第2章　土性剖面的随机场模型

2.1　随机场的基本理论

2.1.1　随机场的基本概念

2.1.1.1　用集合论描述的随机场

随机场的严格数学定义可以从集合论的角度得到：从集X、X的子集的一个σ－代数f和一个具有偏序的指标集B出发，B中的偏序记作≤。对每个Λ∈B，有一个f的子σ－代数，记作fΛ，并且假定σ－代数族｛fΛ｝Λ∈B是下降的，即当Λ≤槇Λ时，f槇ΛfΛ。X表示基本相空间，f是一切可观察事件的集，而fΛ通常是与基础空间的区域有联系的可观察事件的子集。

假定偏序具有传递性（即若Λ1，Λ2∈B，则有Λ∈B，使Λ1≤Λ，Λ2≤Λ），并且是可数生成的（即有序列｛Λn｝n≥1存在，使得如果Λ∈B，则有某n，使Λ≤Λn）。

若B是f的子σ－代数，则以P（B）表示（X，B）上的概率测度集；若Λ∈B，则令rΛ：P（f）→P（fΛ）是一由限制到较小的σ－代数上所得的映射，即对一切μ∈P（f），F∈fΛ，rA（μ）（F）＝μ（F）。P（f）中的元素为随机场。

由上面的表述可见，这个定义虽然十分精确，却很抽象，很难直接应用于工程问题的分析中，因而需要寻求更简洁、明了、易于理解的随机场描述。实际上随机场在概念上与经常使用的随机过程是相通的，以下从随机过程的基本概念出发，引出随机场定义的简略描述。

2.1.1.2　随机过程的基本概念

自然界中事物的变化分为两类，一类是具有确定形式的变化过程，或者说具有必然的变化规律，称为确定性过程。另一类过程没有确定的变化形式，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用数学语言来概述，就是这类事物的变化过程不能用一个时间t的确定性函数来描述。如果对该事物的变化全过程进行一次观察，可得到一个时间t的函数，但是若对该事物的变化过程重复地独立地进行多次观察，则每次所得的结果是不相同的。从另一个角度来看，如果固定某一观测时刻t，事物在时刻t出现的状态是随机的。这类过程称为随机过程。

直观上，可以把“依赖于参数t的随机变量的全体”或“一族无穷多个随机变量”称为随机过程。从更深意义上讲，是用“随机过程”一词来表示依赖于一个变动参量的一族随机变量，它的数学定义可表述为：

设（Ω，f，P）是概率空间，T是直线上的参数集（可列或不可列的），若对每一个t∈T，ξ（w，t）＝ξ1（w）是随机变量，则称｛ξ（w，t），t∈T｝为该概率空间上的随机过程。

为简便起见，往往把ξ（w，t）简写为ξ（t）。随机过程｛ξ（t）｝的参数t也称为时间，但它不一定就是通常指的时间，而可能是别的量，可能是标量，也可能是向量。

例如，考虑某一土体在某一定点的抗剪强度，由于抗剪强度受许多随机元素的影响，所以它是一个随机变量。于是，这一土体内随空间变化的抗剪强度是一个依赖于3个参数变化的随机变量ξ（x，y，z），其中（x，y，z）为空间坐标。在这种情况下，随机过程的参数是三维向量（x，y，z），这一类随机过程称为随机场。

2.1.1.3　随机场定义的简略描述

综上所述，随机场可简单表述为：设P表示空间的一个点，P有坐标（x，y，z），随机函数Y（P）＝Y（x，y，z）称为三维空间的一个随机场。

一般地说，由于土体在形成过程中具有成层性的特点，在土工问题的研究中，人们更注重土性沿深度方向的变化。研究表明，此时用一维实的齐次正态随机场来模拟土性剖面是符合实际情况的。

