3.4 地基中的附加应力计算

对一般天然土层，由自重应力引起的压缩变形已经趋于稳定，不会再引起地基的沉降。附加应力是由于土层上部的建筑物在地基内新增的应力，因此，它是使地基变形、沉降的主要原因。

目前求解地基中附加应力时，一般假定地基土是连续、均质、各项同性的完全弹性体，然后根据弹性理论的基本公式进行计算。根据问题的性质，应力计算可分为空间问题和平面问题两大类。若地基中的应力是三维坐标x，y，z的函数，称为空间问题，例如矩形基础、圆形基础下附加应力是空间问题；若地基中应力仅是x（或是y）的函数，则称为平面问题，例如条形基础下附加应力计算即属于平面问题。

下面介绍地表作用不同类型荷载时，在地基内引起的附加应力分布形式。

3.4.1 竖直集中荷载下地基附加应力——半无限空间体弹性力学基本解

如图3.11所示，当半无限弹性体表面上作用竖直集中力P时，在弹性体内任意点 M所引起的应力，可分解为6个应力分量，由弹性理论求得表达式为

式（3.13）即为著名的J.Boussinesq课题。这是求解地基中附加应力的基本公式。在上述6个应力分量中，对地基沉降意义最大的是竖向应力分量，因为σz是引起地基中压缩变形导致建筑物沉降的主要原因，本书着重讨论该式的推广应用，下面主要讨论竖向应力计算及其分布规律，重写σz的表达式：

图3.11 竖直集中力作用下地基中一点附加应力状态

利用图3.11中的几何关系R2=r2+z2，式（3.14）中σz可以改写成下列形式：

式中：K为集中力作用下的应力分布系数，无因次，是的函数，可由图3.12或表3.2中查得。

由式（3.14）可知，在集中力作用线上，附加应力σz随着深度z增加而递减，离集中力作用线某一距离r时，在地表面的附加应力σz为零，随着深度增加，逐渐递增，但到某一深度后，又随着深度z的增加而减小，如图3.13（a）所示：在某一深度z处，在同一水平面上，附加应力σz随r的增大而减小，如图3.13（b）所示。

图3.13 集中力作用下土中附加应力分布图

由式（3.15）可见，在竖直集中力作用下都集中附加应力越深越小，越远越小。其分布规律可在图3.14得到说明。注意z=0为奇异点，无法计算附加应力。

图3.14 竖直集中力作用下竖直附加应力分布规律

图3.15 等代荷载法计算σz

由于集中力作用下地基中的附加应力σz仅是荷载的一次函数，因此当地基表面作用有几个集中力时，即Pi，地基中z深度任意点M的附加应力σz可分别算出各集中力在地基中的引起的附加应力，然后根据弹性力学的应力叠加原理求出附加应力的总和，即

式中：Ki为第i个竖直附加应力系数。

如图3.15所示，可以将基底面净压力划分为若干小块面积并将其上的分布荷载合成为集中荷载，这样就可以应用集中力作用下地基任意一点竖向附加应力的基本解答按等代荷载法，式（3.16）计算σz。这种方法角适用于基底面不规则的情况，每块面积划分得愈小，σz的计算精度就愈高。

3.4.2 空间问题条件下地基附加应力

3.4.2.1 矩形面积竖直均布荷载作用时的附加应力

如图3.16所示，设地基表面有一矩形面积，长度为L，宽度为B，其上作用者竖直均布荷载，荷载强度为p，确定地基内各点的附加应力时，先求出矩形面积角点下的应力，再利用“角点法”求任意点下的应力。

1.角点下的应力

地基内各角点下的附加应力，是指图3.16（a）中的0、A、C、D四个角点下任意深度的应力。只要深度相同，则四个角点下的应力即相同。将坐标原点取在角点0上，在荷载面积内，任取微分面积dA=dxdy，并将其上作用的荷载以dP代替，则dP=pdA=pdxdy。利用式（3.14）可求出该集中力在角点0以下深度z处M点所引起的竖直向附加应力dσz：

