第三节 颗粒捕集的基础理论

除尘过程就是指在一种或几种作用力的作用下，使得含尘气流中的尘粒相对运载气流产生一定的位移，并从气流中分离出来，最终沉降到捕集表面上的过程，也称为颗粒捕集过程。颗粒的粒径大小和种类不同，其所受作用力不同，颗粒的动力学行为也不同。颗粒捕集过程所要考虑的作用力有外力、流体阻力和颗粒间的相互作用力。外力一般包括重力、惯性力、离心力、静电力、磁力、热力和泳力等；作用在运动颗粒上的流体阻力，对所有除尘过程来说都是最基本的作用力；颗粒捕集过程中还会受到颗粒间相互作用力的影响，在颗粒浓度不是很高时，可以忽略颗粒间的相互作用力。

一、流体阻力

1.颗粒流体阻力的计算

在不可压缩的连续流体中作稳定运动的颗粒，必然受到流体阻力的作用。流体阻力由两部分组成：

（1）形状阻力，由于颗粒具有一定的形状，运动时必须排开周围的流体，导致其前面的流体压力比其后面大，产生了所谓的形状阻力。

（2）摩擦阻力，由于流体具有一定的黏性，与运动颗粒之间存在着摩擦力，导致了所谓的摩擦阻力。通常把这两种阻力合并考虑，统称为流体阻力。

流体阻力的大小取决于颗粒的形状、粒径、表面特性、运动速度及流体的种类和性质。流体阻力的方向与颗粒运动速度的方向相反，其大小可由以下标量方程计算：

式中 C_D——由试验确定的阻力系数，无因次；

A_p——颗粒在其运动方向上的投影面积，m²，对球形颗粒，A_p=πd²_p/4；

ρ——流体的密度，kg/m³；

u——颗粒与流体之间的相对运动速度，m/s。

阻力系数C_D是颗粒雷诺数Re_p的函数，即C_D=f(Re_p)，其中颗粒雷诺数Re_p的定义式为

式中 d_p——颗粒的定性尺寸，m，对球形颗粒为其直径；

μ——流体的动力黏度，Pa·s。

图2-9给出了球形颗粒的阻力系数随颗粒雷诺数的实验曲线。一般可以分为层流区、紊流过渡区和湍流区3个阻力特性不同的区域。

（1）层流区。当Re_p≤1时，颗粒运动处于层流状态，阻力系数与颗粒雷诺数近似呈直线关系：

对于球形颗粒，将式（2-33）代入流体阻力计算式（2-31），可以得到

式（2-34）即是著名的斯托克斯（Stokes）阻力定律。通常把Re_p≤1的区域称为斯托克斯区。

（2）紊流过渡区。当1<Re_p<500时，颗粒运动处于过渡区，阻力系数与颗粒雷诺数呈曲线关系，计算阻力系数的经验公式有很多，如伯德（Bird）公式：

（3）湍流区。当500<Re_p<2×10⁵时，颗粒运动处于湍流状态，阻力系数几乎不随颗粒雷诺数变化，近似取C_D≈0.44。通常将该区域称为牛顿区域，其流体阻力的计算公式为

2.滑动修正

当颗粒粒径小到与气体分子平均自由程（20℃、1个标准大气压时，分子平均自由程为0.065μm）相当时，颗粒与气体分子间的碰撞就不是连续发生的，颗粒可能与气体分子发生相对滑动。此时，颗粒受到的气体阻力小于将气体按连续介质考虑时的气体阻力，两者偏差可采用坎宁汉修正系数C_u［式（2-5）］进行修正，即

表2-9汇总了不同条件下作用在运动颗粒上流体阻力的计算公式。

【例2-4】 已知：（1）d_p=100μm，u=1.0m/s，T=293K，p=101325Pa；（2）d_p=1.0μm，u=0.1m/s，T=373K，p=101325Pa。试确定上述单一球形颗粒在静止干空气中运动时的阻力。

