2.6　随机场理论在土工可靠度计算中的应用

2.6.1　完全不相关距离的提出

在应用随机场理论进行可靠度计算时，常常用Vanmarcke建议的式（2.2.3）确定方差折减函数。从式（2.2.3）中可见，方差折减程度与用以平均的空间范围h及相关距离δu有关。若相关距离一定，h越大，折减得越多。有学者认为h相当于土力学计算中的有效影响深度，对于极限承载力问题为滑动面的切割深度，对于沉降计算则为压缩层厚度。下面讨论这种取法是否合适。

根据方差折减函数的定义式（2.1.17），方差折减函数为“空间平均特性”Yh（z）的方差与“点特性”Y（z）的方差的无因次比。根据式（2.1.18），“空间平均特性”Yh（z）为齐次随机场在局部空间［z，z＋h］上的均值。因此，h即为用以平均的空间范围，其值的确定关系到方差折减函数Γ2（h）的取值。

将土力学计算中的有效影响深度记为L，通常，土性指标的均值和方差在此深度范围内进行统计。若h＝L，则在L范围内对土性指标进行平均，得到若所研究土层的厚度也为L，那么用以计算局部平均Yh（z）的均值和方差的样本数只有一个YL，显然，这是不合理的。

此外，若将有效影响深度L直接带入式（2.2.3）中计算，还存在一个问题，即方差折减函数随有效影响深度的增大而减小。对于地基极限承载力问题，若土的内摩擦角一定，有效影响深度（即滑动面的切割深度）与基础宽度成正比，也就是说，基础宽度越大，有效影响深度也越大，则方差折减函数越小，方差折减得越多。这也是不合理的，因为理论上方差折减函数应该是土本身的性质，不应随上部基础尺寸的变化而变化。

根据经验，多数土层的垂直相关距离δu值大多在0.3～1.5m之间。国外有人专门研究得出δu为0.5～1.75m。高大钊等曾对上海地区典型土层的相关距离进行计算，统计结果表明相关距离在0.19～1.93m之间。著者统计计算的天津港地区典型土层的相关距离值在0.1～1m之间。若某土层垂直相关距离很小，而土力学计算中的有效影响深度较大（如桩基础有时达20余m），根据式（2.2.3）计算所得的方差折减函数会很小，方差折减过多，造成计算所得的可靠度指标偏大，在实际工程中是偏于危险的。

因此，h值不能简单认为就是有效影响深度L，而是应该从土性指标的自相关性及方差折减函数的定义出发，确定其合理的取值。

著者曾考虑将h值取为相关距离δu。根据Vanmarcke的理论，在相关距离内，土性强烈相关，大于该距离可认为基本不相关。若将土性指标在δu范围内作平均，即将土性指标在其强烈相关的范围内作局部空间平均，再求得的均值和方差即为空间均值和空间方差。

当h值取为相关距离δu时，带入式（2.2.3），求得Γ2（δu）＝1，意即方差不折减。这是因为，Vanmarcke把土性剖面随机场Y（z）的标准相关函数ρ（Δz）近似地看成：

上式并没有提供小间距内（Δz≤δu）的相关性衰减的细节，因此方差折减函数都近似等于1。若采用表2.1.1中相应于典型相关函数的方差折减函数计算Γ2（δu），则可得到小于1的方差折减函数值。但这些值是不宜使用的，因为实际工程中，在小间距内的样本实测数据值很少，很难确定相关函数的形式，因而相应的方差折减函数也只是近似地估算。

不宜将h值作为相关距离δu的另一原因在于，相关距离δu是一种等效意义上的相关尺度，在δu之内视为强相关，一旦超过δu则视为不相关，这之间没有过渡。实际上当两点间距Δz＝δu时，两点还是有一定相关性的。即ρ（δu）≠1且ρ（δu）≠0。因此，认为h应在δu与L之间取值。

根据相关距离的定义，对充分大的h，hΓ2（h）≈δu。此时，Γ2（h）≈δu/h，相当于把标准相关函数ρ（Δz）近似地看成为0。那么，h多大才是充分大呢？换言之，h多大才能使以上两式成立呢？于是，可以考虑取一下限值L＊，当h≥L＊时，以上两式成立，且标准相关函数ρ（Δz）可近似地看成为0。因此，此下限值L＊可作为齐次随机场的另一种特征尺度，即完全不相关范围，大于该范围可视为完全不相关。

那么，完全不相关距离是否等同于完全不相关范围呢？本书将这两者加以区别，提出完全不相关距离h＊为完全不相关范围的1/2。这两个概念可以这样理解：如某一随机过程完全不相关距离为h＊，如图2.6.1中所示参数轴上，A与B、A与C之间的距离均为h＊，则A与B，A与C可视为相关，而D、E都超出了完全不相关距离h＊之外，这两点可视为与A完全不相关。那么，B与C之间是什么关系呢？显然这个范围2h＊即为提出的完全不相关范围。

