第四节 重力坝的应力分析

重力坝应力分析的目的，是为了比较在可能不利的几种工作情况下，坝体、坝基各部位的应力状态与坝体、坝基材质的强度能力的符合程度（即是否满足各部强度要求及整体经济合理性），是衡量重力坝安全性、经济性的指标之一。同时也是按坝内应力分布情况，确定坝体材料的标号分区，坝身廊道和孔口设置位置以及其他应力集中部位的配筋等的基本依据。

坝的应力分析主要内容包括：计算分析坝体选定截面上的应力（应根据坝高选定计算截面，包括坝基面、折坡处的截面及其他需要计算的截面）；计算分析坝体削弱部位（如孔洞、泄水管道、电站引水管道部位等）的局部应力；计算分析坝体个别部位的应力（如闸墩、胸墙、导墙、进水口支承结构、宽缝重力坝的头部等）；需要时分析坝基内部的应力。设计时可根据工程规模和坝体结构情况，计算分析上述内容的部分或全部，或另加其他内容。

重力坝应力分析的方法，有理论计算、模型试验和原型观测三大类。理论计算方法有材料力学法、弹性理论和弹塑性理论的数学解析法和数值解法，作用都是用来拟定尺寸。模型试验系用于初步设计后、建造前的检验和修改；原型观测则用于建造中、建造后的验证、总结和提高。

材料力学方法用在重力坝应力分析上，又叫重力法，是20世纪30年代由美国垦务局克恩等人，在经典力学分析方法的基础上发展成的一种完整方法。水平截面上的垂直正应力σ_y简化为直线分布（实际是三次抛物线，接近直线）的基本假定的基础上，引用单元体的平衡方程式，推算出坝内任何一点的应力分量及主应力的完整二维解答。计算经验表明，用重力法求得的应力在坝体上部是比较准确的，但不能反映地基和孔口的影响而在坝体下部不很准确。

对于高坝或坝体轮廓和地质条件甚为复杂时，除需用重力法进行计算外，还应同时用其他较精确的方法计算或进行模型试验。当前比较常用的是弹性理论和弹塑性理论的数值解法，过去常用的是有限差分法。弹性理论和弹塑性理论的数学解析法被称为“精确方法”，但只对边界条件简单的典型结构才有解答。

40多年来，有限单元法得到了迅速的发展和普遍的应用，理论和实践都已证明其更为方便和有效，可代替模型试验。有限单元法是20世纪50年代中期随着电子计算机的出现而产生的一种计算方法。它是通过力学和数学方法对结构物(也可包括地基)进行“离散化”，即将它的剖面分割成有限个一定形式的单元，设想各单元之间仅以节点相互连接，构成结构物的整体模型。求解多采用“位移法”，具体计算方法，可参考有关文献。

浆砌石坝是由条石或块石用胶结材料砌筑而成，如果胶结材料具有较高的强度，施工时又能保证石块间的空隙为胶结材料填实，则可以近似地把坝体视为具有较大不连续级配的混凝土体，并作为均匀弹性体用混凝土坝的应力分析方法计算。

多年的经验证明，虽然重力法的分析不完全反映坝内真实应力情况，却因其计算简便、适用面广，经过了理论上和模型试验上的反复验证，有大量已建坝的实际考验，有一套比较成熟的应力控制标准，保证坝的强度安全，成为各国规范中普遍采用的方法。普遍认为，对于70m以下的中、低坝，只用重力法计算即可。下面以混凝土实体重力坝为例，介绍材料力学方法计算坝体应力的基本原理、主要控制与具体做法。

一、材料力学方法分析重力坝坝体应力的理论说明

1.基本假定

（1）坝体为均质、各向同性的连续性材料。

（2）坝基承受荷载后不产生不均匀沉陷。

（3）不考虑两侧坝段的影响（可取单宽，按平面问题考虑）。

（4）截取的任意水平截面上的正应力呈直线分布。

2.基本原理

由于以上假定，就可以按材料力学中的偏心受压公式来确定垂直正应力σ_y，然后依次应用平衡条件确定剪应力τ，水平正应力σ_x以及主应力σ_z1、σ_z2和它们的方向。