如果随机场Y（P）满足：①均值E［Y（P）］是一个与P无关的常数，令其为μ；②相关函数R（P，P′）＝E｛［Y（P）－μ］［Y（P′）－μ］｝是一个仅依赖于向量PP′的函数，即有R（P，P′）＝），则称该随机场是齐次的。如果相关函数仅仅与PP′的长度有关，则称齐次随机场是各向同性的。显然，如果空间是一条实直线，即是一维实欧氏空间，则一维齐次随机场和宽平稳过程（以后简称平稳过程）的概念一致。下面讨论一维实的齐次随机场。

在直线上直接用P的坐标z来表示点P，Y（P）用Y（z）来表示。如果E［Y（z）］是一个不为0的常数μ，总可以令Y′（z）＝Y（z）－μ，因而有E［Y′（z）］＝0。所以不失一般性，今后总假定E［Y（z）］＝0。

显然，平稳正态过程Y（z）的所有一维分布与z无关，都是N（0，σ）分布。此时有R（τ）＝σ2ρ（τ）。

2.1.2　随机场的数字特征

正如在研究随机变量的特性时要引入随机变量的数字特征那样，在研究随机场时也要引入随机场的基本数字特征。这些基本数字特征不仅能描述随机场的重要特征，而且对随机场模型的研究工作具有十分重要的意义。

在介绍随机场数字特征之前，用一个图来建立起形象的随机场概念。例如，对某一土体进行静力触探试验，每一个钻孔的记录称为一个样本函数，则所有可能的样本函数的总集称为随机场。如图2.1.1所示为一个随机场｛y（z）｝，z是表示深度的参数。样本函数yi（z）的下标i（i＝1，2，…）表示随机过程的第i个样本函数。在固定时刻z＝z1，Y（z1）是随机变量，yi（z1）是随机变量Y（z1）的第i个可能值。一般把随机过程表示成Y（z）＝｛y1（z），y2（z），…｝或Y（z）＝｛y（z）｝。

一个随机场有N个样本函数，对于z1深度的值y1（z1），y2（z1），…，yN（z1）是随机分布的。要得到统计量的正确结果，理论上应有N→∞，但实际上只能获得有限数量的样本函数。

随机场主要有4个数字特征，即均值函数、方差函数、相关函数和协方差函数，下面分别进行介绍。

2.1.2.1　均值（数学期望）函数

设随机场｛y（z）｝的一维分布函数为Fz（x），概率密度为fz（x），则随机场｛y（z）｝的均值（数学期望）函数定义为

fz（x）一般是与z有关的函数，为了明显起见，把fz（x）写成f（x，z），说明它是z的函数，因此它的数学期望值一般为z的函数。

注意，E｛y（z）｝是随机场｛y（z）｝的所有样本函数在参数z时函数值的平均，通常称这种平均为集平均，以区别今后提出的深度平均的概念。

均值E｛y（z）｝表示了随机场｛y（z）｝在各个深度的摆动中心，如图2.1.2所示。

2.1.2.2　方差函数

设随机场｛y（z）｝的一维分布函数为Fz（x），概率密度为fz（x），则随机场｛y（z）｝的方差函数定义为

一般来说方差D｛y（z）｝是z的函数。方差的平方根σY（z）称为随机场｛y（z）｝的均方根或标准差，它表示随机场｛y（z）｝在深度z处对于均值E｛y（z）｝的偏离程度。

均值和方差是反映随机场｛y（z）｝在不同深度处各自的统计特性，是重要的数字特征。为了描绘在两个不同深度z1、z2处该随机场状态之间的联系，就要利用二维概率密度，引入相关函数和协方差函数的概念。

2.1.2.3　相关函数

设随机场｛y（z）｝的二维联合分布函数为Fz1z2（x1，x2），二维概率密度为fz1z2（x1， x2），则对任意z1，z2∈Z，随机场｛y（z）｝的相关函数定义为

相关函数RYY（z1，z2）实质上是y（z1）和y（z2）的二阶混合原点矩，也称为自相关函数，一般说它是参数z1、z2的二元函数。其下标用来表示它是随机场｛y（z）｝的相关函数，在不致引起混淆的情况下简记为RY（z1，z2）或R（z1，z2）。

