2.3 平面渗流的控制方程与流网绘制及其应用

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2.3 平面渗流的控制方程与流网绘制及其应用

2.3.1 平面渗流的控制方程

有前面的讨论可以发现，在渗流场中势函数和流函数均满足拉普拉斯方程。实际上根据相关高等数学的知识，势函数和流函数两者互为共轭的调和函数，当求得其中一个时就可以推求出另外一个。从这个意义上讲，势函数和流函数两者均可独立和完备地描述一个渗流场。在渗流场中，由一组等势线（或者等水头线）和流线组成的网格称为流网。

前面讲到的均属于一些边界条件相对简单的一维流问题，这些问题可以直接利用达西定律进行渗流计算。但在实际工程中遇到的渗流问题，常常属于边界条件复杂的二维或三维渗流问题。例如，混凝土坝下透水地基中的渗流可近似当成二维渗流，而基坑降水一般是三维的渗流，如图2.19所示。在这些问题中，渗流的轨迹（流线）都是弯曲的，不能再视为一维渗流。为了求解这些渗流场中各处的测管水头、水力坡降和渗流速度等，需要建立多维渗流的控制方程，并在相应的边界条件下进行求解。

图2.19 二维和三维渗流示意图

（a）混凝土坝下的渗流；（b）基坑降水的渗流

对于所研究的问题，如果当渗流剖面和产生渗流的条件沿某一个方向不发生变化，则在垂直该方向的各个平面内，渗流状况完全一致，可按二维平面渗流问题处理。对平面问题，常取Δy=1m单位宽度（常简称为单宽）的一个薄片来进行分析。下面简要讨论二维平面渗流问题，且仅考虑流场不随时间发生变化的稳定渗流的情况。

1.广义达西定律

在二维平面稳定问题中，渗流场中各点的测管水头h为其位置坐标（x，z）的函数，因此，可以定义渗流场中一点的水力坡降i在两个坐标方向的分量ix和iz分别为

式中：负号表示水力坡降的正值对应测管水头降低的方向。上式表明，像渗透流速一样，渗流场中每一点的水力坡降都是一个具有方向的矢量，其大小等于该点测管水头h的梯度，但两者方向相反。

由式（2.9）所表示的达西定律仅适用于一维单向渗流的情况。对于二维平面渗流，可将该式推广为如下矩阵形式：

或简写为

式中：k一般称为渗透系数矩阵，它是一个对称矩阵，亦即总有kxz=kzx。

需要说明的是，土体内一点的渗透性是土体的固有性质，不受具体坐标系选取的影响。因此，渗透系数矩阵k满足坐标系变换的规则，对应kxz=kzx=0的方向称为渗透主轴方向。

式（2.29）称为广义达西定律。在工程实践中，常常遇到如下两种简化的情况：

（1）当坐标轴和渗透主轴的方向一致时，有kxz=kzx=0，此时

（2）对各向同性土体，此时恒有kxz=kzx=0，且kx=kz=k，因此

由式（2.31）可知，对于各向异性土体，渗透流速和水力坡降的方向并不相同，两者之间存在夹角。只有对各向同性土体，也即当满足式（2.31）时，渗透流速和渗透坡降的方向才会一致。需要说明的是，对本书和工程中所遇到的渗流问题，一般均假定土是各向同性的。

图2.20 二维渗流的连续性条件

2.平面渗流的控制方程

如图2.20所示，从稳定渗流场中取一微元土体，其面积为dxdz，厚度为dy=1，在x和z方向各有流速vx、vz。单位时间内流入和流出这个微元体的水量分别为dqe和dq0，则有

假定在微元体内无源且水体为不可压缩，则根据水流的连续性原理，单位时间内流入和流出微元体的水量应当相等，即

式（2.32）即为二维平面渗流的连续性方程。

根据广义达西定律，对于坐标轴和渗透主轴方向一致的各向异性土，将式（2.32）代入式（2.32），可得

对于各向同性土体，由式（2.31）可得

式（2.36）即为著名的拉普拉斯（Laplace）方程。该方程描述了各向同性土体渗流场内部测管水头h的分布规律，是平面稳定渗流的控制方程式。通过求解一定边界条件下的拉普拉斯方程，即可求得该条件下渗流场中水头的分布。此外，式（2.36）与水力学中描述平面势流问题的拉普拉斯方程完全一样。可见满足达西定律的渗流问题是一个势流问题。

3.渗流问题的边界条件

每一个渗流问题均是在一个限定空间的渗流场内发生的。在渗流场的内部，渗流满足前面所讨论的渗流控制方程。沿这些渗流场边界起支配作用的条件称为边界条件。求解一个渗流场问题，正确地确定相应的边界条件也是非常关键的。

对于在工程中常常遇到的渗流问题，主要具有如下几种类型的边界条件。

（1）已知水头的边界条件。

在相应边界上给定水头分布，也称为水头边界条件。在渗流问题中，非常常见的情况是某段边界同一个自由水面相连，此时在该段边界上总水头为恒定值，其数值等于相应自由水面所对应的测管水头。例如，如果取O—O为基准面，在图2.21（a）中，AB和CD边界上的水头值分别为h=h1和h=h2；在图2.21（b）中，AB和GF边界上的水头值h=h3，LKJ边界上的水头值h=h4。

