2．1　应力的概念

作用在物体上的外力可以分为体力和面力。体力是指作用在物体内所有质点上的力，例如物体的自重、惯性力、电磁力等。体力是一个矢量，可用Fb表示：

式中：ΔV为物体内部某一体元；ΔFb为该体元所受的外力矢量，当ΔV→0（即体元趋于一点）时，即可得到物体内某点的体力，N／m3。

面力是指作用在物体表面上的力，例如液体压力、风力、物体表面之间的接触压力等。面力是一个矢量，可用ps表示：

式中：ΔS为物体表面上某一面元；ΔP为该面元所受的外力矢量，当ΔS→0（即面元趋于一点）时，即可得到物体表面某点的面力，N／m2。

应力与面力类似，只是其作用面不是物体表面，而是其内部某一截面，如图2．1．1所示。应力也是一个矢量，可用p表示：

式中：ΔSC为物体内部C截面上围绕P点的面元；ΔP为该面元所受内力的合力矢量，当ΔSC→0（即面元趋于一点）时，即可得到物体内C截面上过P 点的应力，N／m2。

应力矢量p可以在截面C的法向和切向做分解，分别得到正应力矢量σn和切应力矢量τn：

式中：ΔPn和ΔPs分别为ΔP在C截面法向和切向的分量。

在以上的定义中，过P点的截面C是任意的，这样的截面有无穷多个，所有这些截面上应力的集合称为P点的应力状态。显然，要通过列举的方式表达一点的应力状态是不可能的，为了描述一点的应力状态，需要引入应力张量的概念。

在物体内P点的邻域内取出1个正六面体微元，如图2．1．2所示，该六面体的表面外法线方向分别与3个坐标轴平行，其中外法线与x、y、z坐标轴同向的3个面称为正面，外法线与坐标轴反向的面称为负面。由于微元体极小，其各表面上的应力近似均匀分布，因此可用作用于各面中心点上的应力矢量来表示，每个面上作用有1个正应力和两个切应力分量，例如微元体右表面上的正压力为σx，切应力为τxy和τxz。对正应力只用1个字母的下标标记，以拉应力为正，压应力为负。对切应力则用两个字母的下标标记，第1个字母代表应力的作用面，第2个字母代表应力的方向，其正负号规定分为两种情况：当所在面的外法线方向与坐标轴正方向一致时，以沿坐标轴正向的切应力为正，反之为负；当所在面的外法线方向与坐标轴负方向一致时，以沿坐标轴负方向的切应力为正，反之为负。因此，图2．1．2中给出的各应力分量均沿正方向。

图2．1．2中微元体应力分量共有9个，包括3个正应力分量，6个切应力分量（以后将证明，独立的切应力分量只有3个），它们的组合为

如果用1、2、3分别代表x、y、z轴，则上式可写为

当坐标系变换时，σij能够按照一定的变换式变换成另一坐标系Ox′y′z′中的9个量：

数学上，在坐标变换时，服从一定的坐标变换式的量称为张量，因此σij称为应力张量，以后将证明，应力张量是对称的二阶张量。采用张量的概念与表达方法，可以简化冗长的弹塑性力学公式，本教材在附录Ⅰ中介绍张量的下标记号法和求和约定，更详细的描述可参考相关数学书籍。