4.4 陡倾层状围岩动力稳定性分析

隧洞在施工过程中经常受到爆破、地震以及施工机械等周期性荷载的扰动，而对于层状岩体来说，这种周期性荷载产生的一系列纵向荷载虽然没有达到岩板静力失稳的临界值，但是应考虑在纵向荷载作用下对板横向振动的影响，当扰动载荷的频率与板固有频率具有某种关系时，会出现剧烈的横向振动，以致发生失稳，这种现象称为参数共振。本节将实际层状岩体问题简化为具有陡倾角的岩质矩形板，分析研究其在周期性动力荷载作用下的动力不稳定区域，为隧洞设计和施工决策提供理论依据。

4.4.1 静力稳定性分析

静力稳定性分析是通过数学极值的理论研究力学性质，结合力学参数得到临界值失稳的值，本书考虑了陡倾状岩体在纵向荷载作用下的边界情况，一般发生失稳以滑动失稳破坏为主，故假设矩形板一端为固定支座，另外三端为可滑动的辊轴支撑，矩形板板长为a，宽度为b，厚度为h，弹性模量E，泊松比ν，力学模型见图4.4。

图4.4 岩质矩形板受静载荷作用下的力学模型

弹性薄板的工程理论基本方程为

式中：D为薄板抗弯刚度；ω为挠度。

将D=，Nx=-Pv；Ny=Nxy=0代入式 （4.29）中得

且边界条件满足如下关系：

令本问题的挠度为

显然，将式（4.31）代入式（4.32）中，结果挠度满足边界条件，此挠度假设合理。

将式（4.32）代入式（4.30）中得

对比式（4.33）与式（4.32）可知，当满足式（4.34）时，所得的荷载将是临界载荷。

此时我们分析临界荷载的最小值，若实际载荷小于最小临界值时，说明是稳定的，不会发生屈曲失稳，若是超过最小临界值，则有可能发生失稳破坏。为了便于分析，我们按一般情况分析，即认为荷载沿X方向的半波个数m和沿Y方向的半波个数n均为1，即m=n=1。此时，临界荷载变为

4.4.2 动力稳定性分析

4.4.2.1 无阻尼动力稳定的基本理论

设长为a、宽度为b、厚度为h的岩质矩形板承受纵向动力荷载P（t）的作用，力学模型见图4.5。

图4.5 岩质矩形板受动荷载作用下的力学模型

则其动力微分方程一般形式满足

式中：A、B、C为具有常数元素的矩阵；Φ（t）为周期时间为T的周期函数；E为单位阵；P0为不变荷载，kN；Pt为随时间变化的荷载，kN。

式（4.37）满足

为了方便分析，将式（4.37）进行一系列的线性变换，设ρ1，ρ2，…，ρm为特征方程式的根，它们之间没有重根，则式（4.37）的解可写成如下形式：

式中：为周期为T的周期向量。

根据式 （4.39），则有，其中，为某一近似周期向量，且满足。

若ρ1，ρ2，…，ρm中有重根时，则至少在一个周期内满足解的形式：

分析式（4.39）、式（4.40）可知，根据特征方程根的模进行岩质矩形板稳定性判别，如果根的模均小于1，则岩质矩形板动力稳定；如果根的模至少有一个大于1，则该岩质矩形板就动力不稳定；如果根的模等于1，则岩质矩形板可能动力稳定，也可能动力不稳定。通过对方程组系数进行线性变换，推导出ρ1ρ2=1，并且当ρ1=ρ2=1时，得到周期为T的周期解；并且当ρ1=ρ2=-1时，得到周期为2T的周期解。由此可知，在不稳定区域的边界上，微分方程式（4.37）具有周期为T和2T的周期解，也就是说，同一周期的两个解构成不稳定区域，不同周期的两个解构成稳定区域。

4.4.2.2 无阻尼动力稳定区域和不稳定区域的确定

由上述分析可知，求解不稳定区域的重点转移为求动力微分方程式（4.37）所满足的周期为T和2T的周期解，为方便寻找这样的周期解，取常数矩阵A=B，Φ（t）=cos（θt），则式（4.37）变为

其中，。

令f（t）=，并将其代入式 （4.41）中，使同类项系数相等，得到周期为2T的解得存在条件满足如下形式：

再设f（t）=，将其代入式 （4.41）中，得周期为T的解得存在条件满足如下形式：

对于周期为2T的行列式保留一阶行列式得2T的解，令=0，得第一不稳定区域边界为

其中，称为分频率比，一般r与1比较足够小或者足够大。

对于周期为T的行列式保留一阶行列式得T的解，令

得第二不稳定区域边界为

式中：，P*为岩质矩形板发生屈曲时的临界荷载值，kN；ω1、ω2分别为板未受载荷时沿x、y方向固有振动频率。

Ω 1、Ω2分别为在纵向力作用下板沿x、y方向的固有振动频率，Ω1=。

根据式（4.44）、式（4.45），求得岩质矩形板稳定区域和不稳区域在参数平面上的分布情况，并以r=0.1为例，分析随着的取值不同时参数平面动力、不稳定区域的变化情况，具体如图4.6～图4.9所示。

图4.6 P0/P*=0.1参数平面动力不稳定区域范围

根据图4.6～图4.9可得以下结论：

（1）参数平面上随着不变荷载P0的增大，即与临界载荷的比值增大，参数平面上第一不稳定区域的范围不断地扩大，岩质矩形板越趋于不稳定。而第二不稳定区域有先减小后增大的趋势，但是相比第一不稳定区域来说，变化幅度较低。

（2）对于参数平面上，随着不变荷载P0的增大，即与临界载荷的比值增大，第一不稳定区域的范围并没有呈现出像在参数平面上明显的增加趋势，只是稍微增加。而第二不稳定区域的范围呈现出由小变大的规律，其变化幅度显然略高于第一不稳定区域。由此可知，对于分频率r≪1的情况，控制岩质矩形板主要动力稳定区域的参数平面是。当r≫1的时候，控制岩质矩形板动力稳定的参数平面主要是。

图4.7 P0/P*=0.3参数平面动力不稳定区域范围

图4.8 P0/P*=0.5参数平面动力不稳定区域范围

图4.9 P0/P*=0.7参数平面动力不稳定区域范围

（3）当的比值一定时，随着的增加，不稳定区域的开口越大，所包围的不稳定区域的范围越大，说明岩质矩形板越不稳定。