工作任务四 恒定总流的动量方程
在一些水力学问题中，需要求解水流对边界的作用力问题，如需确定水流对闸门、溢流坝、桥墩的作用力，输水管中水流对管道的作用力，河道弯段中水流对凹岸的侧向作用力，以及射流的冲击力等。由于这些力处于急变流段，无法用能量方程求解，恒定总流的动量方程可解决此类问题。
一、公式推导
动量是指运动物体的质量与其速度的乘积。例如一运动物体的质量为m，速度为v，其动量等于mv。动量是既有大小也有方向的矢量，其方向与速度的方向相同。
动量定律可表述为：运动物体在单位时间内动量的变化量等于物体所受所有外力的合力。其数学表达式为：
式中
——作用在运动物体上所有外力的合力；
——物体受力后的运动速度；
——物体受力前的运动速度；
Δt——外力作用在物体上的时段长。
下面推导恒定总流的能量方程。
在恒定流中取出一水流段（1—2段）作为脱离体来研究，如图2-17所示。该流段的水体在外力作用下，经过Δt时段后，从1—2位置移到了1′—2′位置。1′—2段水体在Δt时段内，虽然水流质点总是在变化，但因水流是不可压缩、不能膨胀的连续介质恒定流，1′—2段的水体质量和该位置上各点流速都不会改变，因此1′—2段的动量没有发生变化。则所研究脱离体经Δt时段的动量变化应该等于2—2′段和1—1′段的动量差。
图2-17
考虑到过水断面上各点的流速大小分布的不均匀性，在用过水断面平均流速计算动量时，需乘以一个动量修正系数β加以修正。
2—2′段水体的实际动量为
，1—1′段水体的实际动量为
，1—2流段水流在Δt时段内的动量变化量为：
将上述动量的变化量代入动量定理表达式，可得：
上式即为恒定总流的动量方程，这是一个矢量方程，实际上常用三个坐标轴上的投影式来表示，即
∑Fx=ρQ（β2v2x-β1v1x）
∑Fy=ρQ（β2v2y-β1v1y）
∑Fz=ρQ（β2v2z-β1v1z）
式中 ∑Fx、∑Fy、∑Fz——所有外力在x、y、z轴方向的投影的代数和；
v1x、v2x——两个过水断面的平均流速在x轴上的投影；
v1y、v2y——两个过水断面的平均流速在y轴上的投影；
v1z、v2z——两个过水断面的平均流速在z轴上的投影；
β1、β2——两个过水断面的动量修正系数，一般取β1=β2=1.0。
二、动量方程的应用条件
动量方程在应用时，必须满足以下条件：
（1）水流为恒定流，流量沿程不变。
（2）水流是连续的、不可压缩的均质液体。
（3）脱离体两端的断面必须为渐变流断面，但脱离体内部可以为急变流。
为了更好地利用动量方程解决实际问题，还需注意以下几点：
（1）脱离体的选取。根据具体问题需求，选取包含已知条件和待求量的流段作为脱离体，但流段上、下游断面必须为渐变流断面。
（2）外力的分析。分析并标出作用在脱离体上的所有外力，一般作用在脱离体上的外力有三类：两过水断面上的动水压力、脱离体的水重、除两过水断面以外的固体边界作用于脱离体上的反力。
（3）坐标轴的选取。坐标轴原则上讲可以任意选取，但应考虑到计算方便。把流速和各力投影到各坐标轴上，确定它们的大小和方向，并将其标注在受力分析图上。
（4）动量增量的计算。计算动量增量时，一定是流出的动量减去流入的动量，切忌颠倒。
（5）动量修正系数β的选取。一般取β1=β2=1.0。
（6）动量方程只能求解一个未知数，若方程中有多个未知量时，多与连续性方程和能量方程联合求解。
三、动量方程的应用
（一）水流对溢流坝面的水平总作用力
【例题2-6】矩形断面河道中修建一溢流坝，如图2-18所示。已知坝宽b=20m，过流量Q=180m3/s，上游水深H=9m，下游水深ht=3m。如不计摩擦阻力，试计算作用在坝面上动水总压力的水平分力。
图2-18
解：溢流坝坝面形状为曲面，水流流经溢流坝面时，流线弯曲剧烈，作用在坝面上的动水压力存在于上游面、坝顶和下游面三部分，比较复杂，其动水总压力的水平分力只能用动量方程来求。
（1）取脱离体。在溢流坝上、下游的渐变流段分别取过水断面1—1和2—2，将两过水断面之间的水体GABCDEF取出作为脱离体。
（2）选定坐标。选坐标xoy，并将坐标轴x平行于水平面，如图2-18（b）所示。