，将代入上式，即可得到竖直均布作用下矩形基底角点0以下z深度处所引起的附加应力为

图3.16 矩形面积均布荷载时角点下的应力分布

将式（3.13）沿整个矩形面积OACD积分，即可得矩形面积上均布荷载p在M点引起的附加应力：

式中：；L为矩形的长边；P为基底净压力；B为矩形的短边；Ks为矩形面积竖直均布荷载角点下的应力分布系数，Ks=f（m，n），其值可从表3.3中查得。

图3.17 用角点法求M点以下的附加应力

2.任意点的应力——角点法

利用角点下的应力计算公式和应力叠加原理，可以推求地基中任意点的附加应力，这一方法称为角点法。利用角点法求矩形范围以内或以外任意点M′下的竖向附加应力时，如图3.17所示，通过M′点做平行于矩形两边的辅助线，使M′点成为几个小矩形的共角点，利用应力叠加原理，即可求得M′点的附加应力。

若M′在矩形内，如图3.17（a）所示，则M′点以下任意深度z处的附加应力为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个小基底对M′点所产生的附加应力之和，即

若M′在矩形外，如图3.17（b）所示，则M′点以下任意深度z处的附加应力为四个基底（M′hbe（I），M′hbe（Ⅱ），M′hbe（Ⅲ），M′hbe（Ⅳ））对M′点所产生的附加应力之和，即

【例3.2】如图3.18所示，矩形面积受竖直均布荷载，求荷载面积上角点A，边点E，中心点O以及荷载面积外G等各点深度z=1.0m处的附近应力。

【解】（1）A点下的应力。

因A点是矩形ABCD的角点，且m，查表3.3得Ks=0.1999，故

（2）E点下的应力。

图3.18［例3.2］附图

通过E点将矩形荷载面积分成两个相等矩形AEID和EBCI，且两个矩形在E点下的应力相等，E点下的应力是这两个矩形对E点应力的叠加。对AEID，，，查表3.3得Ks=0.1752，故

（3）O点下的应力。

通过O点将原矩形分割成4个相等的矩形AEOJ、JOID、EBKO和OKCI，且4个矩形在O点下的应力相等，O点下的应力是4个矩形在O点的叠加。对AEOJ，，查表3.3得Ks=0.1202，故

（4）G点下的应力。

通过G点将原矩形分割成四个相等的矩形AGHD和BGHC，角点应力系数分别设为Ks1和Ks2。

对AGHD，，查表得Ks=0.2013；

对BGHC，，查表得Ks=0.1202；

故

由本例可见，基底中心竖直附加应力最大，向边缘处附加应力将减小；在基底面积范围内G的点以下依然有附加应力。显然，如果基础相邻有另外的荷载，也会对本基础产生附加应力。

3.4.2.2 矩形面积竖直三角形荷载的附加应力

如图3.19所示，在矩形面积上作用着三角形分布荷载，最大荷载强度为P，把荷载强度为零的角点O作为坐标原点，利用式（3.13）和积分的方法求角点O下任意深度的附加应力。在受荷面积内，任取微小面积dA=dxdy，以集中力代替作用在其上的分布荷载，则dP在点O下任意点M处引起的竖直附加应力为

图3.19 矩形面积竖直三角形荷载作用时角点下的应力分布

将式（3.21）沿矩形面积积分后，可得出整个矩形面积竖直三角形荷载时在角点O下任意深度z处所引起的竖直附加应力：

图3.20 求解角点O′下任意点附加应力示意图

式中：Kto为矩形面积竖直三角形荷载角点下的应力分布系数，如图3.19中角点O′下的应力时，可用竖直均布载荷与竖直三角形荷载叠加而得，计算示意图如图3.20所示，添加三角形分布荷载计为Ⅰ用虚线箭头表示，原三角形荷载计为Ⅱ，用实线箭头表示，将Ⅰ和Ⅱ相加为Ⅰ+Ⅱ，即为均布竖向载荷，先按照Pt竖直均布荷载应力分布系数为Ks，求出O′以下角点的附加应力值为Kspt；计算O′角点下在Ⅰ作用下引起的附加应力，其数值上等于在O角点下在Ⅱ作用下引起的附加应力值，即为Ktpt；将竖向均布荷载引起的附加应力减去Ⅰ作用下引起的附加应力，即

Kto，Kto′其值可由表3.4查得，Kto=f（m，n），Kto′=f（m，n），m=L/B，n=z/B。B是沿三角形荷载变化方向的矩形边长。此外，表3.4给出的是O角点下不同深度处的应力系数。