（2）已知法向流速的边界条件E。在相应边界上给定法向流速的分布，也称为流速边界条件。最常见的流速边界为法向流速为零的不透水边界，亦即vn=0。例如，在图2.21（a）中的BC，图2.21（b）中的CE，当地下连续墙不透水时，沿墙的表面，亦即ANML和GHIJ也为不透水边界。

对于如图2.21（b）所示的基坑降水问题，整体渗流场沿KD轴对称，所以在KD的法向也没有流量的交换，相当于法向流速为零值的不透水边界，此时仅需求解渗流场的一半。

此外，图2.21（b）中的BC和EF是人为的截断断面，计算中也近似按不透水边界处理。注意此时BC和EF的选取不能离地下连续墙太近，以保证求解的精度。

（3）自由水面边界。在渗流问题中也称其为浸润线，如图2.21（a）中的AFE。在浸润线上应该同时满足两个条件：

1）测管水头等于位置水头，亦即h=z，这是由于在浸润线上土体孔隙中的气体和大气连通，浸润线上压力水头为零所致。

2）浸润线上的法向流速为零，也即渗流方向沿浸润线的切线方向，此条件和不透水边界完全相同，亦即为vn=0。

图2.21 典型渗流问题中的边界条件

（a）均质土坝渗流；（b）基坑降水的渗流

（4）渗出面边界。如图2.21（a）中的ED，其特点也是和大气连通，压力水头为零，同时有渗水从该段边界渗出。因此，在渗出面上也应该同时满足如下两个条件：

1）h=z，即测管水头等于位置水头。

2）vn≤0，也就是渗流方向和渗出面相交，且渗透流速指向渗流域的外部。

4.渗流问题的求解方法

目前，对渗流问题通常可采用如下四种类型的求解方法。

（1）数学解析法或近似解析法。数学解析法是根据具体边界条件，以解析法求式（2.33）或式（2.34）的解。严格的数学解析法一般只适用于一些渗流域相对规则或边界条件简单的渗流问题。此外，对一些实际的工程问题，有时可根据渗流的主要特点对其进行适当的简化，以求取相应的近似解析解答，也可满足实际工程的需要。

（2）数值解法。随着计算机和数值计算技术的迅速发展，各种数值方法，如有限差分法、有限单元法和无单元法等，在各种渗流问题的模拟计算中得到了越来越广泛的应用。数值解法不仅可用于各种二维或三维问题，也可很好地处理各种复杂的边界条件，已逐步成为求解渗流问题的主要方法。

（3）试验法。试验法即采用一定比例的模型来模拟真实的渗流场，用试验手段测定渗流场中的渗流要素。例如，曾经应用广泛的电比拟法，就是利用渗流场与电场所存在的比拟关系（两者均满足拉普拉斯方程），通过量测电场中相应物理量的分布来确定渗流场中渗流要素的一种试验方法。此外还有电网络法和沙槽模型法等。

（4）图解法。根据水力学中平面势流的理论可知，拉普拉斯方程存在共轭调和函数，两者互为正交函数族。在势流问题中，这两个互为正交的函数族分别称为势函数φ（x，z）和流函数φ（x，z），其等值线分别为等势线和流线。绘制由等势线和流线所构成的流网是求解渗流场的一种图解方法。该法具有简便、迅速的优点，并能应用于渗流场边界轮廓较复杂的情况。只要满足绘制流网的基本要求，求解精度就可以得到保证，因而该法在工程中得到广泛应用。

本节下面主要介绍流网的特性、绘制方法和应用。

2.3.2 流网的绘制及应用

1.势函数及其特性

为了研究的方便，在渗流场中引进一个标量函数φ（x，z）：

式中：k为土体的渗透系数；h为测管水头。

根据广义达西定律可得

由式（2.36）可见，渗流流速矢量v是标量函数φ的梯度。一般说来，当流动的速度正比于一个标量函数的梯度时，这种流动称为有势流动，这个标量函数被称为势函数或流速势。由此可见，满足达西定律的渗流问题是一个势流问题。

由渗流势函数的定义可知，势函数和测管水头呈比例关系，等势线也是等水头线，两条等势线的势值差也同相应的水头差成正比，它们两者之间完全可以互换。因此，在流网的绘制过程中，一般直接使用等水头线。

将式（2.36）代入式（2.32）可得

可见，势函数满足拉普拉斯方程。

2.流函数及其特性

流线是流场中的曲线，在这条曲线上所有各点的流速矢量都与该曲线相切，如图2.22所示。对于不随时间变化的稳定渗流场，流线也是水质点的运动轨迹线。根据流线的上述定义，可以写出流线所应满足的微分方程为