解：（1）在T=293K和p=101325Pa下，查表2-1可得，干空气的μ=18.1×10^-6Pa·s，密度ρ=1.205kg/m³，则颗粒雷诺数为

颗粒的运动处于湍流过渡区，由式（2-35）可得

代入式（2-31）可得流体阻力为

（2）在T=373K和p=101325Pa下，查表2-1可得，干空气的μ=21.8×10^-6Pa·s，密度ρ=0.947kg/m³，则颗粒雷诺数为

颗粒粒径与气体分子平均自由程相当，颗粒的运动处于滑流区域，需对斯托克斯定律进行坎宁汉修正。由式（2-4）可得气体分子算术平均速度为

由式（2-3）可得气体分子平均自由程为

3.阻力导致的减速运动

在静止的流体中，以某一初速度u₀运动的球形颗粒仅受流体阻力作用时，颗粒只能做非稳态减速运动。以球形颗粒为例，根据牛顿第二定律（F=ma），即

由阻力导致的加速度：

若只考虑斯托克斯区域颗粒的减速运动，将式（2-34）代入，上式可简化为

式中 τ——表征颗粒-气流运动体系的一个基本特征参数，称为颗粒的弛豫时间。

在时间t=0时运动速度为u₀的颗粒，减速到u所需的时间t，可由式（2-40）积分得：

在时间t时，颗粒的速度u为

颗粒由u₀减速到u所迁移的距离x，利用u=dx/dt，变换式（2-40），积分后得到

由以上讨论可知，颗粒弛豫时间的物理意义为：由阻力导致颗粒流动速度减小到1/e（约36.8%）初速度时所需要的时间。

对于处于滑动区域的颗粒，则应引入坎宁汉修正系数C_u，相应的迁移时间和迁移距离为

使颗粒由初速度u₀达到静止所需的时间是无限长的，但颗粒在静止之前所迁移的距离却是有限的，这个距离称为颗粒的停止距离x_s：

二、沉降分离机制

颗粒所受外力不同，其分离机制也不同。以下介绍重力沉降、离心沉降、静电沉降、扩散沉降和惯性沉降等各种分离机制。

1.重力沉降

对于静止流体中的单个球形颗粒，在重力作用下沉降时，所受的力包括重力（F_G）、流体阻力（F_D）和流体浮力（F_B），三力平衡关系可用式（2-47）表示。三力平衡时，颗粒所受合力为零，颗粒开始做匀速沉降，此速度称为末端（终端）沉降速度。

对于斯托克斯区域的颗粒，代入阻力计算公式（2-34），得到颗粒末端沉降速度为

当流体介质是气体时，ρ_p》ρ，可忽略浮力的影响，则末端沉降速度公式可简化为

对于滑动区域的小颗粒，应考虑坎宁汉修正，则其末端沉降速度为

式（2-48b）是除尘技术中重要的计算公式，但它仅对粒径为1.5~75μm的颗粒才是精确的（精度在±10%以内）。当考虑坎宁汉修正后，对于小至0.001μm的微粒也是精确的。

对于较大的球形颗粒（Re_p>1），利用式（2-31）和式（2-47）可得到重力作用下的末端沉降速度为

按上述计算末端沉降速度时，必须先确定C_D。对于湍流过渡区的颗粒，代入式（2-35），可得末端沉降速度的公式为

对于牛顿区的颗粒，C_D=0.44，则末端沉降速度公式为

根据斯托克斯直径的定义，若已知颗粒处于斯托克斯区域时的沉降速度，按式（2-48a）计算出颗粒的斯托克斯直径d_st：

对于流体介质为气体，且处于滑动区域的小颗粒，按式（2-48c）计算其斯托克斯直径：

根据空气动力学当量直径的定义，与颗粒沉降速度相同的单位密度（1g/cm³）球形颗粒的直径，即颗粒的空气动力学当量直径为

颗粒的空气动力学当量直径与斯托克斯直径的关系为

【例2-5】 已知石灰石颗粒的密度为2.67g/cm³，计算粒径为1.0μm和400μm的球形颗粒在293K空气中的重力沉降速度。

解：（1）查表2-1，空气的黏度为1.81×10^-5Pa·s。对于1.0μm的颗粒，应按式（2-48）计算重力沉降速度。在293K空气中坎宁汉修正系数近似为：，则