2.1.2.4　协方差函数

设随机场｛y（z）｝的二维联合分布函数为Fz1z2（x1，x2），二维概率密度为fz1z2（x1，x2），则对任意z1，z2∈Z，随机场｛y（z）｝的协方差函数定义为

协方差函数CYY（z1，z2）实质上是y（z1）和y（z2）的二阶混合中心矩，也称为自协方差函数，一般说它是参数z1、z2的二元函数。其下标用来表示它是随机场｛y（z）｝的协方差函数，在不致引起混淆的情况下简记为CY（z1，z2）或C（z1，z2）。

2.1.2.5　相关函数、协方差函数及方差函数之间的相互关系

相关函数与协方差函数之间有密切的关系，由式（2.1.4）可知：

可见，协方差函数可从相关函数和均值函数中导出。另外，从式（2.1.5）中可知：｛y（z）｝的协方差函数是｛｛y（z）｝－E｛y（z）｝｝的相关函数。

当E｛y（z）｝＝0时，由式（2.1.5）得：C（z1，z2）＝R（z1，z2）。

当z1＝z2时，由式（2.1.2）及式（2.1.4）得

D｛y（z）｝＝（z）＝C（z1，z1）＝R（z1，z1）－［E｛y（z）｝］2

由此可知，方差函数也可从相关函数和均值函数中导出。因此，上述数字特征中最重要的是均值函数和相关函数。从理论上讲，仅仅研究随机场的均值函数和相关函数是不能代替对整个随机场的研究的，但是它们确实描述了随机场的主要统计特征，比有穷维分布函数族易于观测和运算，因而对于解决应用课题而言，它们往往能起到重要作用。

2.1.3　随机场的平稳性和各态历经性

设有随机场｛y（z），z∈Z｝，若对每个z∈Z，y（z）的均值和方差都存在，则称｛y（z）｝为二阶矩场。所谓正态场是指随机场｛y（z），z∈Z｝的各有限维分布都是正态分布的。由于正态分布的各阶矩都存在，所以正态场属于二阶矩场。以下仅对一维齐次正态随机场进行研究，所以研究范围内的随机场都属于二阶矩场。

2.1.3.1　平稳性和各态历经性的概念

1.平稳性

所谓随机场的平稳性，粗略地说，指的是它的统计特性不随空间位置的不同而变化的性质，严格定义如下：

设随机场｛y（z）｝的有穷维分布函数族为

｛Fz1，…，zn（x1，…，xn）：n＞0，z1，…，zn∈Z｝

若对任意n，z1，…，zn∈Z，z1＋Δz，…，zn＋Δz∈Z（Δz＞0）有

Fz1＋Δz，…，zn＋Δz（x1，…，xn）＝Fz1，…，zn（x1，…，xn）

即随机向量［y（z1＋Δz），…，y（zn＋Δz）］′与随机向量［y（z1），…，y（zn）］′有相同的联合分布函数，则称该随机场具有严平稳性。该随机场称为严平稳随机场或强平稳随机场，简称严平稳场或强平稳场。

如果一个严平稳场又是二阶矩场，则该随机场的均值函数为常数，而不是深度的函数，即

该随机场的相关函数仅是深度差z2－z1的函数，而不再是z1、z2本身的函数，即

其中，Δz＝z2－z1。

对于同时具有严平稳场和二阶矩场性质的随机场，上面已经得到了两个重要结论。但是，仅仅由随机场的均值为常数，相关函数是Δz＝z2－z1的函数还不能充分说明它符合严平稳的条件。为此引入另一种平稳随机场的定义：