作用在计算截面上的扬压力，通常呈折线形分布［图1-17］，这个图形可分解为一个在全截面上呈梯形(或三角形)分布的图形［图1-17(b)］和一些在上游部分呈局部三角形或矩形分布的图形，如图1-17(c)~(e)所示。当扬压力沿全截面呈直线分布［图1-17(b)］时，其所产生的应力为

p_v为计算点的扬压力强度，因此，其所产生的应力可以不必专门计算，只需先不考虑扬压力的影响，确定各点上的应力σ_x、σ_y 及τ，然后在正应力中扣去扬压力p_v即可。对于仅作用在截面局部部分上的扬压力（渗透压力），则必须做专门计算，以确定其所产生的应力。

3.相关规定

用材料力学方法计算坝体应力时，以压应力为正，拉应力为负；y为垂直轴，以向下为正；x为水平轴,以向上游为正；原点取在计算截面与下游坝面的交点上（图1-18），其余所用符号如下：

T——坝体计算截面沿上、下游方向的长度；

n——上游坝坡，n=tanφ_s；

m——下游坝坡，m=tanφ_xi；

γ_h——混凝土容重；

γ、γ′——上、下游水的容重(γ′在数值上常等于γ)；

p、p′——计算截面在上、下游坝面所受的水压力强度(如有淤沙压力时应计入在内)；

——计算截面在上、下游坝面所受地震动水压力强度；

λ——地震惯性力总系数，λ=k_HC_zF，乘以混凝土重量W，即为地震惯性力，应按《水工建筑物抗震设计规范》计算；

——计算截面在上、下游坝面处的扬压力强度；

ηγH——在上游的渗透压力(H为计算截面以上的上游水深，η为扬压力系数)；

∑W——计算截面上全部垂直力的总和(包括坝体自重、水重、淤沙重及扬压力等)，以向下为正，对于实体重力坝，均以切取单位宽度坝体为准(下同)；

∑P——计算截面上全部水平推力的总和(包括水压力、淤沙压力和地震水压力等)，以指向上游为正；

∑M——计算截面上全部垂直力及水平力对于计算截面形心的力矩的总和，以使上游面产生压应力者为正。

二、计算实体重力坝应力的基本公式

1.水平截面上的垂直正应力σ_y

水平截面上的垂直正应力σ_y可以按材料力学偏心受压公式计算。设以分别表示上、下游坝面的σ_y，则：

2.坝面剪应力τ

根据剪应力互等定理τ_xy=τ_yx=τ，以τ^s及τ^xi分别表示上、下游坝面的τ值，并在坝面上取三角形微元体。当不考虑扬压力时，微元体上的作用力如图1-19所示。