（2）对于400μm的颗粒，应验证其流动区域。假定其处于斯托克斯区，则u_s和Re_p分别为

显然1<Re_p<500，应采用湍流过渡区公式：

实际的颗粒雷诺数为

可见，应用湍流过渡区公式是合适的。

2.离心沉降

依靠离心力分离颗粒，比单独依靠重力有效得多。随气流一起旋转的球形颗粒，所受的离心力可用牛顿定律确定：

式中 R——旋转气流流线的半径，m；

v_t——R处气流的切向速度，m/s。

在离心力作用下，颗粒将产生离心的径向运动（垂直于切向）。若颗粒运动处于斯托克斯区，则颗粒所受向心的流体阻力可用式（2-34）确定。当离心力和流体阻力达到平衡时，颗粒便达到离心沉降的末端速度：

式中 a_c——离心加速度，若颗粒处于滑流区，还应乘以坎宁汉修正系数C_u。

3.静电沉降

在电除尘器中，荷电颗粒将以某一电力驱进速度在电场中运动。忽略重力和惯性力的作用，荷电颗粒所受的力主要是静电力和气流阻力。静电力为

式中 q——颗粒的电荷，C；

E——颗粒所处位置的电场强度，V/m。

若颗粒运动处于斯托克斯区，则颗粒所受向心的流体阻力可用式（2-34）确定。当静电力和流体阻力达到平衡时，颗粒即达到静电沉降的末端速度，习惯上称为颗粒的驱进速度，并用ω表示：

同样，对于滑流区的颗粒，还应乘以坎宁汉修正系数C_u。

4.惯性沉降

当一静止的或缓慢运动的障碍物（如液滴或纤维等）处于气流中时，该障碍物会成为一个靶子，使气体发生绕流，并能使气流中夹带的某些颗粒沉降到靶上。颗粒能否沉降到靶上，取决于颗粒的质量及其相对于靶的运动速度和位置。

图2-10为运动气流中接近靶时颗粒运动的几种可能情况。小颗粒1跟随气流一起绕过靶；距离停滞流线较远的大颗粒2，也能避开靶；距离停滞线较近的大颗粒3，因其惯性较大而脱离迹线，将保持自身原来的运动方向而与靶碰撞，继而被靶捕获。大颗粒4和小颗粒5刚好能避开与靶碰撞，但其表面与靶接触时被靶拦截，也被靶捕获。

惯性碰撞和拦截都是依靠靶来捕集尘粒的重要除尘机制，下面分别进行讨论。

（1）惯性碰撞。惯性碰撞的捕集效率取决于以下3个因素：

1）气流速度在捕集体（靶）周围的分布。它随捕集体雷诺数Re_D大小而变化，Re_D定义式为

式中 u₀——未被扰动的上游气流相对捕集体的流速，m/s；

D_c——捕集体的定性尺寸，m。

捕集体雷诺数是表示捕集体周围气体流动状况的参数。Re_D高（势流）时，除捕集体表面附近外，气流流型与理想气体一致。Re_D低（黏性流）时，气流受黏性力支配。

2）颗粒的运动轨迹。它取决于颗粒的质量、颗粒所受气流阻力、捕集体的尺寸和形状及气流速度。可由惯性碰撞参数，也称斯托克斯准数St（颗粒运动的停止距离与捕集体直径之比）表征，即

图2-11给出了不同形状的捕集体在不同Re_D下的惯性碰撞分级效率η_II与惯性碰撞参数的关系。

3）颗粒对捕集体的附着。通常假定与捕集体碰撞的颗粒能100%附着。

（2）拦截。颗粒在捕集体上的直接拦截，一般刚好发生在颗粒距捕集体d_p/2的距离内，所以用一特征参数——直接拦截比R_DI来表示拦截效率：

对于惯性大沿直线运动的大颗粒，即St→∞时，在直径为D_c的流管内，皆颗粒皆能与捕集体碰撞。除此之外，与捕集体表面的距离为d_p/2的颗粒也会与捕集体表面接触，而被拦截。因此，靠拦截引起的捕集效率的增量η_DI如下：