因此，完全不相关距离应从两点之间相关程度去理解，是一个距离概念，超出此距离可认为两点完全不相关；而完全不相关范围是应从含有一个代表性独立测点的最大区间去理解，是一个范围概念。

将完全不相关距离作为空间平均的长度，应该是合适的。它表示把土性在保持相关的距离内加以平均，得到若干局部空间均值，然后即可计算局部空间平均的均值和方差。

2.6.2　完全不相关距离的确定

确定完全不相关距离，首先要确定完全不相关范围。在实际工程应用中，完全不相关范围L＊的确定可用作图法。首先确定相关函数型式，然后分别根据式（2.2.3）和表2.1.1中相应的方差折减函数公式绘制Γ2（h）－h/δu曲线，找到两曲线的交点，其横坐标记为n＊，则L＊＝n＊δu。下面根据相关函数的不同形式分别进行讨论。

（1）相关函数为单指数型，即ρ（Δz）＝e－b｜Δz｜，对应的方差折减函数＋e－bh－1），相关距离

将相关函数和方差折减函数用δu表示，可得：

根据式（2.2.3）及式（2.6.1）绘制的Γ2（h）－h/δu曲线如图2.6.2所示。

从图2.6.2中可得，当n＊＝h/δu＝10，即L＊＝10δu时，对应于式（2.2.3）计算的Γ2（L＊）＝0.1，对应于式（2.6.1）计算的Γ2（L＊）＝0.095，两条曲线的纵坐标值Γ2（h）可近似认为相等。此时，根据式（2.6.1），L＊Γ2（L＊）＝0.95δu≈δu，而ρ（L＊）＝e－2L＊/δu＝e－20＝2.06×10－9≈0，因此，L＊即为使hΓ2（h）≈δu成立的h的下限值，也即前文所述的完全不相关范围。

通过上述分析可见，当相关函数型式为单指数型时，用以平均的空间长度可取为h＊＝0.5L＊＝5δu，此时，方差折减函数为一固定值，即Γ2（h＊）＝0.18。

（2）相关函数为指数余弦型，即ρ（Δz）＝e－b｜Δz｜cos（bΔz），相应的方差折减函数为相关距离

将相关函数和方差折减函数用δu表示，可得

根据式（2.2.3）及式（2.6.2）绘制Γ2（h）－h/δu曲线，如图2.6.3所示。

从图2.6.3中可见，当n＊＝h/δu＝4，即L＊＝4δu时，对应于式（2.2.3）计算的Γ2（L＊）＝0.25，对应于式（2.6.2）计算的Γ2（L＊）＝0.251，两条曲线的纵坐标值Γ2（h）近似相等。根据式（2.6.2），L＊Γ2（L＊）＝1.004δu≈δu，而ρ（L＊）＝e－L＊/δucos＝e－4cos4＝－0.012≈0。

因此，当相关函数型式为指数余弦型时，完全不相关距离为h＊＝0.5L＊＝2δu。与相关函数为单指数型时类似，方差折减函数为一固定值，即Γ2（h＊）＝0.469。

（3）相关函数仍为指数余弦型，但相关函数中有两个待定参数，ρ（Δz）＝e－b｜Δz｜cos（ωΔz），对应的方差折减函数为

相关距离δu＝2b/（b2＋ω2）。由于有两个待定参数b和ω，若要用δu直接表示相关函数和方差折减函数，首先需要确定这两个参数的关系。下面讨论几种特定情况下，完全不相关范围的确定（表2.6.1）。

根据式（2.2.3）及表2.6.1中不同ω/b值对应的Γ2（h）公式绘制Γ2（h）－h/δu曲线，如图2.6.4和图2.6.5所示。

从图2.6.4和图2.6.5中可见，当ω/b≤1时，L＊随ω/b的增大而减小；当ω/b≥1时，L＊随ω/b的增大而增大；当ω/b＝1时，L＊为最小值。此时，相关函数形式即为（2）中讨论的单参数指数余弦型。

在具体工程应用中，可按照求相关距离的相关函数法，首先确定相关函数中的参数b和ω，求出相关距离δu，然后可作Γ2（h）－h/δu曲线，找到完全不相关范围L＊，进而求出方差折减函数Γ2（h＊）。

以上分析假定有效影响深度L≥h＊，那么当L＜h＊时，应根据相关函数的具体形式，将L带入相应的方差折减函数公式中计算。

2.6.3　方差折减函数的确定原则

综上所述，可得出在应用随机场理论进行可靠度计算时，方差折减函数的确定原则（表2.6.2）。

2.6.4　天津港地区典型土层方差折减的范围

根据以上完全不相关距离的确定方法和方差折减函数的确定原则，结合天津港地区典型土层相关特性的统计分析，可以给出该地区方差折减函数的范围值。

根据统计，该地区的相关函数全部符合指数余弦型，且ω/b值集中在1.5～3之间，均值为2.33。按照2.6.2节中的分析，当ω/b≥1时，完全不相关范围随ω/b的增大而增大，方差折减也随之增多。因此为保守起见，相关函数中的ω/b值按最小值考虑。分析计算所得的完全不相关范围及方差折减函数值，见表2.6.3。

