3.7 发电问题线性化方法

黔中水库群优化调度问题含有水力发电问题，属于非线性规划问题。如果将发电问题线性化，就能够将整个水库群优化调度问题转化为线性问题，可以用线性规划方法求解。线性规划法不仅有收敛到全局最优解的理论保障，而且求解速度很快，因此得到了广泛应用。

3.7.1 线性化思路

对于水力发电问题，如果逐个电站整体线性化，发电量计算的误差比较大。假设一个最大水头100m（水库蓄水位处于正常高水位）、水库水位最大消落深度40m（水库蓄水位处于死水位）的水电站，则最大水头是最小水头的1.67倍。可见在两水位下单位水量的发电量是相当悬殊的。通常水库处于正常高水位、死水位和汛限水位附近的运行时间比较长，而处于平均水位附近的运行时间并不一定最长，所以平均水头并不一定能够较好地代表多数时段的真实情况。更关键、难度更大的是水资源优化配置是动态进行的，水库的水位和发电水量及目标函数都是变化的，在建立优化模型时都是优化对象。如果对于各个电站水库水位与发电水量缺乏匹配依据，就难以保证线性化后的发电量计算精度。

我国古代著名数学家刘徽（225—295年）对圆周率的求解方法，给出了很好、很重要的启发。圆周是曲线，从局部出发沿着圆的轨迹能够一段一段地用直线线段近似圆弧，算出了整体上精度很高的圆周率（3.1415～3.1416）。关键有两点：①必须沿着圆的轨迹逐段近似，即简化必须符合具体问题的实际情况，这一点最重要；②通过足够多的局部近似和简化，可以得到非常接近整体的结果。由此得到解决问题的思路：①掌握各个水电站水库在水资源系统中调度运行的动态空间轨迹，并研究细分发电的多维子空间（是数学上的空间，每个子空间都可以用一些变量或参数描述）；②分别针对每个动态子空间，线性化水力发电问题，建立发电方程；③逐个优化年周期动态地建立水资源多目标优化配置模型；④用线性规划求解含有水力发电的优化配置问题。

3.7.2 线性化方法

根据前述思路，水力发电线性化的关键在于：追寻发电水库调度的动态轨迹、划分动态子空间、确定每个子空间的发电水头。

1.划分动态子空间

在年周期序贯决策方法中，优化期的时段构成用水时间轴；对于采用长系列来水资料的水资源配置来说，还存在另外一条来水时间轴，即历史来水的年、月时段序列。地理空间包括一个流域或一个行政区或者是由多个流域和行政区交叉组成的某特定区域，例如，针对黄淮海地区，流域或行政区域可以分成多个子区域，最小的为计算单元，构成用水地域轴；在用水户方面既可以是用水行业，也可以是特定用水对象，即用户轴。在计算单元上的行业用水包括城镇生活用水、农村生活用水、工业用水、三产用水、农业用水、城镇生态用水、农村河道外生态用水等；特定对象用水包括航运用水、水力发电用水、河道内生态环境用水、湖泊湿地补水等；水源包括当地地表水、地下水、外调水、非常规水（例如，再生水、集雨工程供水、海水利用工程供水、洪水利用工程供水等，即水源轴。其中集雨工程和洪水资源化工程的供水也可以归于地表水）。水力发电用水属于特定用水，各个水电站构成电站轴。

由此可见，水资源优化配置中的水电站群优化调度比单纯发电的水电站群优化调度复杂得多。不仅水电站（或水库）间存在着串并联关系、水文和水力联系，用水竞争不仅仅是各电站之间、各时段之间的竞争，还增加了多种用水户的竞争，并增加了多种供水水源以及非发电水库和地下水水库进行调节。某个水电站k时段t的发电用水多少不仅影响着该电站其他时段的用水量与发电量，还影响着其他水电站各时段的用水量与发电量以及整个优化期所有用水户的水量分配方案，而且还受到其他用水户的用水影响和系统调节方案的影响。在决定发电量多少的两大优化变量中，发电水头是各个水电站所独有的，随水库调度方案而变，其影响范围和影响程度都比发电用水量小得多。所以，水力发电线性化时，简化水头比简化水量容易得多。简化水头，首先必须根据整个系统水资源优化配置的特点和要求，跟踪每个水电站水库在调度运行中的动态空间轨迹，划分动态子空间。使每个子空间内水库蓄水位变化较小（即发电水头变化较小），才能做到简化后的发电量误差很小。

动态子空间的维度。从线性化的需要和与发电有关的方面来定义和划分动态子空间：①年内时段以t计；②水电站以k计；③时段来水量等级（按照时段来水量从大到小排频，划分频率段）以l计。对于优化期中的决策时段需要描述的动态子空间Ω_t，k，l是三维的，非决策时段，来水量和需水量均采用对应月份的多年平均值，则动态子空间Ω_t，k降为二维。

