4.1 液体运动微分方程

4.1.1 理想液体运动微分方程

在运动的理想液体中任取微元直角六面体ABCDEFGH，该六面体的各边与相应坐标轴平行，边长分别为dx、dy、dz，如图4.1所示。

作用于六面体ABCDEFGH上的力有表面力和质量力。下面先推导x方向的理想液体运动微分方程。

（1）表面力。周围理想液体作用于六面体6个面上的表面力只有压力，x方向上的压力只有PABFE和PCDHG。设六面体形心O′（x,y，z）处的压强为p，ABFE面上形心点m及CDHG面上形

心点n处的压强即可表示为p-和，则作用在ABFE面上的总压力，作用在CDHG面上的总压力PCDHG=。

（2）质量力。设作用于六面体ABCDEFGH上的单位质量力在x方向的投影为fx，则x方向上的质量力为fxρdxdydz。

根据牛顿第二定律∑F=ma，x方向的分量式为

将加速度项展开成欧拉法表达式：

式（4.2）即为理想液体运动微分方程，也称为欧拉运动微分方程。

理想液体的运动时，一般含有ux、uy、uz、p共4个未知量，将连续性微分方程式（3.14）和式（4.2）组成基本方程组，满足未知量和方程数目一致，流动可以求解。因此，理想液体运动微分方程和连续性微分方程奠定了理想液体动力学的理论基础。

4.1.2 黏性液体运动微分方程

1.黏性液体的应力

实际液体具有黏性，在作用面上的表面应力既有压应力，也有切应力。

在流场中任取一点M，过该点作一垂直于z轴的水平面，如图4.2 所示。过M点作用于水平面上的表面应力pn在x、y、z轴上的分量为一个垂直于水平面的压应力pzz和两个与水平面相切的切应力τzx、τzy。压应力和切应力的下标中第一个字母表示作用面的法线方向，第二个字母表示应力的作用方向。显然，通过M点在3个相互垂直的作用面上的表面应力共有9个分量，其中3个是压应力pxx、pyy、pzz，6个是切应力τxy、τxz、τyx、τyz、τzx、τzy，将应力分量写成矩阵形式：

9个应力分量中，由于τxy=τyx、τyz=τzy、τzx=τxz，黏性液体中任意一点的应力分量只有6个独立分量，即τxy、τyz、τzx、pxx、pyy、pzz。

2.应力形式的运动方程

在黏性液体的流场中，取一以点M为中心的微元直角六面体，其边长分别为dx、dy、dz。设M点的坐标为（x，y，z），液体在M点处的速度分量为ux、uy、uz，密度为ρ。根据泰勒级数展开，并略去级数中二阶以上的各项，六面体各表面上中心点的应力如图4.3所示。六面体很小，各表面上的应力可看作是均匀分布的，各表面力通过相应面的中心。先讨论六面体内液体在x轴方向受力和运动情况。

作用于六面体的力有质量力和表面力两种，x方向上的表面力有

将三式相加，得

设作用于六面体的单位质量力在x轴上的分量为fx，则x方向上作用于六面体的质量力为ρfxdxdydz。根据牛顿第二定律有

化简上式可得

式（4.4）就是以应力表示的黏性液体的运动微分方程。式中单位质量力的分量fx、fy、fz通常是已知的，对于不可压缩均质液体而言，密度ρ是常数，所以上式中包含6个应力分量和3个速度分量，共9个未知量。而式（4.4）中只有3个方程式，加上连续性微分方程也只有4个方程式，无法求解，因此必须找出其他的补充关系式。这些关系式可以从对液体质点的应力分析中得到。

3.黏性液体应力与变形速度的关系

黏性液体的应力与变形速度有关，其中切应力与角变形速度有关，压应力则与线变形速度有关。

由式（1.3），切应力：

根据第3章介绍过的液体微团角变形速度内容，可得

从而有

因此，切应力与角变形速度的关系式写作：

式（4.6）即为黏性液体切应力的普遍表达式，称为广义牛顿内摩擦定律。

流场中某点的压应力p可以表示为过该点3个相互正交平面上压应力的平均值，即

则黏性液体各个方向的压应力pxx、pyy、pzz可以表示为这个平均值p加上一个相应的附加压应力，而附加压应力是流体微团在法线方向上发生线变形引起的，故可得：

4.纳维-斯托克斯方程

将式（4.6）和式（4.8）代入以应力形式表示的黏性液体的运动微分方程式（4.4），写出x方向的方程式为

整理得到：

由不可压缩均质黏性液体的连续性方程：

引入拉普拉斯算子：

将连续性方程和式（4.10）代入式（4.9），并将加速度项展开，得

式(4.11)即为不可压缩均质黏性液体的运动微分方程，即纳维-斯托克斯方程，简称N-S方程。如果液体是理想液体，上式则成为理想液体的运动微分方程；如果液体为静止液体，上式则成为欧拉平衡微分方程。所以，N-S方程是不可压缩均质液体的普遍方程。

N-S方程中有4个未知量有p、ux、uy、uz，加上连续性方程共有4个方程式，从理论上讲，任何不可压缩均质液体的N-S方程，在一定的初始和边界条件下，是可以求解的。但是，N-S方程是二阶非线性偏微分方程组，要进行求解是很困难的，只有在某些简单的或特殊的情况下才能求得精确解。目前一般采用数值计算方法利用计算机求解，得到近似解，这部分内容可参阅有关计算流体力学的教材或参考书。

N-S方程的精确解，虽然为数不多，但能揭示黏性液体的一些本质特征，其中有些还有重要的实用意义。它可以作为检验和校核其他近似方法的依据，探讨复杂问题和新的理论问题的参照点和出发点。