设随机场｛y（z）｝是二阶矩场，若满足：

（1）对一切z∈Z，E｛y（z）｝＝m（常数）。

（2）对任意z及z＋Δz∈Z，｛y（z）｝的相关函数R（z，z＋Δz）与z无关，并以R（Δz）表示，即

R（Δz）＝E｛y（z）y（z＋Δz）｝

则称该随机场具有宽平稳性。该随机场称为宽平稳随机场或弱平稳性随机场，简称宽平稳场或弱平稳场。

分别将其称为严平稳场或宽平稳场，仅仅是为了区别起见，而并不是说严平稳场的条件要求严格，宽平稳场的条件要求宽松。对于正态分布的平稳场，严平稳就是宽平稳，宽平稳也就是严平稳，这是因为正态分布的相关函数已经充分说明它的概率密度；另一方面，正态分布场的二阶矩总是存在的。对于其他严平稳随机场，只有当它的二阶矩存在时才是宽平稳的；而一个随机场是宽平稳时，还不能说明它是严平稳的。

本书讲到平稳场时，总是指宽平稳随机场，说一个随机场具有平稳性，也是指它具有宽平稳性；而说到随机场为严平稳时，则将特别说明。

2.各态历经性

研究随机场的统计特性一般说需要知道该场的n维概率密度或n维分布函数，或者要知道一族样本函数。这一点在实际问题中往往不易办到，因为这要求对一个随机场进行大量的重复实验观测，以便得到很多样本函数。

那么，能否将一个深度范围内观测到的一个样本函数，作为提取这个随机场数字特征的充分依据呢？所谓各态历经，就是指可以从任意一个随机场的样本函数中获得它的各种统计特性，具有这一特性的随机场称为具有各态历经性的随机场。因此，对于具有各态历经性的随机场，只要有一个样本函数就可以表示出它所有的数字特征。

设｛y（z）｝是均方连续平稳随机场，定义它的深度平均值为其沿整个深度轴上的平均，即

若｛y（z）｝存在，且

即｛y（z）｝依概率1等于该随机场的集平均uY（z）＝E｛y（z）｝，则称该随机场的均值具有各态历经性。

设｛y（z）｝是均方连续平稳随机场，且对于固定的Δz，｛y（z）y（z＋Δz）｝也是连续平稳随机场，则定义｛y（z）｝的深度相关函数为｛y（z）y（z＋Δz）｝沿整个深度轴上的平均，即

若〈y（z）y（z＋Δz）〉存在，且

则称该随机场的相关函数具有各态历经性。

如果｛y（z）｝是均方连续平稳随机场，且其均值和相关函数都具有各态历经性，则称该随机场具有各态历经性，或者说随机场｛y（z）｝是各态历经的，或是遍历的。

随机场的各态历经性可以理解为：随机场的各个样本函数都同样地历经了该随机场的各种可能状态。因此从任何一个样本函数中都可以得到该随机场的全部信息，任何一个样本函数的特性都可以充分地代表整个随机场的特性。

2.1.3.2　平稳性和各态历经性的检验

1.检验的必要性

首先，土性剖面随机场模型的理论基础，是用一维实的齐次随机场（即高斯平稳齐次随机过程）去模拟土性剖面，这就要求用该理论分析的数据在数学意义上符合平稳随机场的要求，即具有平稳性。

其次，土体是无限个点的集合，而实验数据只是个别点的量测值，如果要用一个钻孔中实验点的分析结果来反映周围土体的性质，那么这组数据应具有普遍的代表性，能充分地代表整个土体的特性，这就要求该数据具有各态历经性。

由此可见，土体性质的空间分布是否具有平稳性和各态历经性，是能否应用齐次正态随机场理论的关键所在。所以在使用随机场理论分析问题之前，首先要检验数据的平稳性和各态历经性。

2.检验方法

在实际工作中，可以利用定义来检验数据的平稳性和各态历经性，但需要具体问题具体分析。一般以所研究的土性剖面为随机场Y（z）。

（1）平稳性的检验。由式（2.1.1）得，任一深度zj上随机变量Y（zj）的集平均为

由式（2.1.2）得，Y（zj）与Y（zj＋Δz）的自相关函数为

式中：N为静力触探孔的个数；m为每个孔中测量值的个数。

式（2.1.9）、式（2.1.10）只是理论公式，m和N在实际计算中都不可能达到无穷，只能是一个有限值。

根据平稳性的定义，要求对于一个固定的Δz值，均值uY（zj）和自相关函数RY（zj，zj＋Δz）在概率意义上不随zj的不同而变化。据此编制检验步骤如下：

1）取j＝1，从不同孔的数据中找出深度z1对应的量测值yi（z1），i＝1，2，…，N；以及与其间距为Δz的深度z1＋Δz处对应的量测值yi（z1＋Δz），i＝1，2，…，N。