对圆柱形捕集体：

对球形捕集体：

对于惯性小沿直线运动的小颗粒，即St→0时，由于拦截引起的捕集效率，可按如下方程估算：

对于绕过球体的势流：

对于绕过圆柱体的势流：

对于绕过圆柱体的黏性流：

对于绕过球体的黏性流：

5.扩散沉降

（1）扩散系数和均方根位移。在极小颗粒的捕集机制中，扩散沉降比重力沉降、离心沉降及惯性沉降等更为有效。极小颗粒也像气体分子一样，表现出无规则运动（布朗运动，Brownian movement）。如果颗粒的浓度分布不均匀，颗粒将从浓度较高的一侧向浓度较低的一侧扩散。颗粒的扩散类似于气体分子的扩散过程，并可用相同的微分方程式来描述：

式中 n——颗粒的个数（或质量）浓度，个/m³（或g/m³）；

t——时间，s；

D——颗粒的扩散系数，m²/s。

颗粒的扩散系数D取决于气体的种类、温度以及颗粒的粒径，其数值比气体扩散系数小几个数量级，可由两种理论方法求得。

对于粒径约等于或大于气体分子平均自由程（Kn≤0.5）的颗粒，可用爱因斯坦（Einstein）公式计算：

式中 k_B——玻尔兹曼常数，k_B=1.38×10^-23J/K；

T——气体温度，K。

对子粒径大于气体分子但小于气体分子平均自由程（Kn＞0.5）的颗粒，可由朗格缪尔（Langmuir）公式计算：

式中 P——气体压力，Pa；

R——气体常数，R=8.314J/(mol·K)；

M——气体的摩尔质量，kg/mol。

表2-10给出了颗粒在293K和101325Pa干空气中的扩散系数的计算值，其中坎宁汉系数C_u按式(2-5)计算。由表可见，颗粒扩散系数随着颗粒粒径的减小而增加。

根据爱因斯坦（Einstein）研究的结果，由于布朗扩散颗粒在时间t秒钟内沿x轴的均方根位移为

表2-11为单位密度的球形颗粒在1s内由于布朗扩散的平均位移x_BM和由于重力作用的沉降距离x_G。由表可见，随着粒径的减小，在相同时间内布朗扩散的平均位移明显大于重力沉降距离。

（2）扩散沉降。颗粒扩散沉降效率取决于捕集体的质量传递皮克莱（Peclet）数Pe和捕集体雷诺数Re_D。质量传递皮克莱数Pe定义式为

皮克莱数Pe是由颗粒惯性力产生的颗粒迁移量与布朗运动产生的迁移量之比，是捕集过程扩散沉降重要性的量度。Pe数越小，颗粒的扩散沉降越重要。

对于黏性流，朗格缪尔（Langmuir）提出了颗粒在孤立的单个圆柱形捕集体上的扩散沉降速率为

纳坦森（Natanson）和弗里德兰德（Friedlander）等人也分别导出了类似的方程，并分别用数值2.92和2.22代替了式（2-72）中的1.71。

对于势流，速度场与Re_D无关，在高雷诺数Re_D下，纳坦森提出了如下计算公式：

由上述公式的计算结果可知，除非Pe很小，否则颗粒的扩散沉降速率将是非常低的。此外，从理论上讲，η_BD＞1是可能的，因为布朗扩散可能导致来自距离D_c之外的颗粒与捕集体碰撞。

对于孤立的单个球形捕集体，约翰斯坦（Johnstone）和罗伯持（Roberts）建议用式（2-74）计算扩散沉降效率：

【例2-6】 已知：单位密度球形颗粒粒径为0.01~10μm，捕集体直径为100μm的圆柱形纤维，在293K和101325Pa下的气流速度为0.1m/s。试比较颗粒依靠惯性碰撞、直接拦截和布朗扩散的捕集效率，并分析3种捕集机制的相对重要性。

解：在给定条件下：

因此，需采用黏性流条件下的颗粒沉降效率计算公式，计算结果列于表2-12，其中惯性碰撞效率η_II是由图2-11估算的，拦截效率η_DI用式（2-65）计算，扩散沉降效率用式（2-72）计算。

由计算结果可见，对于大颗粒的捕集，布朗扩散的作用很小，主要靠惯性碰撞作用；相反，对于很小的颗粒，惯性碰撞的作用微乎其微，主要靠扩散沉降。在惯性碰撞和扩散沉降均无效的粒径范围（本例中约为1μm）内，表现出最低的捕集效率。