任务1.5　测量误差的基本内容

测量工作是由观测者使用一定的测量仪器和工具，采用一定的测量方法和程序，在一定的观测环境中进行的。对某一个未知量进行测定的过程，称为观测。对某量进行重复观测时，就会发现，这些观测值之间往往存在一些差异。例如，对某一段距离丈量若干次，量得的长度通常是互有差异。另一种情况是，如果已经知道某几个量之间应该满足某一理论关系，但当对这几个量进行观测后，也会发现实际观测结果往往不能满足应有的理论关系。例如，从几何上知道一平面三角形三个内角之和应等于180°，但如果对这个三角形进行观测，则三个内角观测值之和常常不等于180°。

大量实践表明，在测量工作中，当对某一未知量进行多次观测时，无论测量仪器多么精密，观测进行得多么仔细，观测值之间总是存在着差异。这种差异实质上表现为各次测量所得的数值与未知量的真实值之间的差值，称为测量误差。

测量误差是不可避免的，为了确保测量成果具有较高的质量，使产生的误差不超过一定限度，测量人员必须要充分了解影响测量结果的误差来源和性质，以便采取适当的措施限制和减小误差的产生；同时要掌握处理误差的理论和方法，以便合理消除偏差并取得合理的数值。优秀的测量员不仅要能进行熟练的测量，还应具有对误差情况综合分析，能恰当地选择和应用与作业目的要求相适应的测量方法的能力。

1.5.1　测量误差及分类

按测量误差产生的规律，测量误差分为系统误差和偶然误差两类。

1.系统误差

在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出一定的规律变化，那么这种误差称为系统误差。

（1）系统误差的产生。产生系统误差的原因很多，主要是由于使用的仪器不够完善及外界条件所引起的。例如，量距时所用钢尺的长度比标准尺略长或略短，则每量一整尺均存在尺长误差，它的大小和正负号是一定的，量的整尺数越多，误差就越大。因此，必须尽可能地全部地或部分地消除系统误差的影响。

（2）系统误差的消除。系统误差具有积累性，对测量结果的影响很大，但是具有一定的规律，可以用以下方法进行处理：

1）用计算的方法加以改正。例如，在量距前将所用钢尺与标准长度比较，得出差数，进行尺长改正。

2）用一定的观测方法加以消除。例如，进行水准测量时，将仪器安置在离两水准尺大致相等的地方，可以消除水准仪视准轴不平行于水准管轴的误差；在经纬仪测角中，用盘左、盘右观测值取中数的方法可以消除视准轴误差、横轴误差和竖盘指标差等的影响。

3）将系统误差限制在允许范围内。有的系统误差既不便于计算改正，又不能采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水平角的影响。对于这类系统误差，则只能按规定的要求对仪器进行精确检校，并在观测中仔细整平，将其影响减小到允许的范围内。

2.偶然误差

在相同的观测条件下做一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即误差的大小不等，符号不同，那么这种误差称为偶然误差。

（1）偶然误差的产生及消除。偶然误差是由于人的感觉器官和仪器的性能受到一定的限制，以及观测时受到外界条件的影响等原因所造成的。例如，用望远镜瞄准目标时，由于观测者眼睛的分辨能力和望远镜的放大倍数有一定的限度，观测时受光线强弱的影响，照准目标不能绝对正确，可能偏左一些，也可能偏右一些。又如，水准测量估读毫米时，每次估读也不绝对相同，其影响可大可小，纯属偶然性，但在相同条件下重复观测某一量，出现的大量偶然误差却具有一定的规律性。

为了提高观测成果的质量，同时也为了发现和消除错误，在测量工作中，一般都要进行多余观测。例如，测量一平面三角形的内角，只需要测得其中的任意两个，即可确定其形状，但实际上也测出第三个角，以便检校内角和，从而判断观测结果的正确性。

（2）偶然误差的特性。偶然误差从表面上看，其数值的大小和符号的正负没有什么规律。但从统计学的方法来考虑，偶然误差还是有规律的。为了便于理解，先从下述实例进行分析。

在相同的观测条件下，独立地观测了217个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于它的真值180°，由于观测值存在误差而往往不相等。三角形内角和的真误差（观测值与真值之间的差值）应为

Δi＝（L1＋L2＋L3）i－180°　（i＝1，2，…，n）

式中：（L1＋L2＋L3）i为第i个三角形内角观测值之和。

现取误差区间的间隔dΔ＝3″，将这一组误差按其正负号与误差值的大小排列。出现在某区间内误差的个数称为频数，用K表示，频数与误差的总个数n的比值K/n，称为误差在该区间的频率。统计结果列于表1.4，此表称为频率分布表。