2）利用式（2.1.9）和式（2.1.10）分别求出均值uY（zj）和相关函数RY（z1，z1＋Δz）。

3）取j＝2，3，…，m，重复以上步骤，计算出一系列uY（zj）－zj和RY（zj，zj＋Δz）－zj的对应值。

4）分别点绘出uY（z）－z和RY（z，z＋Δz）－z图。

5）从图中检验uY（z）与RY（z，z＋Δz）是否随深度变化，是则说明该过程不平稳，反之则说明该过程平稳。

（2）各态历经性的检验。由式（2.1.6）得，任一孔中样本函数yi（z）沿深度的均值为

由式（2.1.8）得，对于固定的Δz，样本函数yi（z）yi（z＋Δz）沿深度的均值为

在平稳性的检验中已经求出了该过程的均值uY（z）和相关函数RY（z，z＋Δz），根据各态历经性的定义，如果对所有孔的〈y（z）〉和〈y（z）y（z＋Δz）〉有

则该过程是各态历经的。据此检验步骤编制如下：

1）取i＝1，按式（2.1.11）和式（2.1.12）分别求出第一个样本函数的深度平均值〈y1（z）〉和深度相关函数〈y1（z）y1（z＋Δz）〉。

2）将〈y1（z）〉和uY（z）、〈y1（z）y1（z＋Δz）〉和RY（z，z＋Δz）分别进行比较，若它们各自依概率1相等，则说明该孔具有各态历经性，反之则说明不具有各态历经性。

3）取i＝2，3，…，N，重复上述步骤，即可检验整个过程的各态历经性。

2.1.4　相关函数的形式选择

当土性剖面符合一维实的齐次正态随机场的要求，即可看作高斯平稳齐次随机场，在区间［z，z＋h］上的均值——随机积分必存在，且当Y（z）是正态场时，Yh（z）也是正态场，可得

可见，局部空间均值Yh（z）的期望与“点特性”的期望相等，其方差与“点方差”具有一定的关系。令

并称之为方差折减函数，即“空间平均特性”的均值等于“点特性”的均值，“空间平均特性”的方差等于“点特性”的方差乘以一个折减系数Γ2（h）。

为了完成由“点特性”到“空间平均特性”的过渡，确定方差折减函数将成为至关重要的一步。方差折减函数的求解途径之一，是利用相关函数来求得。

2.1.4.1　方差折减函数及其与相关函数的关系

1.方差折减函数及其性质

“点特性”Y（z）的变异性是由标准差D［Y（z）］＝σ来度量的。同样，“空间平均特性”Yh（z）的变异性也是由空间平均特性的标准差D［Yh（z）］来度量的。用于平均的长度h越大，在做空间平均运算中将会抵消的Y（z）的波动也越大。这样，用于平均的长度增大时，将使“空间平均特性”的标准差D［Yh（z）］减小。D［Yh（z）］和σ的无因次比为

由上式可知，当h＝0时，“空间平均特性”Yh（z）刚好是一点的“点特性”Y（z），于是Γ（0）＝1；当h较大时，函数Γ（h）反映了“空间平均特性”的标准差D［Yh（z）］相对于“点特性”的均方根σ的衰减，因而称之为“均方根衰减因子”。均方根衰减因子的平方Γ2（h）叫作方差折减函数，由式（2.1.16）易得

方差折减函数反映了用于平均的尺寸增大时，“空间平均特性”方差的衰减。因而，只要确定出方差折减函数Γ2（h），就可以利用公式Var［Yh（z）］＝σ2Γ2（h），由“点特性”的方差求出“空间平均特性”的方差。