图2.22 流线的概念

根据高等数学的理论，式（2.38）的左边可写成某一个函数全微分形式的充要条件为

对比式（2.32）可以发现，上述的充要条件就是渗流的连续性方程，在渗流场中是恒等成立的。因此，必然存在函数ψ为式（2.38）左边项的全微分，亦即

函数ψ称为流函数。由式（2.39）可知

流函数ψ具有如下的两条重要特性：

图2.23 流函数的特性

（1）不同的流线互不相交，在同一条流线上，流函数的值为一常数。

流线间互不相交是由流线的物理意义所决定的。根据式（2.38）和式（2.39）显然可以发现，在同一条流线上有dψ=0，因此流函数的值为一常数。反过来这也说明，流线就是流函数的等值线。

（2）两条流线上流函数的差值等于穿过该两条流线间的渗流量，对于图2.23中所示的情况应有dψ=dq。

证明如下：在两条流线上各取一点a和b，其坐标分别为a（x，z），b（x-dx，z+dz）。显然，ab为两流线间的过水断面，则流过ab的流量dq为c。

将式（2.40）代入式（2.30）可得

可见，同势函数一样，流函数也满足拉普拉斯方程。

3.二维渗流流网

设在流网中取出一个网格，如图2.24所示，相邻等势线的差值为Δφ，间距l；相邻流线的差值为Δψ，间距s。设网格处的渗透流速为v，则有

图2.24 流网的特性

因此，当Δφ和Δψ均保持不变时，流网网格的长宽比l/s也保持为一常数，而当Δφ=Δψ时，对流网中的每一网格均有l=s，这样，流网中的每一网格均为曲边正方形。

4.流网特征

由式（2.34）可知，渗流场内任一点的水头是其坐标的函数，而一旦渗流场中各点的水头为已知，其他流动特性也就可以通过计算得出。因此，作为求解渗流问题的第一步，一般就是先确定渗流场内各点的水头，亦即求解渗流基本微分方程式（2.34）。

众所周知，满足拉普拉斯方程的是两组彼此正交的曲线。就渗流问题来说，一组曲线称为等势线，在任一条等势线上各点的总水头是相等的，或者说，在同一条等势线上的测压管水位都是同高的；另一组曲线称为流线，它们代表渗流的方向。等势线和流线交织在一起形成的网格叫流网。然而，必须指出，只有满足边界条件的流线和等势线的组合形式才是方程式（2.34）的正确解答。

为了求得满足边界条件的解答，常用的方法主要有解析法、数值法和电模拟法三种。一般解析法是比较精确的，但也只有在边界条件较简单的情况才容易得到，因此并不实用。对于边界条件比较复杂的渗流，一般采用数值法和电模拟法。它们的原理请参阅有关著作，但不论采用哪种方法求解，其最后结果均可用流网表示。

图2.25 坝体下渗流流网

如图2.25所示为坝基中的流网，未带箭头表示等势线，带箭头实线表示流线。对于各向同性的渗流介质，流网具有下列特征：

（1）流线与等势线彼此正交，故流网为正交的网格。

（2）在绘制流网时，如果取相邻等势线间的Δφ和相邻流线间的Δψ为不变的常数，则流网中每一个网格的边长比也保持为常数。特别是当取时Δφ=Δψ，流网中每一个网格的边长比为1，此时流网中的每一网格均为曲边正方形。

（3）相邻等势线间的水头损失相等。

（4）各流槽的渗流量相等。

流网一经绘出，我们就可以从流网图形上直观地获得流动特性的总轮廓。如图2.25所示，愈接近坝底，流线愈密集，表明该处的水力梯度愈大，渗流速度也愈大；而离坝底愈远，流线愈稀疏，则水力梯度愈小。根据流网还可以定量地确定渗流场中的水头、孔隙水应力和水力梯度等。

5.流网的画法

根据前述的流网特征可知，绘制流网时必满足下列几个条件：

（1）流线与等势线必须正交。

（2）流线与等势线构成的各个网格的长宽比应为常数，即l/s为常数。为了绘图的方便，一般取l=s，此时网格应呈曲线正方形，这是绘制流网时最方便和最常见的一种流网图形。

（3）必须满足流场的边界条件，以保证解的唯一性。

现以图2.26所示混凝土坝下透水地基的流网为例，说明绘制流网的步骤。

（1）首先根据渗流场的边界条件，确定边界流线和边界等势线。该例中的渗流是有压渗流，因而坝基轮廓线是第一条流线；其次，不透水层面也是一条边界流线。上下游透水地基表面和则是两条边界等势线。

（2）根据绘制流网的另外两个要求，初步绘制流网。按边界趋势先大致画出几条流线，如，彼此不能相交，且每条流线都要和上下游透水地基表面（等势线）正交。然后再自中央向两边画等势线，图2.26中先绘中线6，再绘线5和线7，如此向两侧推进。每根等势线要与流线正交，并弯曲成曲线正方形。

（3）一般初绘的流网总是不能完全符合要求，必须反复修改，直至大部分网格满足曲边正方形为止。但应指出，由于边界形状不规则，在边界突变处很难画成正方形，而可能是三角形或五边形，这是由于流网图中流线和等势线的根数有限所造成的。只要网格的平均长度和宽度大致相等，就不会影响整个流网的精度。一个精度较高的流网，往往都要经过多次反复修改，才能最后完成。