3.4.2.3 矩形面积水平均布荷载时角点下竖向附加应力

如图3.21所示，当矩形面积上作用有ph时。角点下任意深度z处的竖向附加应力为

式中：Kh为矩形面积作用水平均布荷载时角点下的应力系数，可以从表3.5中查得。m=L/B，n=z/B，且B规定为平行于水平荷载作用方向的边长，L规定为垂直于水平荷载作用方向的边长。式（3.25）中，当计算点在水平均布荷载作用方向的终止端以下时取“+”号；当计算点在水平均布荷载作用方向的起始端以下时取“-”号。

图3.21 矩形面积平行均布荷载时角点下的应力

当计算点在荷载面积范围内（或外）任意位置时，同样可以利用“角点法”和叠加原理进行计算。

图3.22 圆形面积均布荷载作用中心点下竖直附加应力推导示意图

3.4.2.4 圆形面积竖直均布荷载时中心点的附加应力

设圆形面积基底的半径为r0，其上作用均布荷载p，如图3.22所示。荷载中心点O下任意深度z处M的附加应力，运用式（3.13），在圆面积上积分求得。

计算时，将柱坐标放在圆心处，在圆面积内任意取一微面积dA=rdrdθ，在其上

在微面积rdrdθ上的微集中力为dP=prdrdθ，dP作用点与M点的距离，dP在M 点的附加应力由式（3.13）求出：

在这个圆面积上积分可得圆形面积均布荷载作用时在M点引起的应力为

式中：K0为圆形面积圆心点下的竖直应力分布系数，K0=f（r／z），其数值由表3.6查。

3.4.3 平面问题条件下地基附加应力

一般平面问题比空间问题计算要简单一些。理论上，当条形基础的长度l与宽度B之比，地基中的应力状态属于平面问题。但实际上不存在的条形基础。根据研究，当时将其视为平面问题的计算结果导致的误差很小，完全为工程所允许。有时当时，按照平面问题计算也能保证足够的精度。因此平面问题条件下的地基附加力在工程中经常采用。

3.4.3.1 竖直线荷载作用下的地基附加应力

线荷载是作用于半无限空间表面宽度趋近于零延无限抗直线均布的荷载。如图3.23所示，设线荷载为p（kN/m），则在微段dy作用的微集中力为pdy。在xoz的地基剖面内，任一点M（x，0，z）的附加应力可根据布辛内斯克基本解运用积分方法求解：

同理可以求得

图3.23 线性荷载作用下地基附加应力计算示意图

式（3.28）、式（3.29）和式（3.30）就是著名的符拉蒙（Flamant）解答。由于线荷载沿着y坐标无限延伸，因此与y轴垂直，平行于xoz任何平面上的应力状态完全相同，这完全属于弹性力学平面问题，此时τxz=τzx，τyz=τzy=0，σy=μ（σx+σz）。也就是说，本类问题只有三个独立的分量。

3.4.3.2 条形基底均布荷载作用下地基附加应力

设条形基底宽B，如图3.24所示，作用有均布基底净压力p，则在微宽度dζ作用下的线载荷为pdζ。应用式（3.13）沿着宽度B上积分可以得到地基中任意点M的竖向附加应力σz：

同理可以求得

式中：为条形基底均布荷载作用下的附加应力系数，它们是m=L/B，n=z/B的函数，表达式分别为

附加应力系数根据表3.7查询直接使用，方便计算。

图3.24 条形基底均布荷载作用下地基附加应力计算示意图

3.4.3.3 条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力

如图3.25所示为条形基底作用三角形分布荷载时（三角形分布的净压力，最大值为p），在微宽度dζ作用下的线荷载为，应用符拉蒙解答沿着宽度B上积分可以得到条形基底受三角形分布荷载作用时地基中任意点M的竖向附加应力为

式中：为条形基底均布荷载作用下的附加应力系数，它们是m=L/B，n=z/B的函数，其数值可以查表3.8，表达式分别为

图3.25 条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力计算示意图

3.4.3.4 条形基底受水平荷载作用时附加应力

当条形基底作用有水平均布荷载p（作用于基底沿宽度B方向的切向力）时，如图3.26所示。地基下任意一点的附加应力同样可以利用弹性力学中水平线荷载作用下的地基附加应力的基本公式，先求微宽度dζ上水平均布荷载对任意点M引起的附加应力，然后沿着宽度B上积分可以得到条形基底受水平分布荷载作用时附加应力：

