第四节 土壤水分运动方程

土壤水运动主要指液态水流动。在一定条件下，土壤水分也可以气态水形式运动，在本节中，主要讨论液态水流动。

土壤是否饱和主要指土壤孔隙被水分占有的程度而言，当土壤孔隙体积全部被水充满时，称为饱和土壤；当土壤孔隙部分被水充满时，称为非饱和土壤。前者为土粒和水组成的二相物质系统；后者为土粒、水、空气组成的三相物质系统，它们的水力特性不同，其水流运动的基本规律也不同。在饱和状态下，土壤水在重力势和压力势的作用下，产生饱和水流运动，属自由重力水的渗流；而在非饱和状态下，土壤水在基质势和重力势作用下，产生非饱和水流运动。土壤含水率处于非饱和状态时，土壤水运动因受基质势和重力势控制，基质势又与土壤含水率关系密切，而含水率在水分运动过程中是时间和空间的函数，因此非饱和水流运动比饱和水流运动复杂得多，并且在实践中比饱和水流现象更为普遍。

一、土壤水分运动规律——达西定律

1.饱和土壤水分运动规律

饱和土壤水分运动方程是1856年达西（Darcy）提出，因而也称为达西定律，其表达式为

式中：V为沿L方向的渗流流速，m/d；K_s为饱和水力传导度，m/d；ψ为饱和土壤的总水势，m；L为渗流方向上的距离，m；∂ψ/∂L为水势梯度。

式（5-23）中的负号表示土壤水流运动方向总是朝着水势降低的方向。要注意，渗流流速V是断面（包括土壤介质）流速的平均值，不是水质点的实际流速。

对于均质三维土壤水分运动，达西定律又可写成如下形式：

对于饱和土壤，水力传导度K_s为一常数。因此，式（5-23）表明，饱和土壤中水流的流速与水势梯度的一次方成正比。因此，达西定律也称为土壤水运动的线性定律。

水力传导度K_s是表示土壤透水性能的数量指标，亦称渗透系数。在数值上等于水力坡度为1时的渗透速度。土壤的透水性越强，渗透系数越大，反之亦然。对于饱和土壤来说，水力传导度为一常数。影响水力传导度的因素很多，包括土壤颗粒组成、孔隙度、孔隙大小、形状及连续性、液体的黏滞性、密度和温度等。不同土壤的K_s值差别较大，对同一土壤K_s值也有变化。表5-1列出了几种土壤的K_s值，可供参考。

由于饱和土壤中水势梯度呈线性变化，因此可将其写成差分形式，即

达西定律并不是对任何水流状态都适用，它只适用于层流运动。饱和土壤中的重力水流，一般可以满足这一条件。判别流态常用雷诺数N_γ作为标准，土壤中运动水流的雷诺数用下式计算

式中：ρ为液体密度，kg/m³；V为水流平均速度，m/s；d为土壤颗粒的平均粒径，m；μ为动力黏滞系数，N·s/m²。

当土壤的孔隙过大时，水流会发生紊流现象，达西定律不再适用；同样，当土壤的孔隙过小时，水流的流速非常低，也超过了层流的范围，达西定律同样也不适用。大量的文献成果表明，多孔介质的水流，N_γ≤10时，应用达西定律有效；当水流呈紊流时，则有谢才公式；当水流介于雷诺数大于10与紊流之间时，则有斯姆莱公式V=K_sJ^1/m（式中，1＜m＜2）。因而在粗砂或黏土介质的情况下，应用达西定律需要慎重。2.非饱和土壤水分运动规律

尽管达西定律是在饱和土壤条件下提出的，但Richards于1931年通过实验证明，达西定律同样适用于非饱和土壤中的水流运动。但式中各量与饱和水流运动时有着质的区别。非饱和土壤水受重力势和基质势的作用，基质势是土壤含水率的函数，且具有滞后现象；饱和水流的水力传导度是一个常量，在非饱和水流时，由于土壤孔隙中有空气存在，使有效过水面积减少，不再等于孔隙度，而是随着土壤含水量的减小而减小，故土壤水力传导度是土壤含水量的函数，记为K（θ）。非饱和水流运动的达西定律数学表达式为

式中：V为非饱和土壤中的渗流速度，cm/d；K（θ）为非饱和水力传导度，是含水率的函数，cm/d；ψ为非饱和土壤的总水势，cm；L为渗流方向上的距离，cm；∂ψ/∂L为水势梯度，由于水势梯度随水流距离增长而变小，故为负值；其余符号意义同前。