图1-19(a)中，对于上游坝面的微元体，∑F_y=0，可得

经整理后可得

同样，对于下游坝面的微元体，按平衡条件∑F_y=0，亦可得出：

3.垂直截面上的水平正应力σ_x

以分别表示上、下游面的σ_x值。取三角形微元体如图1-19（a）所示。

对于上游坝面的微元体，按平衡条件∑F_x=0，可得：

同样，对于下游坝面的微元体，按平衡条件∑F_x=0，亦可得出：

4.水平截面边缘主应力σ_z1及σ_z2

沿坝的上、下游坝面没有剪应力，因此，它们是主应力面，与上、下游坝面相垂直的面上也没有剪应力，所以，也是主应力面。

取如图1-19(b)所示的三角形微元体。对于上游坝面的微元体，按平衡条件可得：

对于下游坝面的微元体，按照同样的条件亦可得出：

显然，坝面上的水压力强度即为主应力，它们是

由式 （1-42）可见，当上游坝面倾斜时 （n＞0），即使＞0，只要＜ （p+）sin²φ，主应力仍会成为拉应力，故不宜采用过大的上游坡角φs。

5.计入扬压力作用的坝面应力公式

以上公式适用于不计扬压力作用的情况。当计入扬压力作用时，应分别采用下列公式：

计算上、下游面垂直正应力的公式仍为式(1-34)和式(1-35)，但要在∑W和∑M中计入扬压力的作用后，再代入公式计算。

说明：为什么必须就计入扬压力或不计入扬压力的情况分别进行强度核算?是因为扬压力是随水头和时间等变化其作用也在变化的荷载。例如，施工质量良好的坝，蓄水后要经过极长的时间，扬压力才发展到稳定值。扬压力的变化会引起坝体应力的变化，到底是计入还是不计入扬压力的情况更不利?应该分别计算、比较。

三、重力坝应力控制标准

（一）重力坝坝基面坝踵、坝趾的垂直应力应符合下列要求

1.运用期

（1）在各种荷载组合下（地震荷载除外），坝踵垂直应力不应出现拉应力，坝趾垂直应力应小于坝基容许压应力。

（2）在地震荷载作用下，坝踵、坝趾的垂直应力应符合《水工建筑物抗震设计规范》（SL 203）的要求。

2.施工期

坝趾垂直应力可允许有小于0.1MPa的拉应力。

（二）重力坝坝体应力应符合下列要求

1.运用期

（1）坝体上游面的垂直应力不出现拉应力（计入扬压力）。

（2）坝体最大主压应力，应不大于混凝土的允许压应力。

（3）在地震情况下，坝体上游面的应力控制标准应符合《水工建筑物抗震设计规范》（SL 203）的要求。

（4）关于坝体局部区域拉应力的规定：

1）宽缝重力坝离上游面较远的局部区域，可允许出现拉应力，但不超过混凝土的允许拉应力。

2）当溢流坝堰顶部位出现拉应力时，应配置钢筋。

3）廊道及其他孔洞周边的拉应力区域，宜配置钢筋；有论证时，可少配或不配钢筋。

2.施工期

（1）坝体任何截面上的主压应力应不大于混凝土的允许压应力。

（2）在坝体的下游面，可允许有不大于0.2MPa 的主拉应力。

混凝土的允许应力应按混凝土的极限强度除以相应的安全系数确定。坝体混凝土抗压安全系数，基本组合应不小于4.0；特殊组合（不含地震情况）应不小于3.5。当局部混凝土有抗拉要求时，抗拉安全系数应不小于4.0。在地震情况下，坝体的结构安全应符合《水工建筑物抗震设计规范》的要求。混凝土极限强度，指90d 龄期的15cm 立方体强度，强度保证率为80%。

四、实体重力坝实用强度计算的简化

试验及实测表明，在一般情况下，坝体的最小及最大应力均出现在坝面。初步拟定重力坝剖面时，或设计中等高度以下的坝且对其坝身内部应力计算没有要求时(如没有较大的孔洞或不考虑作复杂的材料标号分区等)，只需计算坝面上、下游边缘应力。重力法根据应力分布规律总结出一套成熟的设计控制标准，作为设计要点可以使重力坝的强度计算内容十分简单，称为一般实用强度计算。详细讲解如下。

（一）控制标准

（1）坝体的强度控制在水平截面上。

（2）水平截面的应力极限值控制在上、下游坝面的端点。

（3）上游面以垂直正应力控制，要求计入扬压力时，＞0 （即有效应力不为拉应力）；不计扬压力时，＞αγh （γh为计算点的静水压强；α为折减系数，α=1/4～2/5，当坝面防渗、排水设施效果好时，取小值）。

（4）下游面以平行坝面的主压力控制 （郎金于1890年证明了），要求计入或不计扬压力时＜[R_a]=R_a/K （R_a为一年龄期的混凝土极限抗压强度；K为混凝土抗压强度安全系数，基本组合取K≥4.0；地震除外的特殊组合取K≥3.5）。