方差折减函数Γ2（h）在数学意义上具有下列性质：

（1）Γ2（0）＝1。

（2）对一切h≥0，有0≤Γ2（h）≤1。

（3）Γ2（－h）＝Γ2（h）。

2.方差折减函数与相关函数的关系

当土性剖面符合一维实的齐次正态随机场的要求，即可看作高斯平稳齐次随机场，考虑一维齐次随机场在［z，z＋h］上的随机积分

如果平稳过程Y（z）又有下列形式的相关函数：

其中b＞0，ω＞0

则可以证明随机积分Yh（z）必存在，且当Y（z）是正态过程时，Yh（z）也是正态过程。显然

即随机场的局部平均Yh（z）的均值和原来的随机场Y（z）的均值一样。

求Yh（z）的方差：

令

式中：ρ（Δz）为标准相关函数。

Γ2（h）即为方差折减函数。式（2.1.17）反映了方差折减函数与相关函数之间存在的关系。表2.1.1为几种典型相关函数所对应的方差折减函数。

2.1.4.2　几种典型的相关函数形式

根据Vanmarcke等的观点，土性的相关函数可近似采用单指数、双指数、三角形、指数余弦等几种模型，其中尤以单指数型和指数余弦型最受推崇，目前使用较多。但是，土性的变异体现在不同地区、不同孔位、不同土类，甚至不同土性指标中，其自相关性质有各种不同形式，而且很不规则，再加上钻探工具，测试手段的不完善，根据土性测试值所计算得到的自相关曲线，可能不单独符合任何一种典型模型，而是几种模型的组合。针对这种情况，有必要进行去粗取精、去伪存真的平滑处理，并尽量以最简单的模型拟合实际的曲线。

土性相关模式虽然比较复杂，但有其规律性，为寻求合适的、具有普遍意义的相关模型，以下分别对几种典型的相关函数形式予以分析讨论。

1.常数型相关函数（图2.1.3）

ρ（Δz）＝1

这是全相关的情况，当土层均匀，不考虑变异时，可视为全相关。

2.白噪声型相关函数（图2.1.4）

当土性变异很快，不考虑土性相关时为这种形式。

3.余弦波型相关函数（图2.1.5）

ρ（Δz）＝cos（2πfΔz）

土性变化近似为一余弦曲线，这种情况在实际中极少出现，它可能表示土层形成过程中有一周期性的地质作用或物理化学作用。

4.理想矩形白噪声型相关函数（图2.1.6）

这种相关函数对应的随机场，其谱密度为一理想矩形，这种情况与余弦波型一样，在实际中极少出现。

5.三角型相关函数（图2.1.7）

这种模型过于简化，与土性实际情况有不小差距，不具有普遍代表性。

6.指数正弦指数余弦型相关函数（图2.1.8）

ρ（Δz）＝e－b｜Δz｜（cosωΔz＋asinωΔz）

这种相关模型及其谱密度函数有较强的适应性，用它作为土性的相关模型将是比较精确的，缺点是表达式比较复杂，使用不方便。

7.指数余弦型相关函数（图2.1.9）

ρ（Δz）＝e－b｜Δz｜cosωΔz

显然，这是指数正弦指数余弦型相关函数当a＝0时的特殊情况，虽然如此，指数余弦型相关函数如作为土性相关的选用模型，仍可认为有一定精度。指数余弦表达式简洁明了，又有一定的精度，用作土性相关模拟是一种比较理想的模型。

8.单指数型相关函数（图2.1.10）

ρ（Δz）＝e－b｜Δz｜

单指数型又可视为指数余弦型相关函数的特例（ω＝0）时，这种模型因其非常简单且含意明确，目前较为常用，但其精度显然不如指数余弦型和指数正弦指数余弦型相关函数。

土性相关情况是很复杂的，用一二种简单模型去模拟普遍的情况，只能要求“大致”的精度。综合上述分析，对于土性剖面随机场相关模型的选择见表2.1.2。