2.子空间的发电线性化

在决策时段（t=tm）发电子空间Ω_t，k，l中，发电水头为

式中：PH_t，k，l为时段发电平均水头；为时段初上游水位；为时段末上游水位；为下游平均尾水位；PPHSS^k为水头损失。

其中，下游平均尾水位和水头损失近似为常数，且已知；时段初上游水位在每次优化之前也已知。时段末上游水位要待当次周期优化配置结束后才能够准确确定，属于未知，但可以通过长系列模拟试算得到相同（指相同电站、相同月份、相同来水，下同）发电子空间Ω_t，k，l的水库k的月库容或蓄水量变化的统计平均值ΔV_t，k，l，再根据该均值和水位库容关系曲线可求得时段末上游水位的近似估计值。

对于非决策时段（t≠tm），同样可以通过长系列模拟试算得到相同子空间Ω_t，k的平均发电水头PH_t,k，由水头、机组效率系数与常数9.81之积得非决策时段的单位流量的发电出力。将决策时段和非决策时段的发电水头代入式 （3.5）即得优化期各时段的线性发电出力方程：

3.参数率定

ΔV_t，k，l和H_t，k可以通过长系列优化模拟试算得到。初次试算可以不考虑水力发电，由长系列优化模拟的结果可分析得出一套初值。然后，代入优化模型并考虑水力发电，再进行长系列优化模拟，可得出一套新值，即完成一次迭代。各次试算迭代分析得到的结果是收敛的，一般几次就能够得到前后差别很小的结果，即完成了参数率定。只要系统未变，这套参数就一直可用（包括用于规划和运行管理），尽管未来来水量和需水量都在正常变化。系统未变是指：①来水系列的平稳性没有大的变化，不同样本，仍然属于同一总体；②水利工程系统没有变化，例如，没有增加或减少水库、调入或调出水工程等；③用途和使用规模不变，例如，相同水平年和规划方案等不变（水平年或规划方案改变往往会导致供水用途及各种用水量的规模发生显著变化，甚至还有水利工程的变化）。如果系统变了，就需要重新率定参数，重新率定的工作量较小。

3.7.3 线性化方法的收敛性与精度验证

虽然从前面介绍的水力发电问题线性化思路和方法，可以分析推断：在整个系统水资源优化配置迭代过程中，对非线性的水力发电问题的线性化处理的水库水位变量误差、发电水头误差、发电量误差是收敛的，其计算精度是足够高的。但是，由于系统涉及的因素非常多、关系极其复杂，无法从理论上严格证明上述推断。下面采用实证法予以说明。即用黔中水库群的实际系统和综合利用优化调度的实际数据（水库群见4.1.2节、系统网络结构如图4.1所示、多用途优化调度的价格方案为表6.1中的现实情景、生态环境需水量情景为情景1，见5.2.1节，其他条件与各优化调度方案相同），采用年周期序贯决策法进行长系列优化配置，从优化配置结果中摘出有关信息，对比进行线性化处理与否的差异。

发电水头对比。从由3月（t=3）、平寨水电站水库（k=1）、来水分别为从1968—2007年系列中提取的丰（来水频率P<35%，即l=1）、平（35%≤P＜65%，即l=2）、枯（65%≤P≤85%，即l=3）和特枯（P>85%，即l=4）年份构成的4个发电子空间（Ω_t，k，l）提取发电水头信息和当月水库需水量变化信息。这些发电子空间中进行线性化处理与不进行线性化处理的平均发电水头差异随迭代次数的变化情况见表3.5。从前5次迭代的结果看，收敛是比较快的。从工程实际应用的角度看，0.1%的精度不仅满足要求而且是非常高的。这里就以相对水头差异0.1%为收敛标准。经过5次迭代后，表3.5所示平寨水电站水库3月对应的4个发电子空间的发电水头都满足此收敛条件。经过10次迭代后，黔中水库群所有水电站水库的全部动态子空间的发电水头都满足该收敛条件。可见线性化处理得到的发电水头精度是很高的。

各发电子空间的发电水头之所以收敛，是因为水库蓄水量变化值是收敛的。迭代10次后就能得到黔中水库群所有水电站水库全部动态子空间的收敛的蓄水量变化值。以平寨水库为例，不同来水情况下各月蓄水量变化值见表3.6。可以看出，该库丰、平、枯、特枯水年依次是：水库蓄水量减少值逐渐加大，而增加值或回蓄值则逐渐减小；丰水年水库蓄水量减少得少，回蓄得较多，水库保持较高水位；越枯的年份来水越少，蓄水量减少得越多，回蓄得越少，水库处于较低水位。这是符合来水和调水的实际情况和优化调度理念的。

发电量对比。水库的蓄水量变化值、发电水头都是中间信息，水力发电线性化的精度最终体现在发电量差异。经过10次迭代后，用线性方法计算的平寨水电站和水电站群多年平均发电量与未线性化处理的多年平均发电量的差异见表3.7。可见前述水力发电线性化方法无论是对单座水电站还是对整个水电站群的多年平均发电量的影响都在万分之几的水平。精度是非常高的。