（5）水平截面上的剪应力最大值τ_max也在下游面，方向近乎水平。根据材料力学原理，τ_max=（）/2，当下游面无水压力时，由前面公式 （1-44）知=0，则τ_max=/2。另外，试验得知混凝土的容许剪应力 [τ_h]=R_a/（5～7）。若满足强度要求τ_max≤[τ]，即应/2=R_a/（5～7）或=R_a/（2.5～3.5），故当K=2.5～3.5时，相当于≤ [R_a]。所以，在一般强度校核中都不再计算τ。

（二）上、下游边缘点应力计算

1.上、下游边缘点垂直正应力

注意，以上两式求出的都是作用在材料骨架内的有效应力σ。因为根据孔隙理论，某点的总应力σ_z等于有效应力σ与孔隙水压力p_v之和，即σ_z=σ+p_v，或σ=σ_z-p_v。如果计算中，计入扬压力（即在∑W和∑M中计入扬压力的作用）p_v≠0，则求出的σ=σ_z-p_v，σ是有效应力，不是总应力；不计扬压力（即在∑W和∑M中不计扬压力的作用）p_v=0，则求出的σ=σ_z-p_v=σ_z-0=σ_z，σ既是有效应力，又是总应力。

2.上、下游边缘点主应力

（1）小主应力σ_z2。由于上、下游坝面处的荷载都是垂直作用于坝面的，所以，垂直坝面的方向就是边缘小主应力的作用方向。其计算公式为

细心者会问，这只是不计扬压力作用情况的公式，计入扬压力作用情况的公式呢?

计入扬压力作用时的公式应为

此二式的计算结果与前二式是相近的。因为扬压力p_v的作用方向与σ_z2的方向近乎垂直，所以对小主应力的影响微乎其微，加之在边缘点对静水压力又基本无影响，故而可直接采用前两式的计算结果。

（2）大主应力σ_z1。由力学原理，大主应力σ_z1的方向与小主应力σ_z2是正交的。所以边缘大主应力σ_z1的方向平行于坝面。

1）不计扬压力作用的计算公式为

2）计入扬压力作用时，规范（SL 319）提供的公式为

应该可以进一步简化。由孔隙理论，计入扬压力则p_v≠0，所以在此二式中应代入总垂直应力σ_z=σ+p_v。而前面按式（1-49）和式（1-50）计算时，即使是在∑W和∑M中计入扬压力的作用，求出的σ仍然是有效垂直应力，不能直接代入使用。此时的扬压力强度：

在上游边缘处=p+，则

在下游边缘处=p′-，则

将式（1-63）代入式（1-41），得到上游面大主应力的总应力

而设计（应力分析中）需要的是大主应力的有效应力，按孔隙理论有

令式 （1-66）与式 （1-65）右边相等，有+（p+）=（1+n² ）+（p+），即得公式

同理，将式（1-64）代入式（1-42），得到下游面大主应力的有效应力公式

（三）坝体强度的简便计算

通过以上学习，了解了材料力学方法分析坝体应力的来龙去脉，对坝体应力分布有了全面的了解。经过公式的推导和简化，也掌握了坝体强度控制的关键。总结起来，用重力法进行一般实用强度计算，只需选择核算截面，求出其上、下游两个边缘点的垂直正应力，并进一步求出下游边缘点的大主应力，看是否满足各控制指标 （表1-13，实体重力坝重力法一般实用强度验算一览表），最终将设计剖面调整到下列状况：①满足挡水及过水的运用要求为前提；②上游面计入扬压力时，＞0；不计扬压力时，＞αγh（γh为计算点的静水压强；α为折减系数；α=1/4～2/5，当坝面防渗、排水设施效果好时，取小值）；③下游面计入或不计扬压力时，≤ [R_a]安全保证；④材料强度尽可能得到利用的经济合理为目标。

大量实践证明，坝高小于30m，地基较好的坝，可仅用抗滑稳定控制。其他的需要强度验算的，核算截面应选择可能危险的、水平的截面，一般在下列较危险的截面中选择验算截面：①应力值最大的坝基面；②断面厚度突变处；③坝面的折坡处；④孔口、廊道削弱处；⑤荷载集中处（如泄水孔口）。