成数再保险——连续型随机变量函数的分布（分布函数法）_第四届（2018）北京高校数学微课程教学设计竞赛优秀作品与教改论文集锦-QQ阅读男生玄幻网

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成数再保险——连续型随机变量函数的分布（分布函数法）

刘新红

北京石油化工学院

作品标题：成数再保险——连续型随机变量函数的分布（分布函数法）

所属课程：概率论与数理统计

相关知识点：连续型随机变量函数的分布

一、教学背景

引入随机变量，使我们能用随机变量来描述各种随机现象，并能利用数学分析方法对随机试验结果进行深入研究和讨论，这是大学概率内容与中学概率内容的本质区别。前面学生已经学习了随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的分布函数、连续型随机变量的概率密度、离散型随机变量函数的概率分布等知识。本次课主要涉及随机变量的分布函数定义、分布函数的导数，以及高等数学中的复合函数求导等知识。

二、教学目标

（1）知识目标：掌握分布函数法，通过分布函数法计算随机变量函数的概率分布。

（2）能力目标：将实际问题加以抽象，培养学生建立概率模型的能力，使学生能够获得分析和解决实际问题的能力。

（3）素质目标：理解分布函数法的思想，建立“借水行舟”的推理思维。

三、教学内容

（1）通过三个实例说明“已知连续型随机变量X的概率分布，求它的函数的概率分布”是我们要解决的问题。

（2）通过实例——成数再保险，找到解决随机变量函数分布的方法——分布函数法。

（3）总结“分布函数法”的步骤、思想、应用。

四、教学重点与难点

1.教学重点

（1）“分布函数法”的思想。

（2）“分布函数法”的步骤。

2.教学难点

“分布函数法”的思想。

五、教学方法

（1）通过实例和多媒体图片，展示学习内容，利用案例“成数再保险”激发学生的学习兴趣。

（2）以启发式和提问式语言引导学生思考。

（3）列举生活实例，使学生会根据基本概率理论解释生活中的随机现象。

（4）突出新旧知识的联系与区别。

（5）重点讲解。由问题导入，启发学生思考，接着进行分析推理，帮助学生构建新知识，使其通过新知识解决实际问题。

（6）引导学生进行推理，建立分布函数法的推理思维。

遵循循序渐进的认知规律，结合生活中的实际例子，利用叙述、提问方式，引导学生学习“分布函数法”，并随堂检验学生的掌握程度。

六、教学过程

本节课用到的旧知识如下。

定义1　设是一个随机变量，是任意实数，函数

称为随机变量的分布函数。

定义2　如果对于随机变量的分布函数，存在非负可积函数，使得对于任意实数有

则称为连续型随机变量，其中函数称为的概率密度函数，简称概率密度，且由推出。

在实际中，我们常对某些随机变量的函数更感兴趣。例如，在一些试验中，我们所关心的随机变量往往不能直接测量得到，而它却是某个能直接测量的随机变量的函数。例如：①我们能测量零件圆形截面的直径，而我们关心的是截面面积，这里，随机变量是的函数，若直径，截面面积服从什么分布？②电机的噪声电压服从一定的概率分布，而它的功率（为电阻大小，设为常数）是电压的函数，我们关心噪声功率的概率分布情况，即若电压，功率服从什么分布呢？③假设风速，而飞机的机翼所受的正压力（为常数）是风速的函数，我们关心正压力的概率分布情况。

三个问题的共性：随机变量的分布已知，求它的函数（是已知的连续函数）的概率分布。当取时，取，这是我们今天要解决的数学问题。为了解决这个问题，下面先看一个再保险问题。

投保人支付一定的保费，保险人赔偿可能的损失，这就是原保险——航运保险，若航运风险过大，保险人自己无法独立承担，原保险人就会与再保险人签订合同，支付一定的保费，再保险人分摊一部分损失，若保险人与再保险人签订的是成数再保险合约，原保险人将海上运输风险按照约定的比率分配给再保险人，再保险人承受的风险是，则再保险人应向原保险人收取多少保费？要想弄清楚这个问题，我们需要找到再保险人承受的风险的概率密度函数。