约束，机构就出现过约束而不能运动。

除去虚约束之后，如图1-1-12c所示，求得该机构的自由度

F=3n-2P_L-P_H=3×3-2×4-0=1

4）重复高副。机构中对传递运动不起独立作用的对称部分（指高副）为虚约束。如图1-1-13所示的行星轮系，为了受力均衡，采用了3个行星轮2、2′、2″对称布置，它们所起的作用完全相同，从运动的角度来看，只需要一个行星轮即可满足要求。因此，其中只有一个行星轮所组成的运动副为有效约束。

应当指出，虚约束是在特定的几何条件下形成的，它的存在虽然对机构的运动没有影响，但是它可以改善机构的受力状况，增强机构工作的稳定性。如果这些特定的几何条件不能满足，则虚约束将会变成实际约束，使机构不能运动。因此，在采用虚约束的机构中对它的制造和装配精度都有严格的要求。

【例1-2】 计算图1-1-14a所示大筛机构的自由度，并判断其有无确定的运动。

解：机构中滚子的自转为一个局部自由度。顶杆7与机架8在E和E′组成两个导路重合的移动副，其中之一为虚约束。C处是复合铰链。现将滚子与顶杆看成一体，除去虚约束E′，如图1-1-14b所示。该机构的活动构件数n=7，低副数P_L=9（7个转动副和2个移动副），高副数P_H=1，则该大筛机构的自由度为

F=3n-2P_L-P_H=3×7-2×9-1=2

此大筛机构的自由度等于2，有两个主动件，故该机构具有确定的相对运动；否则，机构的运动不能确定。