从表1.4中可以看出：小误差出现的百分比较大误差出现的百分比大；绝对值相等的正负误差出现的百分比相仿；绝对值最大的误差不超过某一个定值（本例为27″）。在其他测量结果中也显示出上述同样的规律。通过大量实验统计结果表明，特别是当观测次数较多时，可以总结出偶然误差具有以下规律性：

（1）在一定条件下的有限观测值中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。

（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的可能性大。

（3）绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等，或者说，它们出现的概率相等。

（4）当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零，即为观测次数。换言之，偶然误差的理论平均值为零。

式中：［Δ］为误差总和，即［Δ］＝Δ1＋Δ2＋…＋Δn＝

特性（1）说明误差出现的范围，即误差的有限性；特性（2）说明误差呈单峰性，或称小误差的密集性；特性（3）说明误差方向的规律，称为对称性；特性（4）是由特性（3）导出的，它说明该列误差的抵偿性。

1.5.2　评定精度的指标

在一定观测条件下进行一组观测，必然对应着一种偶然误差分布。如果分布较为密集，则表示该组观测质量较好，也即观测精度较高；反之，如果分布较为离散，则表示该组观测质量较差，也即观测精度较低。所谓精度，是指偶然误差分布的密集或离散的程度。

在相同观测条件下所进行的一组观测，由于它对应着同一种误差分布。故对于这一组中的每个观测值，均称作等精度观测值。若两组观测成果的误差分布相同，便是此两组观测成果的精度相等；反之，若误差分布不同，则精度也不等。

既然精度是指一组误差分布的密集或离散的程度，那么分布越密集，就表示在该组误差中绝对值较小的误差所占的个数相对就越多。在此情况下，该组误差的平均大小就反映了该组观测精度的高低。

用一组误差的平均大小作为衡量精度的指标，实际上有几种不同的定义。常用的精度指标主要有以下几种。

1.中误差

中误差即观测误差的标准差σ，其定义为

式中：［ΔΔ］为一组同精度观测误差Δi自乘的总和；n为观测数。

用式（1.12）求σ值要求观测数n趋近无穷大，实际上是很难做到的。在实际测量工作中，观测数总是有限的，一般采用式（1.13）计算。

式中：m为中误差。

比较式（1.11）与式（1.12）可以看出，标准差σ与中误差m的不同在于观测个数的区别，标准差为理论上的观测精度指标，而中误差则是观测数n有限时的观测精度指标。所以，中误差实际上是标准差的近似值，统计学上称为估值，随着n的增加，m将趋近σ。

【例1.1】　设有甲、乙两组观测值，其真误差，甲组为－4″、－2″、0、－4″、＋3″；乙组为＋6″、－5″、0、＋1、－1″。试分别求出两组观测值的中误差。

【解】　观测值的中误差分别为

由［例1.1］可以看出甲组观测值比乙组观测值的精度高，因为乙组观测值中有较大的误差，用平方能反映较大的影响，因此，测量工作中采用中误差作为衡量精度的标准。

应该再次指出，中误差m表示一组观测值的精度。例如，m甲表示甲组观测值中每一观测值的精度，而不能用每次观测所得的真误差（－4″、－2″、0、－4″、＋3″）与中误差（±3.0″）相比较，来说明一组中哪一次的精度高或低。

2.极限误差

中误差是反映误差分布的密集或离散程度的，不是代表个别误差的大小，因此，要衡量某一观测值的质量，决定其取舍，还要引入极限误差的概念，极限误差又称为允许误差，简称限差。偶然误差的第一特性说明，在一定条件下，误差的绝对值有一定的限值。根据误差理论可知，在等精度观测的一组误差中，误差落在区间（－σ，＋σ）、（－2σ，＋2σ）、（－3σ，＋3σ）的概率分别为

式（1.13）说明，绝对值大于两倍中误差的误差，其出现的概率为4.6%，特别是绝对值大于3倍中误差的误差，其出现的概率仅0.3%，已经是概率接近于零的小概率事件，或者说是实际上的不可能事件。因此在测量规范中，为确保观测成果的质量，通常规定以3倍或2倍中误差为偶然误差的允许误差或限值，即

式中：Δ允（Δ限）为偶然误差的允许值（限值）。

超过式（1.14）中限差的观测值应舍去不用，或返工重测。

3.相对误差

以上所介绍的中误差、极限误差，都是带有测量单位的数值，在测量上称为绝对误差。在某些测量工作中，绝对误差不能完全反映出观测的质量。例如，分别丈量了1000m及50m两段距离，其中误差均为±0.1m，显然不能认为这两段距离的精度相同。这时为了更客观地反映实际情况，引进了一个新的评定精度标准即相对误差。

相对误差等于中误差的绝对值与相应观测值的比值，常用分子为1的分数形式来表示。显然，相对误差没有量纲，即

例如，分别丈量了1000m及50m两段距离，其中误差均为±0.1m，前者的相对误差后者的相对误差为可知，前者丈量精度高。