式中：为条形基底均布荷载作用下的附加应力系数，它们是m=L/B，n=z/B的函数，其数值可以查表3.9，表达式分别为

图3.26 计算示意图条形基底受水平荷载作用时附加应力

图3.27 基底压力、基底净压力分解示意图

前文介绍了竖直均布荷载、三角形分布荷载及水平均布荷载作用下角点（空间问题）或任意点（平面问题）的附加应力计算。在实际工程中，尤其是在水工建筑物中，基底上的合力常常是既偏心又倾斜。因此，竖直向的基底压力是按照梯形分布，水平荷载一般假定为均布，如图3.27所示。计算附加应力时，应先求出梯形基底的净压力；然后将梯形基底净压力分解为均布pn和三角形分布pt，再分别求出pn、pt、ph作用下地基附加应力；最后将上述的几种荷载情况所引起的地基同一点的附加应力进行线性叠加即可得到对应点的附加应力。即条形面积上其他形式的分布荷载，可以利用应力叠加原理通过积分求得。

图3.28 条形基础与矩形基础竖直均布荷载下任意点应力对比图

（a）条形基础；（b）矩形基础

为进一步分析理解条形基础和矩形基础在均布荷载时任意深度的应力，特绘制图形比较，如图3.29所示。

3.4.4 土坝（堤）自重应力和坝基附加应力

前文中对土坝（堤）自重应力进行简单介绍，为了对坝基附加应力计算有一个全面的理解，主要土坝（堤）自重应力和附加应力计算。土坝（堤）的剖面的形状不符合半无限空间的假定，其边界条件以及坝基的变形条件对坝身会坝基的应力由明显的影响，要严格求解坝身的应力既困难有复杂。通常，为使用方便，不论是均质或是非均质土坝，其坝身任意点自重应力均假定等于单位面积上该点以上土柱的有效重度与土柱高度的乘积即按式（3.1）或式（3.2）计算。如图3.29（a）所示，从临空点竖直向下坝身自重应力按直线分布。

由于土坝能够自由地适应坝基的变形，属柔性基础，故基底压力为如图3.29（b）所示的梯形分布。为计算地基中任意点的附加应力，将梯形分布压力分解为两个三角形分布和一个均匀分布压力，再利用式（3.31）和式（3.35）分别计算并叠加。

图3.29 土坝（堤）坝身的自重应力和基底压力

（a）坝身自重应力；（b）坝基底压力

对于土坝的梯形分布荷载，也可以分解为两个直角梯形分布荷载进行分别计算后叠加求解坝基的附加应力。下面就介绍直角梯形荷载下土的附加应力。

图3.30 求解土坝应力分区示意图

若要求解如图3.30所示，梯形分布荷载基底下M点的任意一点附加应力σz可以先计算直角梯形Ⅰ直角梯形Ⅱ引起的附加应力，然后叠加。按照奥斯特伯格（Osterberg）的公式计算直角梯形Ⅰ和直角梯形Ⅱ引起的附加应力，分别是σzⅠ=K′zⅠp，σz2=K′zⅡp。两者叠加后为

同理，可以求得M点的σx和τxz。

式中：K′zⅠ，K′zⅡ（为条形面积梯形荷载Ⅱ的应力分布系数），K′xⅠ，K′xⅡ，K′xzⅠ，K′xzⅡ分别根据A1/z，B1/z，A2/z，B2/z由图3.31（a）、（b）、（c）中查取，其中下标中Ⅰ和Ⅱ分别代表Ⅰ，Ⅱ引起的附加应力，如K′zⅠ为梯形荷载I的引起应力分布系数，为梯形荷载Ⅱ的应力分布系数，其余的以此类推。值得主要的是由于Ⅰ，Ⅱ竖直梯形荷载对M点附加剪应力方向正好相反，因此在进行剪应力叠加时，应该以绝对值大者减去绝对值小者，其方向取绝对值大者的方向。

图3.31（一）梯形分布荷载时的应力分布系数

图3.31（二）梯形分布荷载时的应力分布系数

图3.31（三）梯形分布荷载时的应力分布系数