对于均质三维土壤水分运动来说，非饱和土壤的达西定律又可写成如下形式：

对于垂直一维非饱和土壤水流，注意到ψ=ψ_m±z，达西定律可写成：

水平一维土壤水流的达西定律为

或与饱和水力传导度不同的是，非饱和水力传导度随土壤含水率的增加而增加。当土壤含水率达到饱和时，水力传导度K（θ）达到最大，此即为饱和水力传导度，如图5-7所示。

由上述可知，饱和土壤水分运动与非饱和土壤水分运动至少存在两方面的差异。首先，两者总水势的组成不同，在饱和土壤中，总水势由重力势和压力势组成，而在非饱和土壤中，总水势则由重力势和基质势组成；其次，两者的水力传导度不同，饱和水力传导度是一个常数，非饱和水力传导度是土壤含水率的函数。显然，非饱和水流要比饱和水流的运动复杂得多。

二、非饱和土壤水分运动连续方程

非饱和土壤水分运动连续方程是指根据质量守恒定律（或水量平衡原理）来推导的。设想从非饱和土壤中任意取一点，并以此点为中心取一个无限小的微单元体，其边长分别为dx，dy和dz，且各边长与坐标轴相平行，如图5-8所示。

设土壤水分运动的初始时刻为t，在Δt时间内沿x方向进入该单元体的土壤水量为流出单元体的土壤水量为

沿x方向，Δt时间内流入和流出该单元体的水量差值为

同理，沿y和z方向Δt时间内流入和流出该单元体的水量差值分别为

因此，Δt时间内，流入和流出该单元体的总的水量差值为

根据质量守恒原理，一定时间内，流入和流出该单元体的水量的差值应等于该单元体内的土壤水量的变化量，即有：

式中：θ为包气带土壤的体积含水率，cm³/cm³；其余符号意义同前。

若土壤的固相骨架不变形（假设水体不可压缩，即水的密度保持不变），由此可得

此式即为非饱和土壤水分运动的连续方程。

三、非饱和土壤水分运动基本方程

土壤水分运动基本方程是建立在土壤水分运动基本规律和质量守恒原理基础上的。达西定律则是描述多孔介质中流体流动所应遵循的运动规律，但单独的达西定律只能说明稳定的或固定的水流过程，对于不稳定的或无常的水流过程，其水流通量和水势梯度的大小是随时间而变化的，这就需要应用基本方程来描述这种水流运动。将质量守恒原理和达西定律相结合便可推导出描述土壤水分运动的基本方程。

根据达西定律，流速在三个方向上的分量为

将式（5-33）代入式（5-32）得

式（5-34）即为描述非均质土壤（各向异性）非饱和土壤水流运动的基本方程，也称Richards方程，是由Richards于1931年推导的，式中K（θ）与ψ_m都是θ的函数。

当土壤为均质、各向同性时，则有K_x（θ）=K_y（θ）=K_z（θ）=K（θ），式（5-34）变为

由于式（5-35）中含有θ和ψ_m两个变量，为了对其求解，需要将未知变量个数减少。由土壤水分特征曲线可知，θ与ψ_m存在一定的函数关系。为了将方程简化，在此忽略滞后作用，即假定两者之间为单值函数关系。

令则式（5-35）可写成

式中：C（θ）为水容，，即土壤水分特征曲线上斜率的倒数。

若再令D（θ）=K（θ）/C（θ），上式可进一步变为

式中：D（θ）为非饱和土壤水分的扩散率，是土壤含水率θ的函数。

对于一维垂向非饱和土壤水分运动，则有

式（5-37）是研究非饱和下渗问题的重要理论依据。

扩散率一般可用如下形式的经验公式表示：

式中：α、β为经验常数；θ_s为饱和含水率，%。

式（5-36）为均质各向同性非饱和土壤水分运动的基本方程。但此式仍为非线性偏微分方程，需要借助计算机通过数值积分的方法求解。对于具体问题的求解，还需已知相关的初始和边界条件。在利用式（5-35）推求土壤水分运动规律时，必须已知参数K（θ）与θ以及ψ_m与θ之间的函数关系，式（5-34）和式（5-36）分别为适用于非均质非饱和土壤和均质非饱和土壤水分运动的基本方程。

对于饱和土壤水分来说，因土壤含水率不随时间而发生变化，即∂θ/∂t=0，且K（θ）为常数，注意到ψ=ψ_g+ψ_p。因此，式（5-35）可变为

式（5-39）被称为饱和土壤水流运动的拉普拉斯（Laplace）方程，▽²为拉普拉斯算子。可以看出，饱和土壤的水分运动方程比非饱和土壤简单得多。