表2.6.3是针对有效影响深度大于h＊时的方差折减范围值，当有效影响深度小于h＊时，保守考虑，应根据实际的有效影响深度值按表2.6.2给出的原则计算确定。

2.6.5　地基基础设计算例

以天津新港北港池地区上一条形基础为例，基础埋置深度为0m，受垂直中心荷载Q作用。在工程实践中，对饱和软黏土地基承载力，一般采用φ＝0分析法，其值取决于它的不排水抗剪强度su。对于软土φ＝0，Prandtl提出地基极限承载力可用下式估算：

p＝（π＋2）su＝5.14su

此时，极限状态方程为X＝5.14su－Q

方程中，基本变量为垂直荷载Q和不排水抗剪强度su。垂直荷载Q的均值为55kPa，变异系数为0.2。不排水抗剪强度su的统计见表2.6.4。基本变量都符合正态分布。

基础宽度B分别取为2m、4m、6m，滑动面的最大切割深度在此深度范围内对土性指标su进行统计，统计结果见表2.6.5。

由于不排水抗剪强度数据呈随深度变化的趋势，需对原始数据进行移除趋势项处理，处理后的土层可看作“统计上均匀”，即满足齐次随机场的要求。用相关函数法计算相关距离，求得b＝1.884，ω＝2.314，相关距离δu＝2b/（b2＋ω2）＝0.423m。根据式（2.2.3）及式（2.6.3）绘制Γ2（h）－h/δu曲线，如图2.6.6所示。

求得完全不相关范围L＊＝6δu＝2.538m，当h＊＝0.5L＊＝1.269m＜L时，由表2.6.2中方差折减函数的确定原则，方差折减函数Γ2（h＊）＝0.362，标准差折减Γ（h＊）＝0.602。

X在深度范围L内的均值和标准差按下式计算：

可靠度指标β为　　

相应的失效概率为　　

传统的安全系数为　　

当基础宽度分别为2m、4m、6m时，对条形基础作可靠度分析，结果见表2.6.6。

分析表2.6.5和表2.6.6，可得以下结论

（1）当基础宽度为6m时，其“点”标准差大于基础宽度为4m时的“点”标准差。若方差按h＝L折减，根据式（2.2.3）计算所得的方差折减函数，使基础宽度为6m时折减的比4m时的多。比较折减后的方差，基础宽度为6m时比4m时的要小。对建立在同一土层上的两个基础来说，显然这是不符合实际的。因此，当最大切割深度L＞h＊时，方差按h＝L折减是不合适的。对不同宽度的基础来说，方差折减函数应该是一个定值，即按h＝h＊折减，在上例中，此定值为0.362。

（2）若方差不折减，求得的可靠度指标偏小，失效概率偏大。上例中，失效概率为2%～3.5%，与计算所得的传统的安全系数2.35～2.78相比，相差甚远，这在工程设计中是难以接受的。

（3）当基础宽度为2m时，最大切割深度L＞h＊，根据表2.6.2中方差折减函数的确定原则，方差按h＝h＊折减。由于L与h＊相差不大，两种折减方法所得的可靠度指标较接近，取按h＝h＊折减的结果，是偏于安全的。

（4）当基础宽度为6m时，传统的安全系数为2.78，方差按h＝L折减得到的可靠度指标偏大，失效概率接近于0，取此值是不保守的；应取方差按h＝h＊折减得到的可靠度指标，这样才与传统的安全系数较一致。

2.6.6　岸坡稳定性分析算例

收集天津港、上海港等地8个已建码头的工程资料，其工程概况统计见表2.6.7。

各项工程的地基土特性统计见表2.6.8。其中，抗剪强度采用固结快剪指标，方差折减按2.6.3节的折减原则（上海、南京、湛江的码头地基土特性暂也按天津近海典型土层的折减原则）。

分别采用简单条分法和Bishop法，推导边坡稳定的极限状态方程，编制地基可靠度计算程序，按照前文统计的土参数特性，重新验算和校核现有工程的可靠度指标，其计算结果见表2.6.9。

从以上8个稳定土坡的可靠度计算结果可看到，相对于传统的安全系数1.2～1.5（Bishop法），若方差不折减，则可靠度指标在2～3，平均为2.376，失效概率达0.875%，与工程的实际安全程度相比显然偏大；方差按第2.5.5节提出的折减原则折减后，计算得到的可靠度指标在3～4.5之间，平均为3.817，失效概率0.007%，与工程的实际安全程度较匹配，可作为今后修订基于可靠度理论的港口地基规范的参考。