金碧辉煌的大厦拔地而起

1915年11月4日，在普鲁士学院大会上，爱因斯坦首次将自己的扛鼎之作公布于众。他兴高采烈地将一个为复杂的引力理论提出的、包含广义协变的场方程式展现给大家。11月18日，他给同一拨人又作了一次讲话，讲话中他给出了对水星轨道进动的解。他的计算与观测实际完全吻合，他已经成功地站得比牛顿更高。虽然并不是所有的行星都验证了他的理论，但是水星确实给了他一个很好的证明。两个月后，他写信给奥地利物理学家、他的好朋友保罗·埃伦费斯特说：“你能想象，当我得知广义协变和近日点水星进动的方程得出的结果没错的时候，我有多开心吗！我激动得一连好几天都说不出话来。”[8]

爱因斯坦也给柏林的同事带来了荣耀。1916年3月20日，爱因斯坦在权威的《物理学杂志》上发表了自己的理论。很快，当时仍在俄国前线服役的德国物理学家卡尔·史瓦西（Karl Schwarzschild）就推导出了广义相对论引力场的第一个严格的解法。最了不起的是，他只是读了一篇关于爱因斯坦在11月18号作讲话的报道，就计算出了质量巨大的球状物体（例如行星）的引力。战争期间暗无天日，但是爱因斯坦的天才发现却比炮火更加耀眼，点亮了战区的天空，至少给史瓦西带来了希望和鼓舞。不幸的是，史瓦西得了致命的自身免疫性疾病，于1916年5月11日病逝，享年42岁。几十年之后，史瓦西解法将会用于描述黑洞。之后又有多人也发现了爱因斯坦广义相对论方程式的其他解——当然他们所处的环境要比史瓦西的好多了。

有了宇宙的物质和能量的坚实基础，爱因斯坦的黄金大厦终于矗立起来了。从任意的物质和能量的分布出发，加之应力能量张量的形式“Tμν”，广义相对论的场方程就会告诉你另一个数学单元的量，这个单元代表着时空几何，叫作爱因斯坦张量“Gμν”。“Gμν=8πTμν”（可以写成多种形式）与“E=mc2”以及光电效应方程一起，被视作爱因斯坦最重要的贡献。这三个方程被刻在华盛顿的爱因斯坦雕像上，以纪念他的过人智慧。

知名物理学家理查德·费曼所讲的一则趣闻，表明爱因斯坦场方程式经常出现在现代有关引力的各种讨论中。费曼曾受邀参加第一届美国广义相对论的会议（Chapel Hill，1957）。当他到达机场，要打车去会议现场时，才发现自己不知道到底是要去北卡罗来纳大学还是北卡罗来纳州立大学。他便问调度员有没有注意到有群心不在焉的人，嘴里不停咕哝着“G-mu-nu, G-mu-nu”。[9]

爱因斯坦方程式的要点是：某区域内的几何（用爱因斯坦张量表示）由自身物质和能量决定（由应力能量张量表示）。换言之，质量和能量导致时空弯曲——决定了时空朝哪儿弯、怎么弯。反过来说，时空的形状决定了其范围内的物体运动。于是乎，爱因斯坦方程式完美地将宇宙中的物质和宇宙形状联系了起来。

任何张量都可以用其自身的变量的矩阵或者数组写出来，就如同棋盘一般。爱因斯坦张量和应力能量张量各自可以用4x4的矩阵表示。它们各自都有16个自变量，但并不是所有的自变量都是独立存在的。对称法则要求，如果某个确定行数和栏数（例如第三行和第四栏）的某变量有特殊值，那么颠倒行数和栏数相对位置上的变量一定是相同的（例如第四行和第三栏）。这就像在国际象棋棋盘上沿对角线对称摆放棋子一样。我们就称这样的张量为对称张量。

