第一节 平面力系的平衡条件与平衡方程

一、平面任意力系的平衡条件与平衡方程

根据平面任意力系的简化结果，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和力系对其作用面内任一点的主矩都等于零，即

R=0

M_O ㊣

╮=0╯

（3 1）

从而得到平面任意力系的平衡方程的基本形式为

∑X=0∑Y=0∑M_O（F）

㊣

╮

=0╯

（3 2）

式（32）中有三个独立的平衡方程，其中只有一个力矩方程，这种形式的平衡方程称为一矩式。由于投影轴和矩心是可以任意选取的。因此，在实际解题时，为了简化计算，平衡方程组中的力的投影方程可以部分或全部地用力矩方程替代，从而得到平面任意力系平衡方程的二矩式、三矩式。

1.二矩式

平面任意力系的二力矩形式的平衡方程为

∑M_A（F）=0∑M_B（F）=0∑X

㊣

╮

=0 ╯

（3 3）

其中，点A和点B是平面内任意两点，但连线AB必须不垂直于投影轴x轴。

2.三矩式

平面任意力系的三力矩形式的平衡方程为

∑M_A（F）=0∑M_B（F）=0∑M_C（F）

㊣

╮

=0╯

（3 4）

其中，A、B、C三点不能共线。

二、其他平面力系的平衡方程

其他平面力系可视为平面任意力系的特例，其平衡方程可由平面任意力系的平衡方程得到。

1.平面汇交力系

在对汇交点建立力矩方程，则∑M_O（F）=0，则平面汇交力系有两个独立的平衡方程，为

∑X=0∑Y ㊣

╮=0╯

（3 5）

即平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和等于零。

如果对作用于刚体上的平面汇交力系用力的多边形法则合成时，那么各力矢所构成的力多边形恰好封闭，即第一个力矢的起点与最末一个力矢的终点恰好重合而构成一个自行封闭的力多边形，这表示力系的合力R等于零，该力系为一平衡力系，反之，要使平面汇交力系成为平衡力系，它的合力必须为零，即力多边形自行封闭。由此可知，平面汇交力系平衡的几何条件（充要条件）是：力系中力矢构成的力多边形自行封闭。以矢量式表示为

R=0或∑F_i=0

2.平面平行力系

当平面平行力系的主矢和主矩同时等于零时，该力系处于平衡。选x轴与力系平行，则得到两个独立的平衡方程为

∑X=0

∑M_O（F）㊣

╮=0╯

（3 6）

由此可知，平面平行力系平衡的必要与充分条件是：力系中所有各力的代数和等于零，各力对于平面内任一点之矩的代数和也等于零。

平面平行力系只有两个独立的平衡方程，除上面的一矩式外，还可写成如下的二力矩形式

∑M_A（F）=0∑M_B（F）㊣

╮=0╯

（3 7）

其中，A、B两点连线不能与各力的作用线平行。

3.平面力偶系

平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶中各力偶矩的代数和等于零，即只有一个独立的平衡方程

∑M_i=0

（3 8）