（3）分析、计算脱离体上所受外力。不计摩擦阻力，作用在脱离体上的水平外力共有三个，分别为：作用在两过水断面上的动力压力P1和P2，坝体对水流的反作用力R的水平分力Rx。其中，P1与x轴方向一致，取正号；P2与x轴方向相反，取负号；Rx与x轴方向相反，取负号。将所有外力及方向标注在图2-18上。
作用在两过水断面上的动力压力P1和P2大小可按静水总压力公式求得：
（4）列x轴方向的动量方程。
列脱离体GABCDEF的动量方程为：
∑Fx=P1-P2-Rx=ρQ（β2v2-β1v1）
用流量和过水断面面积计算过水断面1—1和2—2的平均流速为：
取β2=β1=1，则坝体对水流的反作用力R的水平分力Rx为：
Rx=P1-P2-ρQ（v2-v1）=7938-882-1×180×（3.0-1.0）=6696（kN）
水流对坝体作用力R′的水平分力R′x与坝体对水流反作用力的水平分力Rx大小相等、方向相反，则
R′x=6696kN
方向与x轴方向一致。
（二）水流对支座的轴向作用力
【例题2-7】水泵站压力水管的渐变流段如图2-19所示。已知直径d1=2.0m、d2=1.0m，渐变段起点处压强p1=343kN/m2，管中通过的流量Q=2.0m3/s，动能修正系数α=1.0，动量修正系数β=1.0。如不计渐变流段能量损失，试求渐变段支座承受的轴向力。
图2-19
解：（1）取脱离体。取渐变流段起始断面1—1和渐变流段出口断面 2—2间的水体为脱离体进行研究。
（2）进行受力分析。脱离体在轴向只受到三个力的作用：两个渐变流断面上的动水总压力P1、P2和管壁对水的轴向作用力Rx。
（3）选坐标轴。因只研究轴向力，仅选坐标轴x方向，如图2-19所示。将各流速和各力均投影在x坐标轴上，力、流速与坐标轴方向相同时为正，与坐标方向相反时为负。
（4）列动量方程的投影式求解。
∑Fx=ρQβ（v2x-v1x）
又
∑Fx=P1-P2-Rx=p1A1-p2A2-Rx
则
p1A1-p2A2-Rx=ρQβ（v2x-v1x）
上式中，除p2和Rx外均已知，或可求得，但一个方程不能求解出两个未知数，需与其他方程联合求解。
（5）列能量方程求断面2—2的动水压强。以管轴为基准面，取管轴线上的点为代表点，列断面1—1和断面2—2的能量方程。因不计渐变流段能量损失，且z1=z2=0，能量方程可写为：
又
则
（6）计算管壁对水的轴向作用力Rx。将p2=339.96kN/m2及其他已知量代入公式
p1A1-p2A2-Rx=ρQβ（v2x-v1x）
得
（7）渐变段支座承受的轴向力与Rx大小相等，方向相反。
（三）射流对固定平板的冲击力
1.作用在固定平板的冲击力
【例题2-8】水流由管道末端的喷嘴水平射出，冲击到铅垂的固定板，水流沿板面向四周散开，转了一个90°的方向，如图2-20所示。若射流的流量为Q，不计空气阻力及水头损失，求射流对固定板的作用力。
解：在射流转向以前取过水断面1—1，与射流完全转向后取过水断面2—2，以断面1—1和断面2—2之间的水体为脱离体，以水平向右作为x轴的正方向。
分析脱离体所受的外力：由于射流的周界及转向后的水流表面都在大气中，可认为断面1—1和断面2—2的动水压强等于大气压强，即p1=p2=0；射流方向为水平方向，可不考虑重力作用，所以，只有平板对水流的反力R，其方向水平向左，取负号。
图2-20
列x轴方向的动量方程，有
∑Fx=-R=ρQ（β2v2x-β1v1x）
因为不计水头损失，由能量方程可知v1=v2。流速在x轴的投影v1x=v1，v2x=0。取β1=β2=1.0，则
R=ρQv1
因为计算的结果为正值，说明假定方向就是实际方向。射流作用在固定板上的冲击力R′=R，方向与R相反。
2.作用在固定凹面板上的冲击力
如果射流冲击的是一块如图2-21所示的垂直固定凹面板，射流冲击凹面板后散开时转了一个θ角度。取射流转向以前的过水断面1—1及射流完全转向以后的过水断面2—2之间的水体为脱离体，列x轴方向的动量方程，有
∑Fx=-R=ρQ（β2v2cosθ-β1v1）
因为不计水头损失，由能量方程可知v1=v2，取β1=β2=1.0，得
R=ρQv1（1-cosθ）
射流在固定凹面板上的冲击力R′=R，方向与R相反。
图2-21
由于凹面板末端的切线与x轴的夹角
，则cosθ为负值，所以，作用在凹面板上的冲击力大于作用在平面板上的冲击力。冲击式水轮机的叶片（水斗）做成一个凹面，就是为了增大水流的作用力。