根据对称法则，爱因斯坦张量有10个独立变量。应力能量张量也是如此。因此将两个张量联系在一起的爱因斯坦方程式，在变量之间建立起了10个独立的关联。这些变量展示了物质和能量如何在时间和空间上产生不同的影响。有些变量之间的关联可能会导致伸展或者压缩，有些变量可能会导致扭曲和旋转。由于物质和能量的引力作用，时空中所有可能发生的情况，都可以用该方程式来描述。

如果爱因斯坦方程式就是这么简单优雅，为什么他耗时数年才推导出来？俗话说得好，知易行难，细节决定成败。因为只把爱因斯坦张量代入，是无法直接算出行星或恒星之类的天文对象的运动规律的。因为物体运动的方式还由另一个数学单元决定——度规张量。很少有人能意识到要从爱因斯坦张量跨到度规张量这一步，并且也意识不到这一步需要好几个不同的步骤。

假设你已知某区域内的质量能量分布，并且希望能够确定物体穿过该区域时会如何运动，所需步骤如下：首先，利用爱因斯坦方程式从应力能量张量中计算出爱因斯坦张量。爱因斯坦张量和与之相关的黎曼曲率张量（前者是后者的简写形式）逐点对时空曲率进行信息编码。接着，要么用爱因斯坦张量自变量，要么用黎曼张量自变量来构建叫作仿射联络（又称克里斯托费尔联络）的几何对象。逐个点移动向量变量（带有量度和方向的对象）时（尽可能地使它们平行），这些联络决定了它们是如何变换的。接下来，利用仿射联络得出度规张量的各个变量。度规张量通过确定点与点之间的距离，将时空的结构联结在一起。它给弯曲的时空提供了一个毕达哥拉斯定理的变体。最后，利用度规可以确定物体穿过空间时的最直接的路径。由于时空的弯曲，所以路径通常是曲线。太阳系行星的椭圆形轨道就是很好的例子。

就连博士生都有可能被广义相对论中的数学知识难倒，但是我们这里还是尝试用一个类比来解释一下它的各个不同层次。我们从一个平面开始，例如广袤无垠的沙漠，用它代表空虚的时空。我们在平坦的沙地上撒上很多形状、大小、重量各异的石头，它们象征着宇宙中各式各样的巨大物体，例如恒星和行星。我们发现，较重石头的压痕要比较轻的石头压痕深。没有石头的地方，沙漠就是平整的。因此，某个特定区域中的物体质量越大（如同应力能量张量所记录的那样）物体陷下去得越深（代表由爱因斯坦张量测量出的较大曲率）。

现在，再想一下我们的比喻，沙石太烫，我们根本不能在上面行走。所以我们需要在沙石上面建一层结实的罩篷，支撑罩篷的结构会反映出地形地貌。我们把无数的柱子（局部的坐标轴）和线（仿射联络）连接起来，做成一个骨架结构。这些线以某种角度连接着不同的柱子，以此来控制柱子的指向。同样的道理，仿射联络决定了坐标轴系在某种结构（取决于基底是鼓起还是凹陷）中是如何穿过空间发生变化的。

最后，我们沿着骨架结构搭一个坚实的罩篷。有些地方，我们需要把紧紧相邻的点缝合到一起，所以布料就会出现弯曲。在另外还有一些地方，相邻的点稍松一些。缝制的方式代表着度规张量，它决定了如何使罩篷能够贴合下方物体的结构（还有物体下方的沙子的凸起和凹陷）。这样我们就能看到度规张量是如何在仿射联络的控制下，将时空的纤维结构缝制起来了，反过来，仿射联络也取决于由应力能量张量形成的爱因斯坦张量。明白了吧。

让我们在时空罩篷上走走看吧。想走得更快，就得沿直线行走。可是罩篷上贴合下方的巨大岩石而形成的凹陷，使得哪怕是最直的路线，也会朝各个方向偏离。结果是，我们是沿着某条由凹陷造成的椭圆形曲线行走。奇怪吧，我们已经开始沿轨道运行了，就像小薛定谔玩行星游戏围着姨母转圈一样。