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2.3 平衡微分方程
上节讨论了一点的应力状态,物体内各点的应力状态是不同的,其空间分布称为应力场,本节研究应力场的变化规律。为简单起见,对于如图2.1.2所示的空间应力微元体,假设与z轴垂直平面上的应力分量为0,即σz=τzx=τzy=0,此时所有的非零应力分量都在Oxy平面上,空间微元体可以退化成平面微元体。先以此平面微元体情况为例,讨论物体处于平衡状态时应力与体力之间的相互关系,由此导出平衡微分方程。
图2.3.1 平面微元体的平衡
在平面微元体情况下,只需要在Oxy平面上建立受力平衡方程即可。图2.3.1是从物体内取出的厚度为1,边长为dx、dy的平面微元体,微元体内受x、y方向的体力分别为Fbx、Fby。作用在两个负面上的应力分量为σij,它们是坐标的函数,两个正面的坐标比相应的负面分别增加了dx、dy,应力分量随之变化,这种变化可用泰勒级数展开来求解,例如ab面上的σx经过距离dx到dc面后变为
其中省略号表示忽略二阶以上的小量,同理可以求出微元体各个表面上的应力分量。
各应力分量必须要满足微元体静力平衡的要求,由∑Fx=0得
化简后得到
同理由∑Fy=0可得
式(2.3.1)即为平面问题的平衡方程。
对于空间(三维)应力状态的情况,可从受力物体中取出一微六面体单元,经过与平面微元体类似的推导,得到如下的平衡方程(推导过程可作为练习):
上式即为三维情况下的平衡方程。
如果用张量分量来表示应力,并引入下标记号法,平衡方程式(2.3.2)可以简写为
由图2.3.1中单元体的力偶平衡方程还可以证明切应力互等定理式(2.2.3),即由∑Mz=0得
根据上式,利用式(2.3.1),并略去高阶小量,得
三维情况下,还可得到切应力互等定理的其他两式,汇总即为